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单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别
相乘
作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
。答案
相乘 因式
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算法则识记，解题时只需回忆对应的法则内容即可作答。首先明确单项式乘法的运算逻辑：计算时先处理系数部分，再处理同底数幂部分，这两部分都要分别相乘得到积的对应因式；对于仅在单个单项式中出现的字母，不能遗漏，要连同它的指数一起保留，作为积的一个组成部分，对应法则的描述就能直接填出两个空。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。因此第一个空填“相乘”，第二个空填“因式”。
【答案】
相乘 因式
【知识点】
单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考察对单项式乘法运算规则的掌握，牢记相关法则即可快速得分，是整式乘法运算的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘单项式的运算法则识记，解题时只需回忆对应的法则内容即可作答。首先明确单项式乘法的运算逻辑：计算时先处理系数部分，再处理同底数幂部分，这两部分都要分别相乘得到积的对应因式；对于仅在单个单项式中出现的字母，不能遗漏，要连同它的指数一起保留，作为积的一个组成部分，对应法则的描述就能直接填出两个空。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。因此第一个空填“相乘”，第二个空填“因式”。
【答案】
相乘 因式
【知识点】
单项式乘单项式法则
【点评】
本题属于基础识记类题型，核心考察对单项式乘法运算规则的掌握，牢记相关法则即可快速得分，是整式乘法运算的基础内容。
【难度系数】
0.9
1. 计算 $ x^4 · 4x^3 $ 的结果是 （
A.$ x $
B.$ 4x $
C.$ 4x^7 $
D.$ x^{11} $
C
）A.$ x $
B.$ 4x $
C.$ 4x^7 $
D.$ x^{11} $
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘法的运算规则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。本题中两个单项式都只含字母x，所以只需分别计算系数的乘积、同底数幂x的乘积，再将两部分结果合并即可。
【解析】
计算$x^4 · 4x^3$时，遵循单项式乘单项式的运算法则：
第一步：分离系数与同底数幂，可得：
原式$=(1×4)·(x^4· x^3)$
第二步：计算系数的乘积：$1×4=4$
第三步：计算同底数幂的乘积，根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，可得$x^4· x^3=x^{4+3}=x^7$
第四步：合并两部分结果，得原式$=4x^7$，因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法的基础规则，熟练掌握相关运算法则即可快速得出正确结果，是整式运算章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘法的运算规则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。本题中两个单项式都只含字母x，所以只需分别计算系数的乘积、同底数幂x的乘积，再将两部分结果合并即可。
【解析】
计算$x^4 · 4x^3$时，遵循单项式乘单项式的运算法则：
第一步：分离系数与同底数幂，可得：
原式$=(1×4)·(x^4· x^3)$
第二步：计算系数的乘积：$1×4=4$
第三步：计算同底数幂的乘积，根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，可得$x^4· x^3=x^{4+3}=x^7$
第四步：合并两部分结果，得原式$=4x^7$，因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式乘法的基础规则，熟练掌握相关运算法则即可快速得出正确结果，是整式运算章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
2. (1)(答题模板)计算：$-2a^{3}b^{2}· (3ab^{3})=$ × $a^{3+( )}b^{2+( )}=$ .
(2)【针对练习】计算：
①$2x^{2}y· (-4xy^{3}z)$；
②$(-2x)^{3}· (-4xy^{2})$.
(2)【针对练习】计算：
①$2x^{2}y· (-4xy^{3}z)$；
②$(-2x)^{3}· (-4xy^{2})$.
