8. (2025·保定模拟)应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中,小明同学将一大一小两个三角尺按照如图1所示的方式摆放,其中∠ACB = ∠DEB = 90°,∠ABC = ∠DBE = 30°,BD = AC = 4,他把三角尺ABC固定好后,将三角尺DEB从图1所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转,每秒转动5°,设转动时间为t秒(0 ＜ t ≤ 30).

【问题应用】
(1)请直接写出图1中线段AD的值;
(2)如图2,在三角尺DEB旋转的过程中,连接AD,当四边形ACBD是矩形时,求t值;
(3)在(2)的条件下,分别取AB,BC的中点M,N,连接MD,MN,求四边形MNBD的周长.

(1) $AD = 4$；(2) $t = 12$；(3) $10 + 2\sqrt{3}$

【分析】
(1) 先利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出AB的长度，结合点D初始位置在AB上，用AB减去BD即可得到AD的长；
(2) 当四边形ACBD是矩形时，根据矩形对边平行的性质可得AC//BD，结合AC⊥BC可推出BD⊥BC，即∠CBD=90°，减去初始状态∠CBD=30°得到旋转角度，再除以旋转速度即可求出t值；
(3) 先利用勾股定理求出BC的长度，再结合三角形中位线定理、矩形对角线的性质分别求出四边形MNBD四条边的长度，相加即可得到周长。
【解析】
(1) 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，
∵ 30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴ AB=2AC=8，
由图1可知点D在AB上，且BD=4，
∴ AD=AB-BD=8-4=4。
(2) 若四边形ACBD是矩形，则AC//BD，
∵ ∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴ BD⊥BC，即∠CBD=90°，
初始状态下∠DBE=30°，即初始∠CBD=30°，
∴ 旋转的角度为90°-30°=60°，
∵ 旋转速度为每秒5°，
∴ t=60°÷5°=12。
(3) 在Rt△ACB中，AC=4，AB=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
∵ M是AB中点，N是BC中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
∴ $MN=\frac{1}{2}AC=2$，$NB=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}$，
∵ 四边形ACBD是矩形，M是对角线AB的中点，
∴ $DM=\frac{1}{2}AB=4$，
又已知BD=4，
∴ 四边形MNBD的周长=$MN+NB+BD+DM=2+2\sqrt{3}+4+4=10+2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $AD = 4$；(2) $t = 12$；(3) $10 + 2\sqrt{3}$
【知识点】
30°直角三角形性质，矩形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题以三角尺旋转为背景，综合考查了特殊直角三角形、矩形、三角形中位线的相关性质，解题时需抓住旋转过程中线段长度不变的特点，结合几何图形的性质逐步推导计算，有助于提升几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6