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1. 计算:
(1)$a · a^4 =$
(2)$(a^5)^2 =$
(3)$(-a^4)^3 =$
(4)$(2y^2)^3 =$
(5)$(-a^2b^3c)^3 =$
(6)$(a^2)^3 · a^4 =$
(7)$(\frac{1}{2}x) · (\frac{1}{2}x)^2 · (\frac{1}{2}x)^3 =$
(8)$(-a^m)^5 · a^n =$
(1)$a · a^4 =$
$a^5$
.(2)$(a^5)^2 =$
$a^{10}$
.(3)$(-a^4)^3 =$
$-a^{12}$
.(4)$(2y^2)^3 =$
$8y^6$
.(5)$(-a^2b^3c)^3 =$
$-a^6b^9c^3$
.(6)$(a^2)^3 · a^4 =$
$a^{10}$
.(7)$(\frac{1}{2}x) · (\frac{1}{2}x)^2 · (\frac{1}{2}x)^3 =$
$\frac{1}{64}x^6$
.(8)$(-a^m)^5 · a^n =$
$-a^{5m+n}$
.答案
1. (1) $a^5$ (2) $a^{10}$ (3) $-a^{12}$ (4) $8y^6$ (5) $-a^6b^9c^3$ (6) $a^{10}$ (7) $\frac{1}{64}x^6$ (8) $-a^{5m+n}$
解析
【分析】
这组题目均考查幂的运算法则，解题思路如下：首先判断每道题对应的幂的运算类型，再套用对应法则计算：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。计算时需特别注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，系数也要同步参与运算。
【解析】
(1) 属于同底数幂相乘：$a· a^4 = a^{1+4}=a^5$
(2) 属于幂的乘方：$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10}$
(3) 属于积的乘方+幂的乘方：$(-a^4)^3 = (-1)^3· (a^4)^3 = -1· a^{4×3}=-a^{12}$
(4) 属于积的乘方+幂的乘方：$(2y^2)^3 = 2^3· (y^2)^3 = 8· y^{2×3}=8y^6$
(5) 属于积的乘方+幂的乘方：$(-a^2b^3c)^3 = (-1)^3· (a^2)^3· (b^3)^3· c^3 = -1· a^{6}· b^{9}· c^3=-a^6b^9c^3$
(6) 先算幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(a^2)^3· a^4 = a^{2×3}· a^4 = a^6· a^4 = a^{6+4}=a^{10}$
(7) 先算同底数幂相乘，再算积的乘方：$(\frac{1}{2}x)· (\frac{1}{2}x)^2· (\frac{1}{2}x)^3 = (\frac{1}{2}x)^{1+2+3}=(\frac{1}{2}x)^6 = (\frac{1}{2})^6· x^6=\frac{1}{64}x^6$
(8) 先算积的乘方+幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(-a^m)^5· a^n = (-1)^5· (a^m)^5· a^n = -a^{5m}· a^n = -a^{5m+n}$
【答案】
(1)$a^5$；(2)$a^{10}$；(3)$-a^{12}$；(4)$8y^6$；(5)$-a^6b^9c^3$；(6)$a^{10}$；(7)$\frac{1}{64}x^6$；(8)$-a^{5m+n}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是准确区分不同运算对应的法则，尤其要注意符号和系数的运算规则，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.85
这组题目均考查幂的运算法则，解题思路如下：首先判断每道题对应的幂的运算类型，再套用对应法则计算：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。计算时需特别注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，系数也要同步参与运算。
【解析】
(1) 属于同底数幂相乘：$a· a^4 = a^{1+4}=a^5$
(2) 属于幂的乘方：$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10}$
(3) 属于积的乘方+幂的乘方：$(-a^4)^3 = (-1)^3· (a^4)^3 = -1· a^{4×3}=-a^{12}$
(4) 属于积的乘方+幂的乘方：$(2y^2)^3 = 2^3· (y^2)^3 = 8· y^{2×3}=8y^6$
(5) 属于积的乘方+幂的乘方：$(-a^2b^3c)^3 = (-1)^3· (a^2)^3· (b^3)^3· c^3 = -1· a^{6}· b^{9}· c^3=-a^6b^9c^3$