答案
2. (1) -2 3 1 3 $-6a^4b^5$ (2) ①解:原式$=[2×(-4)]×(x^2 · x)·(y · y^3) · z=-8x^3 y^4 z.$ ②解:原式$=-8x^3 · (-4xy^2)=[-8×(-4)]·(x^3 · x) · y^2=32x^4 y^2.$
解析
【分析】
本题考查整式乘法中单项式乘单项式的相关运算，解题需遵循对应运算法则：①先将各单项式的系数相乘，注意符号的处理；②同底数幂分别相乘，底数不变，指数相加；③仅在一个单项式中含有的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。如果式子中含有乘方运算，需先算乘方，再算乘法。
对于(1)题，直接拆分运算步骤即可：系数部分为两个单项式的系数-2和3相乘，a的指数为两个单项式中a的指数3和1相加，b的指数为两个单项式中b的指数2和3相加，最后合并得到结果。
对于(2)的第①题，直接套用单项式乘单项式法则计算即可，注意单独出现的z不要遗漏；第②题先根据积的乘方法则计算$(-2x)^3$，再和后面的$-4xy^2$做单项式乘法运算。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式的运算步骤：
系数相乘部分为$-2×3$，
同底数幂a的指数相加：$3+1$，
同底数幂b的指数相加：$2+3$，
计算得：$(-2×3)a^{3+1}b^{2+3}=-6a^4b^5$。
(2) ① 按照单项式乘单项式法则，系数、同底数幂分别运算，单独字母保留：
原式$=[2×(-4)]×(x^2 · x)·(y · y^3) · z=-8x^3 y^4 z$。
② 先计算乘方，再做单项式乘法：
原式$=-8x^3 · (-4xy^2)=[-8×(-4)]·(x^3 · x) · y^2=32x^4 y^2$。
【答案】
(1) -2；3；1；3；$-6a^4b^5$
(2) ①$-8x^3y^4z$；②$32x^4y^2$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，需重点掌握单项式乘单项式的运算顺序和运算规则，运算时要注意系数的符号判断，不要漏写只在一个单项式中出现的字母，有乘方运算时要遵循“先乘方，再乘法”的运算顺序，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中单项式乘单项式的相关运算，解题需遵循对应运算法则：①先将各单项式的系数相乘，注意符号的处理；②同底数幂分别相乘，底数不变，指数相加；③仅在一个单项式中含有的字母，要连同它的指数一起作为积的因式。如果式子中含有乘方运算，需先算乘方，再算乘法。
对于(1)题，直接拆分运算步骤即可：系数部分为两个单项式的系数-2和3相乘，a的指数为两个单项式中a的指数3和1相加，b的指数为两个单项式中b的指数2和3相加，最后合并得到结果。
对于(2)的第①题，直接套用单项式乘单项式法则计算即可，注意单独出现的z不要遗漏；第②题先根据积的乘方法则计算$(-2x)^3$，再和后面的$-4xy^2$做单项式乘法运算。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式的运算步骤：
系数相乘部分为$-2×3$，
同底数幂a的指数相加：$3+1$，
同底数幂b的指数相加：$2+3$，
计算得：$(-2×3)a^{3+1}b^{2+3}=-6a^4b^5$。
(2) ① 按照单项式乘单项式法则，系数、同底数幂分别运算，单独字母保留：
原式$=[2×(-4)]×(x^2 · x)·(y · y^3) · z=-8x^3 y^4 z$。
② 先计算乘方，再做单项式乘法：
原式$=-8x^3 · (-4xy^2)=[-8×(-4)]·(x^3 · x) · y^2=32x^4 y^2$。
【答案】
(1) -2；3；1；3；$-6a^4b^5$
(2) ①$-8x^3y^4z$；②$32x^4y^2$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，需重点掌握单项式乘单项式的运算顺序和运算规则，运算时要注意系数的符号判断，不要漏写只在一个单项式中出现的字母，有乘方运算时要遵循“先乘方，再乘法”的运算顺序，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
3.计算：$(-3xy^2)^3 · (-x^2yz^3)=$
$27x^5 y^7 z^3$
.答案
3. $27x^5 y^7 z^3$
解析
【分析】
拿到本题首先明确运算顺序：有乘方和乘法时，先算乘方再算乘法。第一步先计算$(-3xy^2)^3$，需要用到积的乘方法则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）；得到乘方的结果后，再按照单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积的因式，计算时注意系数的符号处理。
