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6.【分类讨论思想】在$△ ABC$中，$∠ B=40°$，AD是高，$∠ CAD=20°$，则$∠ BAC=$
70°或30°
。答案
6. 70°或30°
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种可能：①AD在△ABC内部（对应△ABC为锐角三角形）；②AD在△ABC外部（对应△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角）。解题时需结合高的性质、三角形内角和定理或外角性质，分两种情况分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当高AD在△ABC内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠ACB=90°-∠CAD=90°-20°=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-70°=70°；
情况2：当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角），
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠ACD=90°-∠CAD=90°-20°=70°，
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ACD=∠B+∠BAC，
变形得∠BAC=∠ACD-∠B=70°-40°=30°。
综上，∠BAC的度数为70°或30°。
【答案】
70°或30°
【知识点】
三角形高的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题的易错点是忽略高的位置会随三角形形状变化，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解，解题时遇到未明确形状的三角形的高相关问题，要主动想到分类讨论。
【难度系数】
0.5
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种可能：①AD在△ABC内部（对应△ABC为锐角三角形）；②AD在△ABC外部（对应△ABC为钝角三角形，∠ACB为钝角）。解题时需结合高的性质、三角形内角和定理或外角性质，分两种情况分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当高AD在△ABC内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠ACB=90°-∠CAD=90°-20°=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-70°=70°；
情况2：当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角），
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠ACD=90°-∠CAD=90°-20°=70°，
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ACD=∠B+∠BAC，
变形得∠BAC=∠ACD-∠B=70°-40°=30°。
综上，∠BAC的度数为70°或30°。
【答案】
70°或30°
【知识点】
三角形高的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题的易错点是忽略高的位置会随三角形形状变化，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解，解题时遇到未明确形状的三角形的高相关问题，要主动想到分类讨论。
【难度系数】
0.5
例4 如图，五边形ABCDE中.
(1)若$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=ED$，F为CD的中点.
求证:$AF⊥ CD$；
(2)若$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，AF平分$∠ BAE$，$AF⊥ CD$，求证:F为CD的中点.
(1)若$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=ED$，F为CD的中点.
求证:$AF⊥ CD$；
(2)若$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，AF平分$∠ BAE$，$AF⊥ CD$，求证:F为CD的中点.
答案
(1) 证明：
连接AC、AD。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
又$\because F$为$CD$的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF⊥ CD$。
---
(2) 证明：
连接$BF$、$EF$。
$\because AF$平分$∠ BAE$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$。
在$△ ABF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAF=∠ EAF \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore BF=EF$，$∠ ABF=∠ AEF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
$\because ∠ ABC=∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABF = ∠ AED - ∠ AEF$，即$∠ FBC=∠ FED$。
$\because AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ AFB - ∠ AFC = ∠ AFE - ∠ AFD$，即$∠ BFC=∠ EFD$。
在$△ FBC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ FBC=∠ FED \\BF=EF \\∠ BFC=∠ EFD\end{cases}$
$\therefore △ FBC ≌ △ FED(\mathrm{ASA})$
$\therefore FC=FD$，即$F$为$CD$的中点。
连接AC、AD。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
又$\because F$为$CD$的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF⊥ CD$。
---
(2) 证明：
连接$BF$、$EF$。
$\because AF$平分$∠ BAE$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$。