(6) 先算幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(a^2)^3· a^4 = a^{2×3}· a^4 = a^6· a^4 = a^{6+4}=a^{10}$
(7) 先算同底数幂相乘，再算积的乘方：$(\frac{1}{2}x)· (\frac{1}{2}x)^2· (\frac{1}{2}x)^3 = (\frac{1}{2}x)^{1+2+3}=(\frac{1}{2}x)^6 = (\frac{1}{2})^6· x^6=\frac{1}{64}x^6$
(8) 先算积的乘方+幂的乘方，再算同底数幂相乘：$(-a^m)^5· a^n = (-1)^5· (a^m)^5· a^n = -a^{5m}· a^n = -a^{5m+n}$
【答案】
(1)$a^5$；(2)$a^{10}$；(3)$-a^{12}$；(4)$8y^6$；(5)$-a^6b^9c^3$；(6)$a^{10}$；(7)$\frac{1}{64}x^6$；(8)$-a^{5m+n}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是准确区分不同运算对应的法则，尤其要注意符号和系数的运算规则，避免出现指数运算混淆、符号判断错误的问题。
【难度系数】
0.85
2.若$(a^{m+n}b^{m}b^{2n})^{2}=a^{8}b^{16}$，则$m=$
0
，$n=$4
.答案
2. m=0，n=4
解析
【分析】
解题时首先回忆幂的相关运算法则：第一步先利用同底数幂的乘法法则化简括号内b的项，再利用积的乘方、幂的乘方法则计算括号的平方，得到左边化简后的结果；再根据“两个幂相等时，若底数相同且不为0，则对应指数相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 合并括号内同底数幂的b项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$b^m · b^{2n}=b^{m+2n}$，因此括号内的式子可写为$a^{m+n}b^{m+2n}$。
2. 计算括号的平方：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，以及幂的乘方法则$(a^x)^y=a^{xy}$，可得：
$(a^{m+n}b^{m+2n})^2 = a^{2(m+n)} · b^{2(m+2n)}$
3. 因为等式左右两边相等，且底数a、b不为0，因此相同底数的幂对应指数相等，可列方程组：
$\begin{cases}2(m+n)=8 \\ 2(m+2n)=16\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}m+n=4 ①\\ m+2n=8 ②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$n=4$
将$n=4$代入①，得$m+4=4$，解得$m=0$。
【答案】
$m=0$，$n=4$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的运算性质化简等式，再利用同底数幂相等的性质列方程求解，是幂运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆幂的相关运算法则：第一步先利用同底数幂的乘法法则化简括号内b的项，再利用积的乘方、幂的乘方法则计算括号的平方，得到左边化简后的结果；再根据“两个幂相等时，若底数相同且不为0，则对应指数相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 合并括号内同底数幂的b项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$b^m · b^{2n}=b^{m+2n}$，因此括号内的式子可写为$a^{m+n}b^{m+2n}$。
2. 计算括号的平方：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，以及幂的乘方法则$(a^x)^y=a^{xy}$，可得：
$(a^{m+n}b^{m+2n})^2 = a^{2(m+n)} · b^{2(m+2n)}$
3. 因为等式左右两边相等，且底数a、b不为0，因此相同底数的幂对应指数相等，可列方程组：
$\begin{cases}2(m+n)=8 \\ 2(m+2n)=16\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}m+n=4 ①\\ m+2n=8 ②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$n=4$
将$n=4$代入①，得$m+4=4$，解得$m=0$。
【答案】
$m=0$，$n=4$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的运算性质化简等式，再利用同底数幂相等的性质列方程求解，是幂运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 计算:
(1)$(-2a^nb^{3n})^2 + (a^2b^6)^n$;
(2)$(x-y)^4 · (y-x)^3 · [-(x-y)^2]^2 · (y-x)$;
(1)$(-2a^nb^{3n})^2 + (a^2b^6)^n$;