【解析】
第一步：计算乘方运算
$\begin{aligned}(-3xy^2)^3&=(-3)^3· x^3· (y^2)^3\\&=-27x^3y^6\end{aligned}$
第二步：计算单项式乘单项式
$\begin{aligned}&(-27x^3y^6) · (-x^2yz^3)\\=&[(-27)×(-1)]· (x^3· x^2)· (y^6· y)· z^3\\=&27x^{3+2}y^{6+1}z^3\\=&27x^5y^7z^3\end{aligned}$
【答案】
$27x^5 y^7 z^3$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查幂的相关运算法则和单项式乘法的综合应用，解题时需注意运算顺序，避免符号计算错误和漏写仅在一个单项式中出现的字母，熟练掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确运算顺序：有乘方和乘法时，先算乘方再算乘法。第一步先计算$(-3xy^2)^3$，需要用到积的乘方法则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）；得到乘方的结果后，再按照单项式乘单项式的法则计算：系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积的因式，计算时注意系数的符号处理。
【解析】
第一步：计算乘方运算
$\begin{aligned}(-3xy^2)^3&=(-3)^3· x^3· (y^2)^3\\&=-27x^3y^6\end{aligned}$
第二步：计算单项式乘单项式
$\begin{aligned}&(-27x^3y^6) · (-x^2yz^3)\\=&[(-27)×(-1)]· (x^3· x^2)· (y^6· y)· z^3\\=&27x^{3+2}y^{6+1}z^3\\=&27x^5y^7z^3\end{aligned}$
【答案】
$27x^5 y^7 z^3$
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查幂的相关运算法则和单项式乘法的综合应用，解题时需注意运算顺序，避免符号计算错误和漏写仅在一个单项式中出现的字母，熟练掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 一种计算机每秒可做$4× 10^{8}$次运算，则它工作$3× 10^{3}$秒运算的次数为（
A.$12× 10^{24}$
B.$1.2× 10^{12}$
C.$12× 10^{12}$
D.$12× 10^{8}$
B
）A.$12× 10^{24}$
B.$1.2× 10^{12}$
C.$12× 10^{12}$
D.$12× 10^{8}$
答案
4. B
解析
【分析】
要计算计算机的总运算次数，首先根据“总运算次数=每秒运算次数×工作时间”列出算式，再按照整式乘法规则计算：先将系数相乘，再计算同底数幂的乘积，最后把结果调整为标准科学记数法（系数满足1≤a＜10）即可得到答案。
【解析】
根据数量关系列出算式：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(3×10^3)\\=&(4×3)×(10^8×10^3)\\=&12×10^{8+3}\\=&12×10^{11}\\=&1.2×10^{12}\end{aligned}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算应用题，解题核心是正确梳理数量关系，熟练掌握同底数幂的运算法则，同时要注意科学记数法的规范格式，避免出现系数不符合要求、指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
要计算计算机的总运算次数，首先根据“总运算次数=每秒运算次数×工作时间”列出算式，再按照整式乘法规则计算：先将系数相乘，再计算同底数幂的乘积，最后把结果调整为标准科学记数法（系数满足1≤a＜10）即可得到答案。
【解析】
根据数量关系列出算式：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(3×10^3)\\=&(4×3)×(10^8×10^3)\\=&12×10^{8+3}\\=&12×10^{11}\\=&1.2×10^{12}\end{aligned}$
