知识储备
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算法则，我们可以结合乘法分配律来推导理解该法则：将单项式看作乘法分配律中的单个因数，多项式看作多个加数的和，根据乘法分配律a(b+c+d)=ab+ac+ad可知，首先要用单项式乘多项式的每一项，再把所有乘得的积相加，对应法则内容即可完成填空。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，据此直接对应空缺部分填写即可。
【答案】
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
单项式乘多项式法则；乘法分配律
【点评】
本题是对整式乘法基础规则的直接考查，属于识记类题型，牢固掌握基础运算法则是学习后续复杂整式运算的必要前提。
【难度系数】
0.9

1.【教材P105图改编】如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法的等式为。

1. 2b(a+b)=2ab+2b²

【分析】
解决这类利用图形面积推导整式乘法等式的问题，核心思路是用两种不同方法计算同一图形的总面积，两种计算结果相等即可得到对应等式：第一步先从整体观察图形形状，确定长和宽，用整体法计算总面积；第二步将图形拆分为多个小图形，分别计算小图形面积后求和，得到分块法的总面积；第三步令两个面积相等，整理即可得到整式乘法等式。
【解析】
1. 整体计算大长方形的面积
观察图形可得，大长方形的长为$a+b$，宽为$b+b=2b$，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，可得整体面积为$2b(a+b)$。
2. 分块计算总面积
图形被分为4个小长方形，面积分别为$ab$、$b^2$、$ab$、$b^2$，因此分块求和的总面积为：
$ab + b^2 + ab + b^2 = 2ab + 2b^2$
3. 联立等式
由于两种方法计算的是同一个图形的面积，结果相等，因此可得等式$2b(a+b)=2ab+2b^2$。
【答案】
$2b(a+b)=2ab+2b^2$
【知识点】
单项式乘多项式；面积法验证等式；数形结合思想
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，通过面积的两种计算方式推导整式乘法公式，帮助理解整式乘法的算理，属于基础题型，掌握整体、分块两种计算面积的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. (1)(答题模板)计算: $6x · (x - 3y) = 6x ·$ $+ 6x ·$ $=$ .
(2)【针对练习】计算:
①$(-2x^2y) · (3xy - 2y^2 + 1)$;
②$(\dfrac{3}{4}ab^2 - 3ab + \dfrac{1}{2}a) · 4ab$;
③$(x^2 + 2x - 1) · (-3x^2)^2$.

2. (1) x (-3y) 6x² - 18xy ①解:原式= -6x³y²+4x²y³-2x²y. ②解:原式=3a²b³-12a²b²+2a²b. ③解:原式=(x²+2x-1)·9x⁴=9x⁶+18x⁵-9x⁴

【分析】
本题考查整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题核心是运用乘法分配律，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。思考步骤：1. 牢记单项式乘多项式法则：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$；2. 运算时先确定每一项的符号，再按单项式乘单项式规则计算：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；3. 若包含乘方运算，先算乘方再算乘法，注意不要漏乘多项式里的常数项。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的分配律：
$6x·(x-3y)=6x·x + 6x·(-3y)=6x^2 - 18xy$
(2) ① 用$-2x^2y$分别乘括号内每一项：
原式$=(-2x^2y)·3xy + (-2x^2y)·(-2y^2) + (-2x^2y)·1$
$=-6x^3y^2 + 4x^2y^3 - 2x^2y$
② 用$4ab$分别乘括号内每一项：
原式$=\frac{3}{4}ab^2·4ab + (-3ab)·4ab + \frac{1}{2}a·4ab$
$=3a^2b^3 - 12a^2b^2 + 2a^2b$
③ 先计算乘方，再进行单项式乘多项式运算：
$(-3x^2)^2=9x^4$
原式$=(x^2 + 2x -1)·9x^4$
$=x^2·9x^4 + 2x·9x^4 + (-1)·9x^4$
$=9x^6 + 18x^5 - 9x^4$
【答案】
(1) $x$；$-3y$；$6x^2 - 18xy$
① $-6x^3y^2+4x^2y^3-2x^2y$
② $3a^2b^3-12a^2b^2+2a^2b$
③ $9x^6+18x^5-9x^4$
【知识点】
单项式乘多项式；单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考察运算法则的应用，解题时要注意运算顺序和符号处理，不要漏乘多项式中的常数项，熟练掌握基础运算规则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85