(2)$(x-y)^4 · (y-x)^3 · [-(x-y)^2]^2 · (y-x)$;
答案
(1) 解:原式$=4a^{2n}b^{6n}+a^{2n}b^{6n}=5a^{2n}b^{6n}$；(2) 解:原式$=(y-x)^4 · (y-x)^3 · (y-x)^4 · (y-x)=(y-x)^{12}$;
解析
【分析】
(1) 第一问考查积的乘方、幂的乘方及同类项合并，解题思路：先分别对两个乘方式子运用积的乘方法则（积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘）和幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）展开，判断两项为同类项后合并即可得到结果。
(2) 第二问考查同底数幂的乘法运算，解题思路：观察到式子中底数有$(x-y)$和$(y-x)$两种，二者互为相反数，根据“互为相反数的两个数偶次幂相等、奇次幂互为相反数”先统一底数为$(y-x)$，同时先计算$[-(x-y)^2]^2$的结果，再运用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算即可。
【解析】
(1) 计算$(-2a^nb^{3n})^2 + (a^2b^6)^n$：
根据积的乘方、幂的乘方法则：
$(-2a^nb^{3n})^2=(-2)^2· (a^n)^2· (b^{3n})^2=4a^{2n}b^{6n}$
$(a^2b^6)^n=(a^2)^n· (b^6)^n=a^{2n}b^{6n}$
合并同类项得：
原式$=4a^{2n}b^{6n}+a^{2n}b^{6n}=5a^{2n}b^{6n}$
(2) 计算$(x-y)^4 · (y-x)^3 · [-(x-y)^2]^2 · (y-x)$：
先统一底数并化简幂的乘方：
$(x-y)^4=(y-x)^4$，$[-(x-y)^2]^2=(-1)^2· [(x-y)^2]^2=(x-y)^4=(y-x)^4$
原式转化为：
$(y-x)^4 · (y-x)^3 · (y-x)^4 · (y-x)$
根据同底数幂乘法法则，指数相加：$4+3+4+1=12$
因此原式$=(y-x)^{12}$
【答案】
(1) $5a^{2n}b^{6n}$；(2) $(y-x)^{12}$
【知识点】
1.幂的乘方与积的乘方 2.同底数幂的乘法 3.同类项合并
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是熟练掌握幂的各类运算规则，重点注意统一不同形式的底数、处理好运算过程中的符号，避免因符号或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问考查积的乘方、幂的乘方及同类项合并，解题思路：先分别对两个乘方式子运用积的乘方法则（积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘）和幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）展开，判断两项为同类项后合并即可得到结果。
(2) 第二问考查同底数幂的乘法运算，解题思路：观察到式子中底数有$(x-y)$和$(y-x)$两种，二者互为相反数，根据“互为相反数的两个数偶次幂相等、奇次幂互为相反数”先统一底数为$(y-x)$，同时先计算$[-(x-y)^2]^2$的结果，再运用同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算即可。
【解析】
(1) 计算$(-2a^nb^{3n})^2 + (a^2b^6)^n$：
根据积的乘方、幂的乘方法则：
$(-2a^nb^{3n})^2=(-2)^2· (a^n)^2· (b^{3n})^2=4a^{2n}b^{6n}$
$(a^2b^6)^n=(a^2)^n· (b^6)^n=a^{2n}b^{6n}$
合并同类项得：
原式$=4a^{2n}b^{6n}+a^{2n}b^{6n}=5a^{2n}b^{6n}$
(2) 计算$(x-y)^4 · (y-x)^3 · [-(x-y)^2]^2 · (y-x)$：
先统一底数并化简幂的乘方：
$(x-y)^4=(y-x)^4$，$[-(x-y)^2]^2=(-1)^2· [(x-y)^2]^2=(x-y)^4=(y-x)^4$
原式转化为：
$(y-x)^4 · (y-x)^3 · (y-x)^4 · (y-x)$
根据同底数幂乘法法则，指数相加：$4+3+4+1=12$
因此原式$=(y-x)^{12}$
【答案】
(1) $5a^{2n}b^{6n}$；(2) $(y-x)^{12}$
【知识点】
1.幂的乘方与积的乘方 2.同底数幂的乘法 3.同类项合并
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是熟练掌握幂的各类运算规则，重点注意统一不同形式的底数、处理好运算过程中的符号，避免因符号或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
4.已知 $3^x = 6, 3^y = 2$.
(1) $3^{x+y} = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $3^{3x} = \_\_\_\_\_\_$;
(3)求 $3^{3x+2y}$ 的值.