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算应用题，解题核心是正确梳理数量关系，熟练掌握同底数幂的运算法则，同时要注意科学记数法的规范格式，避免出现系数不符合要求、指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
5.一个直角三角形的两直角边的长分别是2a和3a，则这个三角形的面积是
$3a^2$
；当a=2时，这个三角形的面积等于12
。答案
5. $3a^2$ 12
解析
【分析】
解题分为两步，首先回忆直角三角形面积公式：直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，先将两条直角边的长度代入公式，通过整式乘法运算得到面积的代数式；再将a=2代入得到的代数式，按运算顺序计算出具体的面积数值即可。
【解析】
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{直角边}_1×\mathrm{直角边}_2$：
1. 计算面积的代数式：
已知两直角边长为$2a$和$3a$，代入公式得：
$S=\frac{1}{2}×2a×3a$
先计算常数项：$\frac{1}{2}×2×3=3$，再计算字母项：$a×a=a^2$，化简得$S=3a^2$。
2. 当$a=2$时，代入$S=3a^2$计算：
$S=3×2^2=3×4=12$。
【答案】
$3a^2$；12
【知识点】
直角三角形面积计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟记直角三角形面积公式，计算时注意整式乘法的运算规则，代入数值求值时先算乘方再算乘法，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.9
解题分为两步，首先回忆直角三角形面积公式：直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，先将两条直角边的长度代入公式，通过整式乘法运算得到面积的代数式；再将a=2代入得到的代数式，按运算顺序计算出具体的面积数值即可。
【解析】
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{直角边}_1×\mathrm{直角边}_2$：
1. 计算面积的代数式：
已知两直角边长为$2a$和$3a$，代入公式得：
$S=\frac{1}{2}×2a×3a$
先计算常数项：$\frac{1}{2}×2×3=3$，再计算字母项：$a×a=a^2$，化简得$S=3a^2$。
2. 当$a=2$时，代入$S=3a^2$计算：
$S=3×2^2=3×4=12$。
【答案】
$3a^2$；12
【知识点】
直角三角形面积计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟记直角三角形面积公式，计算时注意整式乘法的运算规则，代入数值求值时先算乘方再算乘法，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.9
6.如图，沿正方形的对角线对折，把对折后重合的两个小正方形内的单项式相乘，乘积是
02 综合练 关键能力提升
$2a^2$(或$-2ab$)
（只要求写出一个结论）02 综合练 关键能力提升
答案
6. $2a^2$(或$-2ab$)
解析
【分析】
首先明确沿正方形对角线对折有两种情形：一是沿左上到右下的对角线对折，此时左上小正方形和右下小正方形重合；二是沿右上到左下的对角线对折，此时右上小正方形和左下小正方形重合。接下来只需分别将重合的两个单项式按照单项式乘法法则计算乘积，任选一个结果作答即可。
【解析】
情况1：沿正方形左上到右下的对角线对折，重合的单项式为$a$和$2a$，则乘积为：
$a · 2a = 2a^2$
情况2：沿正方形右上到左下的对角线对折，重合的单项式为$-2a$和$b$，则乘积为：
$(-2a) · b = -2ab$
题目要求写出一个结论，任选其一即可。
【答案】
$2a^2$(或$-2ab$)
【知识点】
单项式乘法，正方形对称性
【点评】
本题结合图形折叠的性质考查整式的运算，解题时需要考虑到对角线对折的两种不同情况，避免漏解，属于基础的综合类题目。
【难度系数】
0.7
首先明确沿正方形对角线对折有两种情形：一是沿左上到右下的对角线对折，此时左上小正方形和右下小正方形重合；二是沿右上到左下的对角线对折，此时右上小正方形和左下小正方形重合。接下来只需分别将重合的两个单项式按照单项式乘法法则计算乘积，任选一个结果作答即可。
【解析】
情况1：沿正方形左上到右下的对角线对折，重合的单项式为$a$和$2a$，则乘积为：
$a · 2a = 2a^2$
情况2：沿正方形右上到左下的对角线对折，重合的单项式为$-2a$和$b$，则乘积为：
$(-2a) · b = -2ab$