在$△ ABF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAF=∠ EAF \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore BF=EF$，$∠ ABF=∠ AEF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
$\because ∠ ABC=∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABF = ∠ AED - ∠ AEF$，即$∠ FBC=∠ FED$。
$\because AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ AFB - ∠ AFC = ∠ AFE - ∠ AFD$，即$∠ BFC=∠ EFD$。
在$△ FBC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ FBC=∠ FED \\BF=EF \\∠ BFC=∠ EFD\end{cases}$
$\therefore △ FBC ≌ △ FED(\mathrm{ASA})$
$\therefore FC=FD$，即$F$为$CD$的中点。
解析
【分析】
(1) 要证明$AF⊥CD$，可先推导$△ ACD$为等腰三角形，结合F是CD中点，利用等腰三角形三线合一的性质求证。首先连接AC、AD，根据已知的$AB=AE$、$∠B=∠E$、$BC=ED$，可通过SAS判定$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$，即可结合等腰三角形性质得到结论。
(2) 要证明F为CD的中点，即证$FC=FD$，可通过证明$△ FBC≌△ FED$推导。首先连接BF、EF，根据AF平分$∠BAE$、$AB=AE$、AF为公共边，可通过SAS判定$△ ABF≌△ AEF$，得到$BF=EF$及对应角相等，再结合已知$∠B=∠E$、$AF⊥CD$推导$△ FBC$和$△ FED$的对应角相等，用ASA判定两三角形全等，即可得到$FC=FD$。
【解析】
(1) 证明：
连接$AC$、$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
又$\because F$为$CD$的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF⊥ CD$。
(2) 证明：
连接$BF$、$EF$。
$\because AF$平分$∠ BAE$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$。
在$△ ABF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAF=∠ EAF \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore BF=EF$，$∠ ABF=∠ AEF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
$\because ∠ ABC=∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABF = ∠ AED - ∠ AEF$，即$∠ FBC=∠ FED$。
$\because AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ AFB - ∠ AFC = ∠ AFE - ∠ AFD$，即$∠ BFC=∠ EFD$。
在$△ FBC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ FBC=∠ FED \\BF=EF \\∠ BFC=∠ EFD\end{cases}$
$\therefore △ FBC ≌ △ FED(\mathrm{ASA})$
$\therefore FC=FD$，即$F$为$CD$的中点。
【答案】
(1) $AF⊥CD$得证；
(2) $F$为$CD$的中点得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，解题关键是根据待证结论合理添加辅助线构造全等三角形，将已知的边、角条件逐步转化为推导结论所需的等量关系，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$AF⊥CD$，可先推导$△ ACD$为等腰三角形，结合F是CD中点，利用等腰三角形三线合一的性质求证。首先连接AC、AD，根据已知的$AB=AE$、$∠B=∠E$、$BC=ED$，可通过SAS判定$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$，即可结合等腰三角形性质得到结论。
(2) 要证明F为CD的中点，即证$FC=FD$，可通过证明$△ FBC≌△ FED$推导。首先连接BF、EF，根据AF平分$∠BAE$、$AB=AE$、AF为公共边，可通过SAS判定$△ ABF≌△ AEF$，得到$BF=EF$及对应角相等，再结合已知$∠B=∠E$、$AF⊥CD$推导$△ FBC$和$△ FED$的对应角相等，用ASA判定两三角形全等，即可得到$FC=FD$。
【解析】
(1) 证明：
连接$AC$、$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
又$\because F$为$CD$的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF⊥ CD$。
(2) 证明：
连接$BF$、$EF$。
$\because AF$平分$∠ BAE$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$。
在$△ ABF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AB=AE \\∠ BAF=∠ EAF \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore BF=EF$，$∠ ABF=∠ AEF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
$\because ∠ ABC=∠ AED$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABF = ∠ AED - ∠ AEF$，即$∠ FBC=∠ FED$。
$\because AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$，
$\therefore ∠ AFB - ∠ AFC = ∠ AFE - ∠ AFD$，即$∠ BFC=∠ EFD$。
在$△ FBC$和$△ FED$中，
$\begin{cases}∠ FBC=∠ FED \\BF=EF \\∠ BFC=∠ EFD\end{cases}$
$\therefore △ FBC ≌ △ FED(\mathrm{ASA})$
$\therefore FC=FD$，即$F$为$CD$的中点。
【答案】
(1) $AF⊥CD$得证；