(1) $3^{x+y} = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $3^{3x} = \_\_\_\_\_\_$;
(3)求 $3^{3x+2y}$ 的值.
答案
4. (1) 12 (2) 216 (3) 解: $3^{3x+2y}=3^{3x} · 3^{2y}=(3^x)^3 × (3^y)^2=6^3 × 2^2=864$.
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则的应用，解题核心是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方法则及其逆运算：
1. 求$3^{x+y}$时，逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，将式子转化为$3^x·3^y$，代入已知条件计算即可；
2. 求$3^{3x}$时，逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，将式子转化为$(3^x)^3$，代入已知数值计算即可；
3. 求$3^{3x+2y}$时，先逆用同底数幂的乘法法则拆分为$3^{3x}·3^{2y}$，再分别逆用幂的乘方法则转化为$(3^x)^3·(3^y)^2$，最后代入已知的$3^x$、$3^y$的值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：$3^{x+y}=3^x · 3^y$，将$3^x=6$，$3^y=2$代入，得$3^{x+y}=6 × 2=12$；
(2) 根据幂的乘方的逆运算可得：$3^{3x}=(3^x)^3$，将$3^x=6$代入，得$3^{3x}=6^3=216$；
(3) 先逆用同底数幂的乘法法则拆分指数，再逆用幂的乘方法则变形：
$3^{3x+2y}=3^{3x} · 3^{2y}=(3^x)^3 × (3^y)^2$
将$3^x=6$，$3^y=2$代入计算：
原式$=6^3 × 2^2=216 × 4=864$
【答案】
(1) 12；(2) 216；(3) 864
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础常考题型，重点考察幂的运算法则的灵活运用，尤其是法则的逆用，熟练掌握各运算法则的正反变形是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算法则的应用，解题核心是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方法则及其逆运算：
1. 求$3^{x+y}$时，逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m·a^n$，将式子转化为$3^x·3^y$，代入已知条件计算即可；
2. 求$3^{3x}$时，逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，将式子转化为$(3^x)^3$，代入已知数值计算即可；
3. 求$3^{3x+2y}$时，先逆用同底数幂的乘法法则拆分为$3^{3x}·3^{2y}$，再分别逆用幂的乘方法则转化为$(3^x)^3·(3^y)^2$，最后代入已知的$3^x$、$3^y$的值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：$3^{x+y}=3^x · 3^y$，将$3^x=6$，$3^y=2$代入，得$3^{x+y}=6 × 2=12$；
(2) 根据幂的乘方的逆运算可得：$3^{3x}=(3^x)^3$，将$3^x=6$代入，得$3^{3x}=6^3=216$；
(3) 先逆用同底数幂的乘法法则拆分指数，再逆用幂的乘方法则变形：
$3^{3x+2y}=3^{3x} · 3^{2y}=(3^x)^3 × (3^y)^2$
将$3^x=6$，$3^y=2$代入计算：
原式$=6^3 × 2^2=216 × 4=864$
【答案】
(1) 12；(2) 216；(3) 864
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础常考题型，重点考察幂的运算法则的灵活运用，尤其是法则的逆用，熟练掌握各运算法则的正反变形是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $ 2^{x+1} · 5^{x+1} = 100^x $；
(2) $ 3^{2x+2} - 3^{2x+1} = 486 $。
(1) $ 2^{x+1} · 5^{x+1} = 100^x $；
(2) $ 3^{2x+2} - 3^{2x+1} = 486 $。
答案
5. (1) 解: $\because 2^{x+1} · 5^{x+1}=10^{x+1},100^x=10^{2x},\therefore 10^{x+1}=10^{2x},\therefore x+1=2x$,解得:$x=1$. (2) 解: $\because 3^{2x+2}-3^{2x+1}=9×3^{2x}-3×3^{2x}=6×3^{2x},\therefore 6×3^{2x}=486,\therefore 3^{2x}=81.\therefore 3^{2x}=3^4.\therefore 2x=4.$ 解得 $x=2.$