题目要求写出一个结论，任选其一即可。
【答案】
$2a^2$(或$-2ab$)
【知识点】
单项式乘法，正方形对称性
【点评】
本题结合图形折叠的性质考查整式的运算，解题时需要考虑到对角线对折的两种不同情况，避免漏解，属于基础的综合类题目。
【难度系数】
0.7
7.【整体思想】若$ab^3 = -2$，则$(-3ab) · 2ab^5$的值是
-24
。答案
7. -24
解析
【分析】
本题已知$ab^3$的值，无法直接求出$a$、$b$的具体数值，因此考虑用整体代入的思想求解。首先需要根据单项式乘法法则对所求代数式进行化简，再利用幂的乘方的逆运算将化简后的式子变形为含$ab^3$的形式，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先计算单项式乘法：
$\begin{aligned}(-3ab)·2ab^5&=(-3×2)·(a· a)·(b· b^5)\\&=-6a^2b^6\end{aligned}$
逆用积的乘方与幂的乘方法则，将式子变形：
$a^2b^6=(ab^3)^2$
已知$ab^3=-2$，整体代入得：
$\begin{aligned}-6a^2b^6&=-6×(ab^3)^2\\&=-6×(-2)^2\\&=-6×4\\&=-24\end{aligned}$
【答案】
-24
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题解题核心是灵活运用整式乘法的运算法则对待求式变形，结合整体代入思想简化计算，无需单独求解未知字母的值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.7
本题已知$ab^3$的值，无法直接求出$a$、$b$的具体数值，因此考虑用整体代入的思想求解。首先需要根据单项式乘法法则对所求代数式进行化简，再利用幂的乘方的逆运算将化简后的式子变形为含$ab^3$的形式，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先计算单项式乘法：
$\begin{aligned}(-3ab)·2ab^5&=(-3×2)·(a· a)·(b· b^5)\\&=-6a^2b^6\end{aligned}$
逆用积的乘方与幂的乘方法则，将式子变形：
$a^2b^6=(ab^3)^2$
已知$ab^3=-2$，整体代入得：
$\begin{aligned}-6a^2b^6&=-6×(ab^3)^2\\&=-6×(-2)^2\\&=-6×4\\&=-24\end{aligned}$
【答案】
-24
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题解题核心是灵活运用整式乘法的运算法则对待求式变形，结合整体代入思想简化计算，无需单独求解未知字母的值，有效降低了计算量。
【难度系数】
0.7
8.若$(a^{m+1}b^{n+2}) · (-a^{2n-1}b^{2m}) = -a^3b^5$，则$m+n$的值为
2
答案
8. 2
解析
【分析】
首先根据单项式乘法法则及同底数幂的乘法性质化简等式左边的式子，再根据等式两边相同字母的指数对应相等，得到关于m、n的两个方程，观察方程的特点，可将两个方程直接相加求出m+n的整体值，无需单独求解m和n，简化计算过程。
【解析】
先计算等式左边的乘积：
根据单项式乘法法则和同底数幂相乘，底数不变、指数相加，可得：
左边$=-a^{(m+1)+(2n-1)} · b^{(n+2)+2m}=-a^{m+2n}b^{2m+n+2}$
因为左边等于$-a^3b^5$，所以相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+2n=3&①\\2m+n+2=5&②\end{cases}$
整理②式得：$2m+n=3$ $③$
将①+③得：$3m+3n=6$
两边同时除以3，得：$m+n=2$
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的乘法，单项式乘单项式，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是整式运算与方程结合的基础题，解题核心是利用同底数幂的运算性质化简后根据指数相等列等量关系，采用整体代入的思路求m+n可大大提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先根据单项式乘法法则及同底数幂的乘法性质化简等式左边的式子，再根据等式两边相同字母的指数对应相等，得到关于m、n的两个方程，观察方程的特点，可将两个方程直接相加求出m+n的整体值，无需单独求解m和n，简化计算过程。
【解析】
先计算等式左边的乘积：
根据单项式乘法法则和同底数幂相乘，底数不变、指数相加，可得：