(2) $F$为$CD$的中点得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，解题关键是根据待证结论合理添加辅助线构造全等三角形，将已知的边、角条件逐步转化为推导结论所需的等量关系，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力和辅助线的运用能力。
【难度系数】
0.6
7.【分类讨论思想】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，B(0,2)，作△BOC，使△BOC与△ABO全等（点C与点A不重合），则点C的坐标为
(-1,0)或(-1,2)或(1,2)
。答案
7. (-1,0)或(-1,2)或(1,2)
解析
【分析】
首先明确已知△ABO的特征：由A(1,0)、B(0,2)可知△ABO是直角三角形，∠AOB=90°，OA=1，OB=2。要使△BOC与△ABO全等且点C不与A重合，需以公共边OB为基础分类讨论全等的对应关系，分别考虑直角顶点为O、直角顶点为B两类情况，再结合对应边相等确定点C的位置。
【解析】
由A(1,0)、B(0,2)可得：OA=1，OB=2，∠AOB=90°，分三种情况讨论：
1. 当△BOC≌△BOA时，∠BOC=∠BOA=90°，OC=OA=1，此时点C在x轴负半轴，坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$；
2. 当△BOC≌△OBA且∠OBC=90°时，BC=OA=1，BC平行于x轴，若点C在第一象限，横坐标为$0+1=1$，纵坐标为2，即C$\boldsymbol{(1,2)}$；
3. 当△BOC≌△OBA且∠OBC=90°时，BC=OA=1，BC平行于x轴，若点C在第二象限，横坐标为$0-1=-1$，纵坐标为2，即C$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【答案】
(-1,0)或(-1,2)或(1,2)
【知识点】
全等三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，分类讨论思想
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查全等三角形的性质，解题核心是按全等的对应关系分类讨论，避免遗漏不同的对应情况导致答案不全。
【难度系数】
0.6
首先明确已知△ABO的特征：由A(1,0)、B(0,2)可知△ABO是直角三角形，∠AOB=90°，OA=1，OB=2。要使△BOC与△ABO全等且点C不与A重合，需以公共边OB为基础分类讨论全等的对应关系，分别考虑直角顶点为O、直角顶点为B两类情况，再结合对应边相等确定点C的位置。
【解析】
由A(1,0)、B(0,2)可得：OA=1，OB=2，∠AOB=90°，分三种情况讨论：
1. 当△BOC≌△BOA时，∠BOC=∠BOA=90°，OC=OA=1，此时点C在x轴负半轴，坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$；
2. 当△BOC≌△OBA且∠OBC=90°时，BC=OA=1，BC平行于x轴，若点C在第一象限，横坐标为$0+1=1$，纵坐标为2，即C$\boldsymbol{(1,2)}$；
3. 当△BOC≌△OBA且∠OBC=90°时，BC=OA=1，BC平行于x轴，若点C在第二象限，横坐标为$0-1=-1$，纵坐标为2，即C$\boldsymbol{(-1,2)}$。
【答案】
(-1,0)或(-1,2)或(1,2)
【知识点】
全等三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，分类讨论思想
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查全等三角形的性质，解题核心是按全等的对应关系分类讨论，避免遗漏不同的对应情况导致答案不全。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证:DE=BE.
答案
8. 解:(1)如图.
(2)证明:
∵ AE 平分∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠DAE. 又
∵ AB = AD, AE = AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS).
∴DE=BE.
解析
【分析】
(1) 作∠BAC的平分线可依据尺规作角平分线的标准方法操作，保留对应的作图痕迹即可。
(2) 要证DE=BE，可通过证明两条线段所在的△BAE和△DAE全等推导。已知AB=AD，AE是∠BAC的角平分线可得∠BAE=∠DAE，再加上公共边AE，刚好满足SAS的全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的步骤作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点，过点A和该交点作射线，即为∠BAC的平分线。
(2) 证明：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
在△BAE和△DAE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD（已知）\\∠BAE = ∠DAE（角平分线的定义）\\AE = AE（公共边）\end{array} $
∴ △BAE ≌ △DAE（SAS）
∴ DE = BE（全等三角形的对应边相等）
【答案】
(1) 如图.
(2) 证明：
∵ AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。又
∵ AB = AD，AE = AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)。
∴DE=BE。
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本的尺规作图技能，也考查了全等三角形的判定和性质应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法，能准确找到三角形全等的对应条件。
【难度系数】
0.8
(1) 作∠BAC的平分线可依据尺规作角平分线的标准方法操作，保留对应的作图痕迹即可。
(2) 要证DE=BE，可通过证明两条线段所在的△BAE和△DAE全等推导。已知AB=AD，AE是∠BAC的角平分线可得∠BAE=∠DAE，再加上公共边AE，刚好满足SAS的全等判定条件，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的步骤作图：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点，过点A和该交点作射线，即为∠BAC的平分线。
(2) 证明：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
在△BAE和△DAE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD（已知）\\∠BAE = ∠DAE（角平分线的定义）\\AE = AE（公共边）\end{array} $
∴ △BAE ≌ △DAE（SAS）
∴ DE = BE（全等三角形的对应边相等）
【答案】
(1) 如图.