解析
【分析】
对于（1），观察到等式左边是同指数的两个幂相乘，可逆用积的乘方法则将左边合并为底数为10的幂；右边100可改写为10²，因此100ˣ可转化为10的2x次方，此时等式两边底数相同，根据“同底数幂相等则指数相等”即可列一元一次方程求解x。
对于（2），观察等式左边两个幂的指数相近，可逆用同底数幂的乘法法则，将高次幂拆分为常数项与低次幂的乘积，提取公因式后化简左边，再将右边的数转化为以3为底的幂，同样利用“同底数幂相等则指数相等”列方程求解x。
【解析】
(1) 解：
$\because 2^{x+1} · 5^{x+1}=(2×5)^{x+1}=10^{x+1}$，$100^x=(10^2)^x=10^{2x}$
$\therefore 10^{x+1}=10^{2x}$
根据同底数幂相等则指数相等，得 $x+1=2x$
解得：$x=1$
(2) 解：
$\because 3^{2x+2}-3^{2x+1}=3^2×3^{2x} - 3^1×3^{2x}=9×3^{2x}-3×3^{2x}=6×3^{2x}$
$\therefore 6×3^{2x}=486$
两边同时除以6，得 $3^{2x}=81$
又$\because 81=3^4$
$\therefore 3^{2x}=3^4$
根据同底数幂相等则指数相等，得 $2x=4$
解得：$x=2$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=2$
【知识点】
1.积的乘方运算 2.同底数幂的乘法 3.幂的运算应用
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用类题目，解题核心是灵活逆用幂的运算法则，将等式两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的性质列方程求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解这类题的前提。
【难度系数】
0.7
对于（1），观察到等式左边是同指数的两个幂相乘，可逆用积的乘方法则将左边合并为底数为10的幂；右边100可改写为10²，因此100ˣ可转化为10的2x次方，此时等式两边底数相同，根据“同底数幂相等则指数相等”即可列一元一次方程求解x。
对于（2），观察等式左边两个幂的指数相近，可逆用同底数幂的乘法法则，将高次幂拆分为常数项与低次幂的乘积，提取公因式后化简左边，再将右边的数转化为以3为底的幂，同样利用“同底数幂相等则指数相等”列方程求解x。
【解析】
(1) 解：
$\because 2^{x+1} · 5^{x+1}=(2×5)^{x+1}=10^{x+1}$，$100^x=(10^2)^x=10^{2x}$
$\therefore 10^{x+1}=10^{2x}$
根据同底数幂相等则指数相等，得 $x+1=2x$
解得：$x=1$
(2) 解：
$\because 3^{2x+2}-3^{2x+1}=3^2×3^{2x} - 3^1×3^{2x}=9×3^{2x}-3×3^{2x}=6×3^{2x}$
$\therefore 6×3^{2x}=486$
两边同时除以6，得 $3^{2x}=81$
又$\because 81=3^4$
$\therefore 3^{2x}=3^4$
根据同底数幂相等则指数相等，得 $2x=4$
解得：$x=2$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=2$
【知识点】
1.积的乘方运算 2.同底数幂的乘法 3.幂的运算应用
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用类题目，解题核心是灵活逆用幂的运算法则，将等式两边转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的性质列方程求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解这类题的前提。
【难度系数】
0.7
（二）逆用幂的运算法则比较大小
6. 已知 $ a=81^{31}, b=27^{41}, c=9^{61} $，则 $ a,b,c $ 的大小关系是 （
A.$ a＞b＞c $
B.$ a＞c＞b $
C.$ c＞b＞a $
D.$ b＞c＞a $
【点拨】这三个数的底数和指数都不相同，但底数81,27,9都可以化为3的幂的形式.故化为底数相同的幂，然后比较指数的大小.
6. 已知 $ a=81^{31}, b=27^{41}, c=9^{61} $，则 $ a,b,c $ 的大小关系是 （
A
）A.$ a＞b＞c $
B.$ a＞c＞b $
C.$ c＞b＞a $
D.$ b＞c＞a $
【点拨】这三个数的底数和指数都不相同，但底数81,27,9都可以化为3的幂的形式.故化为底数相同的幂，然后比较指数的大小.