左边$=-a^{(m+1)+(2n-1)} · b^{(n+2)+2m}=-a^{m+2n}b^{2m+n+2}$
因为左边等于$-a^3b^5$，所以相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+2n=3&①\\2m+n+2=5&②\end{cases}$
整理②式得：$2m+n=3$ $③$
将①+③得：$3m+3n=6$
两边同时除以3，得：$m+n=2$
【答案】
2
【知识点】
同底数幂的乘法，单项式乘单项式，二元一次方程组的应用
【点评】
本题是整式运算与方程结合的基础题，解题核心是利用同底数幂的运算性质化简后根据指数相等列等量关系，采用整体代入的思路求m+n可大大提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9.【教材 P111 习题 T7 变式】先化简，再求值：
(1) $2x · (-3xy)^2 · (-x^2 y)^3$，其中 $x=1$，$y=-1$；
(2) $2x^2 y · (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$，其中 $x=4$，$y=\frac{1}{4}$。
(1) $2x · (-3xy)^2 · (-x^2 y)^3$，其中 $x=1$，$y=-1$；
(2) $2x^2 y · (-2xy^2)^3 + (2xy)^3 · (-xy^2)^2$，其中 $x=4$，$y=\frac{1}{4}$。
答案
9. (1)解:原式$=2x · 9x^2 y^2 · (-x^6 y^3)=-18x^9 y^5$. 当 $x=1,y=-1$ 时, 原式$=-18x^9 y^5=-18×1^9×(-1)^5=18$； (2)解:原式$=-8x^5 y^7=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这两道题均为整式化简求值题，解题遵循“先化简、再求值”的思路：①先算乘方，依据积的乘方法则计算各式子中的乘方项，注意符号判断；②再算乘法，依据单项式乘单项式法则计算单项式乘积；③若有同类项则合并同类项得到最简式；④最后将已知的x、y值代入最简式计算结果。计算时要注意符号、指数不要算错。
【解析】
(1) 第一步：计算乘方项
$(-3xy)^2=(-3)^2x^2y^2=9x^2y^2$，$(-x^2y)^3=(-1)^3(x^2)^3y^3=-x^6y^3$
第二步：计算单项式乘积
原式$=2x · 9x^2 y^2 · (-x^6 y^3)$
$=(2×9×(-1))·x^{1+2+6}·y^{2+3}$
$=-18x^9 y^5$
第三步：代值计算
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-18×1^9×(-1)^5=-18×1×(-1)=18$
(2) 第一步：计算乘方项
$(-2xy^2)^3=(-2)^3x^3(y^2)^3=-8x^3y^6$，$(2xy)^3=2^3x^3y^3=8x^3y^3$，$(-xy^2)^2=(-1)^2x^2(y^2)^2=x^2y^4$
第二步：分别计算两个单项式乘积
第一个项：$2x^2y · (-8x^3y^6)=2×(-8)·x^{2+3}·y^{1+6}=-16x^5y^7$
第二个项：$8x^3y^3 · x^2y^4=8·x^{3+2}·y^{3+4}=8x^5y^7$
第三步：合并同类项
原式$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7=-8x^5y^7$
第四步：代值计算
当$x=4,y=\frac{1}{4}$时，
原式$=-8×4^5×(\frac{1}{4})^7=-8×(4×\frac{1}{4})^5×(\frac{1}{4})^2=-8×1^5×\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-18x^9y^5$，值为$\boxed{18}$；
(2) 化简结果为$-8x^5y^7$，值为$\boxed{-\frac{1}{2}}$。
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查幂的运算性质和整式乘法法则的应用，计算时需注意负号的乘方符号判断，代值计算时可通过整体法简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这两道题均为整式化简求值题，解题遵循“先化简、再求值”的思路：①先算乘方，依据积的乘方法则计算各式子中的乘方项，注意符号判断；②再算乘法，依据单项式乘单项式法则计算单项式乘积；③若有同类项则合并同类项得到最简式；④最后将已知的x、y值代入最简式计算结果。计算时要注意符号、指数不要算错。