3. 计算$(-2m) · (-m^2 + 3m^3 - 1)$的结果是

3. 2m³ - 6m⁴ + 2m

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时要注意两个核心要点：一是不能漏乘多项式的任何一项，包括常数项；二是要准确判断每一项乘积的符号，同时结合同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）计算每一项的结果，最后整理得到最终结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(-2m) · (-m^2 + 3m^3 - 1)&= (-2m)·(-m^2) + (-2m)·3m^3 + (-2m)·(-1)\\&=2m^{1+2} -6m^{1+3} +2m\\&=2m^3 -6m^4 +2m\end{aligned}$
【答案】
$2m^3 - 6m^4 + 2m$
【知识点】
1. 单项式乘多项式 2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查运算的严谨性，解题时需注意不要漏乘多项式的常数项，同时要准确判断运算符号、正确计算同底数幂的指数，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.85

4. 八年级七班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，其中一边长为3a，另一边长为2a－3b＋1，则这个“学习园地”的面积为 .
.
02 综合练
关键能力提升

4. 6a² - 9ab + 3a

【分析】
要计算长方形“学习园地”的面积，首先回忆长方形面积公式为$面积=长×宽$。已知长方形的两边长分别为$3a$和$2a-3b+1$，因此只需将两个边长相乘即可求出面积。计算时需运用单项式乘多项式的法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所有积相加，计算过程中要注意同底数幂的乘法规则和符号正误，避免漏乘多项式的常数项。
【解析】
根据长方形面积公式，代入边长计算：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=3a·(2a-3b+1)\\&=3a·2a + 3a·(-3b) + 3a·1\\&=6a^2 - 9ab + 3a\end{aligned}$
【答案】
$6a^2 - 9ab + 3a$
【知识点】
长方形面积计算、单项式乘多项式、整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘多项式的每一项，同时确保符号运算准确。
【难度系数】
0.85

5. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

A.$x^2 + 3x + 6$
B.$x(x + 3) + 6$
C.$3(x + 2) + x^2$
D.$x^2 + 5x$

5. D

【分析】
要判断哪个整式无法表示阴影部分面积，我们可以先通过分割法计算出阴影部分的总面积，再将各选项的整式展开变形，和计算得到的面积表达式对比，不一致的即为正确选项。首先可将阴影分为三部分：左上角边长为x的正方形、右上角长为3宽为x的长方形、右下角长为3宽为2的长方形，分别计算面积求和得到总面积表达式，再逐一验证选项即可。
【解析】
首先计算阴影部分总面积：
将阴影拆分为三部分：
1. 左上角正方形面积：$x × x = x^2$
2. 右上角长方形面积：$3 × x = 3x$
3. 右下角长方形面积：$3 × 2 = 6$
因此阴影部分总面积为 $x^2 + 3x + 6$。
逐一验证选项：
A. $x^2 +3x +6$，和计算结果一致，可表示阴影面积，不符合题意；
B. 展开$x(x+3)+6 = x^2 +3x +6$，和计算结果一致，可表示阴影面积，不符合题意；
C. 展开$3(x+2)+x^2 = 3x +6 +x^2 = x^2 +3x +6$，和计算结果一致，可表示阴影面积，不符合题意；
D. $x^2 +5x$，与$x^2 +3x +6$不相等，无法表示阴影面积，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式、整式的化简、面积计算
【点评】
本题考查用代数式表示图形的面积，解题时可以通过分割法或者“整体减空白”的方法求出面积表达式，再通过化简选项中的整式进行对比即可，注意整式展开计算不要出错。
【难度系数】
0.7

6. 下列运算中,正确的是 （）

A.$-2x(3x^2y - 2xy) = -6x^3y - 4x^2y$
B.$2xy^2(-x^2 + 2y^2 + 1) = -4x^3y^4$
C.$(3ab^3 - 2ab) · abc = 3a^2b^3 - 2a^2b^2$
D.$(ab)^2(2ab^2 - c) = 2a^3b^4 - a^2b^2c$

6. D

【分析】
本题考查整式乘法的运算，解题核心是熟练运用单项式乘多项式法则、积的乘方法则以及同底数幂的乘法法则，逐一计算每个选项的结果，再和选项给出的式子对比判断正误即可。解题时要注意两点：一是单项式乘多项式时不要漏乘多项式的任何一项，二是运算时注意符号的正负以及同底数幂指数的计算。
【解析】
我们根据整式乘法的运算法则逐个分析选项：
1. 分析选项A：
根据单项式乘多项式法则，$-2x(3x^2y - 2xy) = -2x·3x^2y + (-2x)·(-2xy) = -6x^3y + 4x^2y$，与选项给出的$-6x^3y - 4x^2y$不符，故A错误。
2. 分析选项B：
$2xy^2(-x^2 + 2y^2 + 1) = 2xy^2·(-x^2) + 2xy^2·2y^2 + 2xy^2·1 = -2x^3y^2 + 4xy^4 + 2xy^2$，与选项给出的$-4x^3y^4$不符，故B错误。
3. 分析选项C：
$(3ab^3 - 2ab)· abc = 3ab^3· abc - 2ab· abc = 3a^2b^4c - 2a^2b^2c$，与选项给出的$3a^2b^3 - 2a^2b^2$不符，故C错误。
4. 分析选项D：
先根据积的乘方法则计算$(ab)^2=a^2b^2$，再计算单项式乘多项式：
$a^2b^2(2ab^2 - c) = a^2b^2·2ab^2 - a^2b^2· c = 2a^3b^4 - a^2b^2c$，与选项式子一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，易错点是运算时漏乘多项式的项、符号判断错误或者幂的指数计算错误，熟练掌握各类运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 要使$-x^3(x^2 + ax + 1) + 2x^4$中不含有$x$的四次项，则$a$等于（）