答案
6. A
解析
【分析】
要比较底数和指数都不同的幂的大小，首先观察三个数的底数81、27、9都可以转化为以3为底的幂，因此我们可以逆用幂的乘方法则，将a、b、c都转化为底数是3的幂的形式，当底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大，只需要比较转化后三个幂的指数大小即可判断原数的大小关系。
【解析】
首先利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$的逆运算，将三个数统一底数为3：
1. 化简$a$：$\because 81=3^4$，$\therefore a=81^{31}=(3^4)^{31}=3^{4×31}=3^{124}$；
2. 化简$b$：$\because 27=3^3$，$\therefore b=27^{41}=(3^3)^{41}=3^{3×41}=3^{123}$；
3. 化简$c$：$\because 9=3^2$，$\therefore c=9^{61}=(3^2)^{61}=3^{2×61}=3^{122}$。
$\because$ 底数$3＞1$，同底数幂中指数越大，幂的值越大，且$124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$a＞b＞c$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂大小比较，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题核心是通过逆用幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小得到结果，该转化思路在幂的相关运算及大小比较问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
要比较底数和指数都不同的幂的大小，首先观察三个数的底数81、27、9都可以转化为以3为底的幂，因此我们可以逆用幂的乘方法则，将a、b、c都转化为底数是3的幂的形式，当底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大，只需要比较转化后三个幂的指数大小即可判断原数的大小关系。
【解析】
首先利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$的逆运算，将三个数统一底数为3：
1. 化简$a$：$\because 81=3^4$，$\therefore a=81^{31}=(3^4)^{31}=3^{4×31}=3^{124}$；
2. 化简$b$：$\because 27=3^3$，$\therefore b=27^{41}=(3^3)^{41}=3^{3×41}=3^{123}$；
3. 化简$c$：$\because 9=3^2$，$\therefore c=9^{61}=(3^2)^{61}=3^{2×61}=3^{122}$。
$\because$ 底数$3＞1$，同底数幂中指数越大，幂的值越大，且$124＞123＞122$，
$\therefore 3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，即$a＞b＞c$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂大小比较，幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题核心是通过逆用幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小得到结果，该转化思路在幂的相关运算及大小比较问题中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
7. 已知$P=\dfrac{88^8}{8^{88}}, Q=\dfrac{11^8}{8^{80}}$，比较$P$和$Q$的大小。
答案
解: $\because P=\dfrac{88^8}{8^{88}}=\dfrac{(8×11)^8}{8^{88}}=\dfrac{8^8×11^8}{8^8×8^{80}},\therefore P=\dfrac{11^8}{8^{80}},\therefore P=Q.$
解析
【分析】
要比较P和Q的大小，可先对P进行变形化简，使其结构向Q的形式靠拢。首先观察P的分子底数88可拆为8×11，利用积的乘方法则展开分子，再将分母的$8^{88}$拆分为同底数幂相乘的形式，通过约分即可得到P的最简形式，最后和Q对比判断大小即可。
【解析】
$\because P=\dfrac{88^8}{8^{88}}=\dfrac{(8×11)^8}{8^{88}}=\dfrac{8^8×11^8}{8^8×8^{80}}$
约分可得：$P=\dfrac{11^8}{8^{80}}$
又$\because Q=\dfrac{11^8}{8^{80}}$
$\therefore P=Q$
【答案】
$P=Q$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的运算、分式约分
【点评】
本题是幂的运算法则应用的典型题型，核心考查对幂的运算性质的灵活运用，解题关键是合理拆分底数，将待比较的代数式转化为同结构的形式，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
要比较P和Q的大小，可先对P进行变形化简，使其结构向Q的形式靠拢。首先观察P的分子底数88可拆为8×11，利用积的乘方法则展开分子，再将分母的$8^{88}$拆分为同底数幂相乘的形式，通过约分即可得到P的最简形式，最后和Q对比判断大小即可。
【解析】
$\because P=\dfrac{88^8}{8^{88}}=\dfrac{(8×11)^8}{8^{88}}=\dfrac{8^8×11^8}{8^8×8^{80}}$
约分可得：$P=\dfrac{11^8}{8^{80}}$
又$\because Q=\dfrac{11^8}{8^{80}}$
$\therefore P=Q$
【答案】
$P=Q$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的运算、分式约分
【点评】
本题是幂的运算法则应用的典型题型，核心考查对幂的运算性质的灵活运用，解题关键是合理拆分底数，将待比较的代数式转化为同结构的形式，解题思路清晰，技巧性不强。
【难度系数】
0.8
