三、解答题(44分)
15.(12分)如图,在△ABC中,DE//AC,DE分别交AB,BC于点D,E,EF平分∠DEB交AB于点F,且∠B=42°,∠DFE=73°,求∠DEB和∠A的度数.

15. 解: $\because ∠B=42°,∠DFE=73°,∴∠FEB=∠DFFE−∠B=31°. ∵EF$平分$∠DEB,∴∠DEB=2∠FEB=62°. ∵DE//AC,∴∠C=∠DEB=62°. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−42°−62°=76°.$

【分析】
解题时可按照从已知到未知的顺序逐步推导：第一步，先观察∠DFE的位置，它是△BEF的外角，根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和，可利用已知的∠DFE和∠B求出∠FEB的度数；第二步，已知EF平分∠DEB，根据角平分线的定义，∠DEB是∠FEB的2倍，即可求出∠DEB的度数；第三步，已知DE//AC，根据平行线同位角相等的性质，可得∠C和∠DEB相等，得到∠C的度数；最后利用三角形内角和为180°，代入已知的∠B和求出的∠C，就能算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠DFE是△BEF的外角，
∴∠DFE = ∠B + ∠FEB，
又
∵∠B=42°，∠DFE=73°，
∴∠FEB = ∠DFE - ∠B = 73° - 42° = 31°，
∵EF平分∠DEB，
∴∠DEB = 2∠FEB = 2×31° = 62°，
∵DE//AC，
∴∠C = ∠DEB = 62°（两直线平行，同位角相等），
在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 42° - 62° = 76°。
【答案】
∠DEB=62°，∠A=76°
【知识点】
三角形外角性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，将三角形的角度相关性质和平行线的性质结合考查，解题时只要找准角之间的数量关系，按逻辑逐步推导就能顺利求解，需要注意每一步推导都要有对应的性质作为依据，避免逻辑混乱。
【难度系数】
0.7

16.(15分)如图，AD//BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE交AD的延长线于点F.求证：
(1)△ABE≌△AFE；
(2)AD+BC=AB.

16. 证明:(1)
∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA,
∴∠BAE=∠FAE,∠ABE=∠CBE.
∵AD//BC,
∴∠F=∠CBE.
∴∠ABE=∠F. 在△ABE和△AFE中,
$\begin{cases}∠ABE=∠F,\\∠BAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(AAS);
(2)
∵△ABE≌△AFE,
∴BE=FE,AB=AF. 在△BCE和△FDE中,$\begin{cases}∠EBC=∠F,\\BE=FE,\\∠BEC=∠FED,\end{cases}$
∴△BCE≌△FDE(ASA).
∴BC=FD.
∴BC+AD=DF+AD=AF=AB.

【分析】
(1)要证△ABE≌△AFE，已知AE平分∠DAB可得∠BAE=∠FAE，且有公共边AE，只需再找一组等角即可：结合BE平分∠CBA、AD//BC的条件，可通过平行线内错角相等推出∠ABE=∠F，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证AD+BC=AB，由(1)的全等结论可得AB=AF，而AF=AD+DF，因此只需证BC=DF即可；结合(1)得到的BE=FE，再搭配对顶角相等、已证的∠EBC=∠F，可通过ASA证明△BCE≌△FDE得到BC=FD，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
(1)证明：
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠BAE=∠FAE，∠ABE=∠CBE。
∵AD//BC，
∴∠F=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABE=∠F。
在△ABE和△AFE中：
$\begin{cases}∠ABE=∠F \\∠BAE=∠FAE \\AE=AE\end{cases}$
∴△ABE≌△AFE（AAS）。
(2)证明：
∵△ABE≌△AFE，
∴BE=FE，AB=AF（全等三角形对应边相等）。
在△BCE和△FDE中：
$\begin{cases}∠EBC=∠F \\BE=FE \\∠BEC=∠FED（对顶角相等）\end{cases}$
∴△BCE≌△FDE（ASA）。
∴BC=FD（全等三角形对应边相等）。
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB。
【答案】
(1)△ABE≌△AFE得证；
(2)AD+BC=AB得证。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形的综合应用类题目，解题时需要结合角平分线、平行线的性质寻找全等判定所需的等角条件；第二问的线段和差问题通过等量代换转化为证明线段相等，是几何中解决此类问题的常用思路，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.65

17.(17分)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.
(1)如图1,当点D在边BC上时
①求证:△ABD≅△ACE;
②直接判断结论BC=CD+CE是否成立(不需证明);
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,请写出BC,CD,CE之间的数量关系,并证明.

17. (1)①证明:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC. AD=DE=AE.
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE − ∠DAC, 即 ∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS). ②成立,
(2)解:CE=BC+CD. 证明:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE.
∴∠BAC+∠DAC = ∠DAE + ∠DAC, 即 ∠BAD = ∠CAE. 在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD,
∴CE=BC+CD.

【分析】
(1)①要证明△ABD≅△ACE，先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过角的和差关系推出两组边的夹角相等，即可用SAS判定定理证明全等。②根据全等三角形对应边相等得到BD=CE，结合线段和BC=BD+CD，即可判断结论是否成立。
(2)要推导BC、CD、CE的数量关系，同样先利用等边三角形的性质证明△ABD≅△ACE，得到BD=CE，再结合点D在BC延长线上时BD=BC+CD，通过线段等量代换即可得到三者的关系。
【解析】
(1)①证明：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE − ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
②解：由①的全等结论可得BD=CE，又
∵BC=BD+CD，因此BC=CD+CE成立。
(2)解：CE=BC+CD，证明如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC+∠DAC = ∠DAE + ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵点D在BC的延长线上，
∴BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD。
【答案】
(1)①证明见上述解析；②结论BC=CD+CE成立；
(2)$\boldsymbol{CE=BC+CD}$，证明见上述解析。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是动态几何的基础题型，核心考查全等三角形的判定及性质的应用，解题关键是利用等边三角形的边、角性质，通过角的和差推导得到相等的夹角，进而证明三角形全等，再通过线段等量代换得到结论。
【难度系数】
0.7