A.1
B.2
C.3
D.4

7. B

【分析】
解题的核心是理解“多项式中不含x的四次项”的含义，即x四次项的系数为0。首先需要根据单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项找到x四次项的系数，令其等于0，建立关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
先按照单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2 + ax + 1) + 2x^4\\=& -x^3 · x^2 - x^3 · ax - x^3 · 1 + 2x^4\\=& -x^5 - ax^4 - x^3 + 2x^4\\=& -x^5 + (-a + 2)x^4 - x^3\end{aligned}$
由于多项式中不含有x的四次项，因此x⁴项的系数为0，可得方程：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；多项式的项与系数
【点评】
本题考查整式运算中“不含某项”类问题的求解，解题关键是明确不含某一项即该项的系数为0，熟练掌握整式的运算法则是正确计算的前提。
【难度系数】
0.8

8.【整体思想】阅读下列材料:已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)$的值.
分析:考虑到满足$x^2y=3$的$x,y$的值较多,无法逐一代入求解,故考虑利用整体思想,将$x^2y=3$整体代入求值.
解:原式$=2x^6y^3-6x^4y^2-8x^2y$
$=2(x^2y)^3-6(x^2y)^2-8x^2y$
$=2×3^3-6×3^2-8×3$
$=-24$.
请你用上述方法解答下列问题:
若$ab=3$,则$(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)$的值.
03 素养练 学科素养培育

8. -78

【分析】
已知条件仅给出ab=3，无法求出a、b的具体值，因此采用整体代入思想解题：首先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再逆用积的乘方公式，把展开后的各项转化为含ab的幂的形式，最后将ab=3整体代入计算即可得到结果，不需要单独计算a、b的取值，能简化运算。
【解析】
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&(2a^3b^2 - 3a^2b + 4a)·(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b) + (-3a^2b)×(-2b) + 4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3 + 6a^2b^2 - 8ab\end{aligned}$
逆用积的乘方公式变形，将式子用ab表示：
$原式=-4(ab)^3 + 6(ab)^2 - 8ab$
将ab=3整体代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-4×3^3 + 6×3^2 - 8×3\\&=-4×27 + 6×9 - 24\\&=-108 + 54 - 24\\&=-78\end{aligned}$
【答案】
-78
【知识点】
单项式乘多项式运算；积的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题重点考查整体思想在代数式求值中的应用，无需单独求解单个未知数的取值，只需将原式化简为与已知条件相关的形式后代入计算即可，有效简化运算过程，解题时需要注意多项式展开时的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

9.某同学在计算一个多项式乘以$-3x^2$时，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，那么正确的计算结果是多少？

9. 解:设这个多项式为 A,则 A+(-3x²)=x² - 1/2 x + 1,
∴A=4x² - 1/2 x + 1.
∴A · (-3x²)=(4x² - 1/2 x + 1)(-3x²)= -12x⁴ + 3/2 x³ -3x².

【分析】
本题属于错中求解类整式运算题，解题思路分两步：首先根据错误运算关系还原原多项式，错误结果是原多项式加上$-3x^2$得到的，因此用错误结果减去$-3x^2$即可求出原多项式；再将求出的原多项式乘以$-3x^2$，按照单项式乘多项式的运算法则计算，就能得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据错误运算的题意列等式：
$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第一步：求解原多项式$A$
$A = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
第二步：计算正确的乘法结果
按照单项式乘多项式的运算法则，用$-3x^2$分别乘多项式$A$的每一项：
$\begin{aligned}A · (-3x^2) &= (4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) × (-3x^2) \\&= 4x^2 × (-3x^2) + (-\frac{1}{2}x) × (-3x^2) + 1 × (-3x^2) \\&= -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
1. 整式的加减
2. 单项式乘多项式
【点评】
本题核心是通过错误运算关系还原原多项式，再代入正确运算求解，重点考察整式运算的熟练度，计算时要注意符号判断，不要漏乘多项式的每一项。
【难度系数】
0.7