【解析】
(1) 第一步：计算乘方项
$(-3xy)^2=(-3)^2x^2y^2=9x^2y^2$，$(-x^2y)^3=(-1)^3(x^2)^3y^3=-x^6y^3$
第二步：计算单项式乘积
原式$=2x · 9x^2 y^2 · (-x^6 y^3)$
$=(2×9×(-1))·x^{1+2+6}·y^{2+3}$
$=-18x^9 y^5$
第三步：代值计算
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-18×1^9×(-1)^5=-18×1×(-1)=18$
(2) 第一步：计算乘方项
$(-2xy^2)^3=(-2)^3x^3(y^2)^3=-8x^3y^6$，$(2xy)^3=2^3x^3y^3=8x^3y^3$，$(-xy^2)^2=(-1)^2x^2(y^2)^2=x^2y^4$
第二步：分别计算两个单项式乘积
第一个项：$2x^2y · (-8x^3y^6)=2×(-8)·x^{2+3}·y^{1+6}=-16x^5y^7$
第二个项：$8x^3y^3 · x^2y^4=8·x^{3+2}·y^{3+4}=8x^5y^7$
第三步：合并同类项
原式$=-16x^5y^7 + 8x^5y^7=-8x^5y^7$
第四步：代值计算
当$x=4,y=\frac{1}{4}$时，
原式$=-8×4^5×(\frac{1}{4})^7=-8×(4×\frac{1}{4})^5×(\frac{1}{4})^2=-8×1^5×\frac{1}{16}=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-18x^9y^5$，值为$\boxed{18}$；
(2) 化简结果为$-8x^5y^7$，值为$\boxed{-\frac{1}{2}}$。
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查幂的运算性质和整式乘法法则的应用，计算时需注意负号的乘方符号判断，代值计算时可通过整体法简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
10.【教材P104练习T4变式】光在真空中的速度约是$3× 10^{8}\ \mathrm{m/s}$，光在真空中穿行1年的距离称为1光年.若1年以$3× 10^{7}\ \mathrm{s}$计算，1光年约是多少千米？
03 素养练
学科素养培育
03 素养练
学科素养培育
答案
解:1 光年$=(3×10^8)×(3×10^7)=(3×3)×(10^8×10^7)=9×10^{15}(\mathrm{m}). 9×10^{15}\mathrm{m}=9×10^{12}\ \mathrm{km}.$ 答:1 光年约是 $9×10^{12}\ \mathrm{km}.$
解析
【分析】
要计算1光年的距离，首先根据路程=速度×时间的基本关系，用真空中的光速乘以1年的总时长，先得到以米为单位的距离，计算时用到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再根据1千米=10³米的换算关系，将米转换为千米，调整科学记数法的指数即可得到最终结果。
【解析】
解：根据路程计算公式可得：
1光年的长度（以米为单位）：
$\begin{aligned}&(3×10^8)×(3×10^7)\\=&(3×3)×(10^8×10^7)\\=&9×10^{8+7}\\=&9×10^{15}\ \mathrm{m}\end{aligned}$
进行单位换算：
因为$1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm{m}$，所以$9×10^{15}\ \mathrm{m}=9×10^{15}÷10^3\ \mathrm{km}=9×10^{12}\ \mathrm{km}$
【答案】
$9×10^{12}\ \mathrm{km}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；长度单位换算
【点评】
本题结合常见的天文单位“光年”考查幂的运算的实际应用，解题时要注意单位转换的步骤，避免因漏掉米和千米的换算导致结果出错，同时要熟练掌握同底数幂的运算法则，保证指数运算准确。
【难度系数】
0.8
要计算1光年的距离，首先根据路程=速度×时间的基本关系，用真空中的光速乘以1年的总时长，先得到以米为单位的距离，计算时用到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再根据1千米=10³米的换算关系，将米转换为千米，调整科学记数法的指数即可得到最终结果。
【解析】
解：根据路程计算公式可得：
1光年的长度（以米为单位）：
