1. 如图,这些复杂的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个基本图案通过连续旋转得来,旋转的角度是()


A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

1. C

【分析】
首先回忆旋转的性质：图形绕旋转中心旋转一定角度后会与原图形完全重合。要确定这类可由基本图案旋转得到的图形的旋转角度，首先观察图形被过中心的直线平均分成了多少个全等的部分，周角为360°，用360°除以全等部分的份数，就能得到最小旋转角度。观察本题的四个图案，每个图案都可以被平分为6个全等的部分，因此用360°除以6即可得到所求旋转角度。
【解析】
解：观察可知，每个图案都可以被过中心的射线平分为6个完全相同的部分。
根据旋转的性质，要使旋转后的图案与原图案重合，旋转角度至少为周角除以全等部分的份数，计算如下：
$360° ÷ 6 = 60°$
因此旋转的角度是60°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；图形的旋转；角度计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是观察得出图形的全等份数，只要掌握旋转后图形与原图形全等的特点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，下列角中不是旋转角的为()

A.∠BOF
B.∠AOD
C.∠COE
D.∠COF

2. D

【分析】
要判断哪个角不是旋转角，首先明确旋转角的定义：旋转过程中，一组对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角。本题旋转中心是点O，先确定旋转前后的对应点：点A对应点D，点B对应点F，点C对应点E，再逐一判断各选项的角是否为对应点与旋转中心的夹角即可。
【解析】
已知菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，旋转中心为点O，旋转后对应点关系为：A的对应点是D，B的对应点是F，C的对应点是E。
根据旋转角的定义分析各选项：
A选项：∠BOF是对应点B、F与旋转中心O的连线的夹角，属于旋转角；
B选项：∠AOD是对应点A、D与旋转中心O的连线的夹角，属于旋转角；
C选项：∠COE是对应点C、E与旋转中心O的连线的夹角，属于旋转角；
D选项：∠COF的两边是OC和OF，OC的对应边是OE，OF的对应边是OB，二者不是一组对应点与O的连线的夹角，不属于旋转角。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转角的定义；图形的旋转
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是对旋转角定义的理解，解题的关键是准确找到旋转前后的对应点，再结合定义逐一排查选项即可，易错点是容易混淆对应点选错答案。
【难度系数】
0.8

3. 下面各图中,哪些绕一点旋转$180°$后能与原来的图形重合？()
① S ② 五角星 ④ 圆 ⑤ 四角星

A.①④⑤
B.①③⑤
C.②③⑤
D.②④⑤

3. A

【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心是判定中心对称图形：绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形。我们只需逐个判断给出的图形是否符合中心对称图形的定义，再对应选择正确选项即可。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形与原图形完全重合，该图形就满足题目要求。
逐个判断图形：
①图形S：绕中心旋转180°后与原图形完全重合，符合要求；
②五角星：旋转180°后，角的朝向与原图形不一致，无法重合，不符合要求；
③等边三角形：旋转180°后顶点朝向与原图形相反，不能重合，不符合要求；
④圆：绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合，旋转180°也符合要求；
⑤四角星：绕中心旋转180°后各部分与原图形完全重合，符合要求。
综上，符合要求的是①④⑤，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形识别、图形旋转的性质
【点评】
本题是基础的对称性判定题，解题关键是准确掌握中心对称图形的定义，注意区分中心对称和轴对称图形的差异，熟记常见图形的对称性可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 如图,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转角$α$,得到$△ ADE$.若点E恰好在CB的延长线上,则$∠ BED$等于()


A.$\frac{α}{2}$
B.$\frac{2}{3}α$
C.$α$
D.$180° - α$

4. D

【分析】
拿到这道旋转类角度计算题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后的两个图形全等，对应角相等，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角。解题步骤可以按以下思路走：1. 由旋转性质得到△ABC≌△ADE，旋转角∠BAD=α，对应角∠ABC=∠ADE；2. 结合点E在CB延长线上的条件，可得∠ABC与∠ABE是邻补角，和为180°，等量代换得到∠ADE+∠ABE=180°；3. 观察∠BED在四边形ABED中，利用四边形内角和为360°，代入已知角度关系即可求出∠BED的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转角α得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，旋转角∠BAD=α，对应角∠ABC=∠ADE，
∵点E在CB的延长线上，
∴∠ABC + ∠ABE = 180°，
等量代换得：∠ADE + ∠ABE = 180°，
∵四边形ABED的内角和为360°，
∴∠ABE + ∠ADE + ∠BAD + ∠BED = 360°，
将∠ADE + ∠ABE=180°，∠BAD=α代入上式：
180° + α + ∠BED = 360°，
解得：∠BED=180° - α，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题属于旋转背景下的角度计算题，解题的关键是熟练运用旋转得到的全等关系找到角度的等量代换，结合邻补角性质和四边形内角和公式推导未知角，解题时要注意观察未知角所在的多边形，灵活运用内角和定理简化计算。
【难度系数】
0.7

5. 如图,将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到正方形AB'C'D',图中阴影部分的面积为.