(2) 证明：
∵ AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。又
∵ AB = AD，AE = AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)。
∴DE=BE。
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本的尺规作图技能，也考查了全等三角形的判定和性质应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法，能准确找到三角形全等的对应条件。
【难度系数】
0.8
例5 如图1，在$△ ABC$中，若$AD$是$∠ BAC$的平分线，过$D$点分别作$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，则$DE=DF$。
探究发现：如图2，在$△ ABC$中，仍然有条件“$AD$是$∠ BAC$的平分线，点$E$，$F$分别在$AB$和$AC$上”。若$∠ AED+∠ AFD=180°$，则$DE$与$DF$是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明。
探究发现：如图2，在$△ ABC$中，仍然有条件“$AD$是$∠ BAC$的平分线，点$E$，$F$分别在$AB$和$AC$上”。若$∠ AED+∠ AFD=180°$，则$DE$与$DF$是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明。
答案
解：DE与DF仍相等，证明如下：
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵AD平分$∠ BAC$，$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ AED + ∠ AFD = 180°$，
$∠ DFN + ∠ AFD = 180°$，
∴$∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ DEM = ∠ DFN$。
在$△ DME$和$△ DNF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ DEM = ∠ DFN \\DM = DN\end{array} $
∴$△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴$DE = DF$。
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵AD平分$∠ BAC$，$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ AED + ∠ AFD = 180°$，
$∠ DFN + ∠ AFD = 180°$，
∴$∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ DEM = ∠ DFN$。
在$△ DME$和$△ DNF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ DEM = ∠ DFN \\DM = DN\end{array} $
∴$△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴$DE = DF$。
解析
【分析】
要判断DE与DF是否相等，可通过证明两条线段所在三角形全等推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此优先考虑过点D作AB、AC的垂线，得到一组相等的垂线段；再结合已知∠AED+∠AFD=180°，利用同角的补角相等得到一组等角，即可证明两个直角三角形全等，最终得到DE与DF的数量关系。
【解析】
DE与DF仍相等，证明如下：
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵AD平分$∠ BAC$，$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ AED + ∠ AFD = 180°$，
$∠ DFN + ∠ AFD = 180°$，
∴$∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ DEM = ∠ DFN$。
在$△ DME$和$△ DNF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ DEM = ∠ DFN \\DM = DN\end{array} $
∴$△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴$DE = DF$。
【答案】
DE与DF仍相等。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的拓展应用，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，将角互补的条件转化为全等所需的等角，能有效考察辅助线构造能力和全等三角形的应用能力。
【难度系数】
0.6
要判断DE与DF是否相等，可通过证明两条线段所在三角形全等推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此优先考虑过点D作AB、AC的垂线，得到一组相等的垂线段；再结合已知∠AED+∠AFD=180°，利用同角的补角相等得到一组等角，即可证明两个直角三角形全等，最终得到DE与DF的数量关系。
【解析】
DE与DF仍相等，证明如下：
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵AD平分$∠ BAC$，$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ AED + ∠ AFD = 180°$，
$∠ DFN + ∠ AFD = 180°$，
∴$∠ AED = ∠ DFN$，即$∠ DEM = ∠ DFN$。
在$△ DME$和$△ DNF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ DME = ∠ DNF = 90° \\∠ DEM = ∠ DFN \\DM = DN\end{array} $
∴$△ DME ≌ △ DNF$（AAS），
∴$DE = DF$。
【答案】
DE与DF仍相等。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的拓展应用，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，将角互补的条件转化为全等所需的等角，能有效考察辅助线构造能力和全等三角形的应用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在平面直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,已知点D的坐标是(0,−2),AB的长是8,则△ABD的面积为
8
。答案
9. 8
解析
【分析】
要求△ABD的面积，已知底AB的长度为8，只需要求出AB边上的高（即点D到AB的距离）即可。看到角平分线的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点D在角平分线AD上，因此点D到AB的距离等于点D到OA的距离；OA在x轴上，点D坐标为(0,-2)，因此点D到OA的距离就是2，即△ABD中AB边上的高为2，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ △OAB是直角三角形，∠AOB=90°，即DO⊥OA，
又
∵ AD平分∠OAB，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，DE = OD。
∵ 点D的坐标为(0, -2)，
∴ OD = |-2| = 2，即DE = 2。
已知AB = 8，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × 2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合角平分线的性质将未知的高转化为已知的线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握角平分线的性质，能快速找到几何量之间的关联。
【难度系数】
0.7
要求△ABD的面积，已知底AB的长度为8，只需要求出AB边上的高（即点D到AB的距离）即可。看到角平分线的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点D在角平分线AD上，因此点D到AB的距离等于点D到OA的距离；OA在x轴上，点D坐标为(0,-2)，因此点D到OA的距离就是2，即△ABD中AB边上的高为2，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ △OAB是直角三角形，∠AOB=90°，即DO⊥OA，
又
∵ AD平分∠OAB，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质，DE = OD。
∵ 点D的坐标为(0, -2)，
∴ OD = |-2| = 2，即DE = 2。
已知AB = 8，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × 2 = 8$
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合角平分线的性质将未知的高转化为已知的线段长度，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握角平分线的性质，能快速找到几何量之间的关联。
【难度系数】
0.7