$\begin{aligned}&(3×10^8)×(3×10^7)\\=&(3×3)×(10^8×10^7)\\=&9×10^{8+7}\\=&9×10^{15}\ \mathrm{m}\end{aligned}$
进行单位换算：
因为$1\ \mathrm{km}=10^3\ \mathrm{m}$，所以$9×10^{15}\ \mathrm{m}=9×10^{15}÷10^3\ \mathrm{km}=9×10^{12}\ \mathrm{km}$
【答案】
$9×10^{12}\ \mathrm{km}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；长度单位换算
【点评】
本题结合常见的天文单位“光年”考查幂的运算的实际应用，解题时要注意单位转换的步骤，避免因漏掉米和千米的换算导致结果出错，同时要熟练掌握同底数幂的运算法则，保证指数运算准确。
【难度系数】
0.8
11.已知单项式$9a^{m+1}b^{n+1}$和$-2a^{2m-1}b^{2n-1}$的积与$5a^3b^6$是同类项，求$m,n$的值。
答案
11. 解:$(9a^{m+1} b^{n+1}) · (-2a^{2m-1} b^{2n-1})=9×(-2)·a^{m+1}·a^{2m-1}·b^{n+1}·b^{2n-1}=-18a^{3m}b^{3n}.\because -18a^{3m}b^{3n}$与$5a^3 b^6$是同类项,$\therefore 3m=3,3n=6$,解得 $m=1,n=2.$
解析
【分析】
要解决这道题可按三步思考：第一步，先根据单项式乘法法则计算两个已知单项式的乘积，计算时系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按照同底数幂乘法规则，底数不变、指数相加；第二步，结合同类项的定义，即所含字母相同且相同字母的指数也分别相等的项为同类项，可列出关于m、n的一元一次方程；第三步，求解方程即可得到m、n的值。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(9a^{m+1} b^{n+1}) · (-2a^{2m-1} b^{2n-1})&=9×(-2)·a^{m+1}·a^{2m-1}·b^{n+1}·b^{2n-1}\\&=-18a^{(m+1)+(2m-1)}b^{(n+1)+(2n-1)}\\&=-18a^{3m}b^{3n}\end{aligned}$
$\because -18a^{3m}b^{3n}$与$5a^3 b^6$是同类项，$\therefore$相同字母的指数对应相等，可得：
$3m=3$，$3n=6$
分别解方程得：$m=1$，$n=2$。
【答案】
$m=1，n=2$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；同类项的定义
【点评】
本题属于整式运算与同类项知识结合的基础常考题，解题核心是先正确完成单项式乘法运算，再利用同类项的性质建立方程求解，熟练掌握基础运算法则和概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按三步思考：第一步，先根据单项式乘法法则计算两个已知单项式的乘积，计算时系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按照同底数幂乘法规则，底数不变、指数相加；第二步，结合同类项的定义，即所含字母相同且相同字母的指数也分别相等的项为同类项，可列出关于m、n的一元一次方程；第三步，求解方程即可得到m、n的值。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(9a^{m+1} b^{n+1}) · (-2a^{2m-1} b^{2n-1})&=9×(-2)·a^{m+1}·a^{2m-1}·b^{n+1}·b^{2n-1}\\&=-18a^{(m+1)+(2m-1)}b^{(n+1)+(2n-1)}\\&=-18a^{3m}b^{3n}\end{aligned}$
$\because -18a^{3m}b^{3n}$与$5a^3 b^6$是同类项，$\therefore$相同字母的指数对应相等，可得：
$3m=3$，$3n=6$
分别解方程得：$m=1$，$n=2$。
【答案】
$m=1，n=2$
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；同类项的定义
【点评】
本题属于整式运算与同类项知识结合的基础常考题，解题核心是先正确完成单项式乘法运算，再利用同类项的性质建立方程求解，熟练掌握基础运算法则和概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