5. $9 - 3\sqrt{3}$

【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“面积差法”，即阴影部分面积=正方形ABCD的面积减去两个正方形重叠的空白部分的面积。首先根据旋转的性质得到边、角的等量关系，通过作辅助线构造全等三角形，求出重叠部分的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
设B'C'与CD的交点为E，连接AE。
∵ 正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D'，
∴ AB'=AB=AD=3，∠AB'E=∠D=90°，∠BAB'=30°，
∴ ∠DAB' = ∠DAB - ∠BAB' = 90° - 30° = 60°。
在Rt△ADE和Rt△AB'E中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB'\\AE=AE\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△AB'E（HL），
∴ ∠DAE = ∠B'AE = $\frac{1}{2}$∠DAB' = 30°。
在Rt△ADE中，设DE=x，
∵ ∠DAE=30°，
∴ AE=2DE=2x，
由勾股定理得：$AD^2 + DE^2 = AE^2$，
代入数值：$3^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=\sqrt{3}$（负值舍去）。
∴ $S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 3 × \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ 重叠部分面积$S_{四边形ADB'E} = 2S_{△ ADE} = 3\sqrt{3}$。
∵ 正方形ABCD的面积$S_{正方形ABCD} = 3 × 3 =9$，
∴ 阴影部分面积 = $S_{正方形ABCD} - S_{四边形ADB'E} = 9 - 3\sqrt{3}$。
【答案】
$9 - 3\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何面积计算类题目，解题的核心是利用旋转的不变性构造全等三角形，求出重叠部分的面积，再通过面积差法得到阴影部分面积，能有效考查学生对几何变换和图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

6. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $∠ A = 60°$, $AC = 1$, 将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转得到 $△ A'B'C$, 此时点 $A'$ 恰好在 $AB$ 边上, 则点 $B'$ 与点 $B$ 之间的距离为 .

6. $\sqrt{3}$

【分析】
解决本题的思路如下：首先，结合直角三角形的已知角度和边长，先求出BC的长度；其次，根据旋转的性质可得对应边CA=CA'，结合∠A=60°可判定△ACA'是等边三角形，得到旋转角∠ACA'=60°；最后，根据旋转角相等可得∠BCB'=∠ACA'=60°，结合CB=CB'判定△BCB'为等边三角形，即可求出B'与B的距离。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵AC=1，
∴AB=2AC=2，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由旋转的性质可知：$CA=CA'$，$CB=CB'$，$∠ ACA'=∠ BCB'$，
∵$∠ A=60°$，$CA=CA'$，
∴△ACA'是等边三角形，
∴$∠ ACA'=60°$，
∴$∠ BCB'=∠ ACA'=60°$，
又
∵$CB=CB'$，
∴△BCB'是等边三角形，
∴$BB'=BC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转类几何的典型题型，解题的核心是熟练运用旋转的性质找到相等的边和角，结合特殊三角形的判定及性质推导边长关系，整体逻辑清晰，对几何基础知识点的综合运用有一定考查作用。
【难度系数】
0.7

7. 如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,$Rt△ ABC$的三个顶点为$A(-2,2),B(0,5),C(0,2)$.

(1) 将$△ ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180°$,得到$△ A_1B_1C$,请画出$△ A_1B_1C$的图形；
(2) 平移$△ ABC$,使点$A$的对应点$A_2$坐标为$(-2,-6)$,请画出平移后对应的$△ A_2B_2C_2$的图形；
(3) 若将$△ A_1B_1C$绕某一点旋转可得到$△ A_2B_2C_2$,则旋转中心的坐标为.

7. (1) 略；(2) 略；(3) $(0, - 2)$

【分析】
(1) 绕点C旋转180°属于中心对称变换，对称中心为C，根据中心对称的性质，对应点连线的中点为对称中心，因此只需分别求出点A、B关于点C的对称点A₁、B₁，再顺次连接A₁、B₁、C即可得到△A₁B₁C。
(2) 先根据点A和A₂的坐标确定平移规则：横坐标不变，纵坐标减少8，即△ABC整体向下平移8个单位，按此规则求出B、C平移后的对应点B₂、C₂，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 旋转中心是旋转前后两组对应点连线的垂直平分线的交点，先写出△A₁B₁C和△A₂B₂C₂各对应点的坐标，分别求出两组对应点连线的垂直平分线，联立方程求出交点即为旋转中心。
【解析】
(1) 已知C(0,2)，根据中心对称中点坐标规律：
点A(-2,2)关于C的对称点A₁坐标为(2,2)，点B(0,5)关于C的对称点B₁坐标为(0,-1)，顺次连接A₁(2,2)、B₁(0,-1)、C(0,2)，即得到△A₁B₁C。
(2) 由A(-2,2)平移到A₂(-2,-6)，可得平移规则为：向下平移8个单位。
因此B(0,5)平移后B₂坐标为(0,5-8)=(0,-3)，C(0,2)平移后C₂坐标为(0,2-8)=(0,-6)，顺次连接A₂(-2,-6)、B₂(0,-3)、C₂(0,-6)，即得到△A₂B₂C₂。
(3) 取两组对应点：A₁(2,2)与A₂(-2,-6)，B₁(0,-1)与B₂(0,-3)。
① 求线段A₁A₂的垂直平分线：
中点坐标为$(\frac{2+(-2)}{2},\frac{2+(-6)}{2})=(0,-2)$，直线A₁A₂的斜率为$\frac{-6-2}{-2-2}=2$，因此垂直平分线斜率为$-\frac{1}{2}$，方程为$y+2=-\frac{1}{2}x$，即$y=-\frac{1}{2}x-2$。
② 求线段B₁B₂的垂直平分线：
B₁B₂在直线x=0上，中点坐标为$(0,\frac{-1+(-3)}{2})=(0,-2)$，垂直平分线为水平线$y=-2$。
③ 联立两个垂直平分线方程：$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x-2\\y=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}$，即旋转中心坐标为(0,-2)。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $(0,-2)$
【知识点】
中心对称性质，平移变换，旋转中心确定
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转变换，掌握变换前后的坐标变化规律是解题的关键，第三问利用“旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点”求解即可，整体难度适中，属于几何变换的常规题型。
【难度系数】
0.7