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如图,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把$△ ADE$顺时针旋转$90°$,画出旋转后的图形.
分析:关键是确定$△ ADE$三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.
解:点A是旋转中心,所以它的对应点是
因此,在CB的延长线上取点$E'$,使$BE' = DE$,则$△ ABE'$为旋转后的图形.
【归纳总结】旋转作图的基本步骤:
(1)明确旋转三要素:旋转中心,旋转方向和旋转角度;(2)找出关键点;(3)作出关键点的对应点;(4)作出新图形;(5)写出结论.
分析:关键是确定$△ ADE$三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.
解:点A是旋转中心,所以它的对应点是
点A
.在正方形ABCD中,$AD = AB$,$∠ DAB = 90°$,所以旋转后点D与点B
重合.设点E的对应点是点$E'$,因为旋转前后的三角形全等,所以$BE' =$DE
.因此,在CB的延长线上取点$E'$,使$BE' = DE$,则$△ ABE'$为旋转后的图形.
【归纳总结】旋转作图的基本步骤:
(1)明确旋转三要素:旋转中心,旋转方向和旋转角度;(2)找出关键点;(3)作出关键点的对应点;(4)作出新图形;(5)写出结论.
答案
1. 点A
2. 点B
3. DE
2. 点B
3. DE
解析
【分析】
本题考查旋转作图的相关知识，解题时需结合旋转的性质逐步推导对应点位置：①首先明确旋转中心的对应点为其本身，可直接确定点A的对应点；②结合正方形的边、角特征，AD与AB长度相等，且夹角∠DAB正好等于旋转角90°，因此可推出点D旋转后的对应点；③再根据旋转前后图形全等、对应边相等的性质，就能确定点E对应点的位置，进而完成作图推导。
【解析】
根据旋转的性质：旋转中心在旋转过程中位置不变，因此点A作为旋转中心，它的对应点是点A；
在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，旋转角为90°，因此AD顺时针旋转90°后与AB重合，即旋转后点D与点B重合；
旋转前后的图形全等，即$△ ADE≌△ ABE'$，全等三角形对应边相等，因此$BE'=DE$。
【答案】
点A；点B；DE
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；旋转作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，核心是对旋转三要素及旋转性质的理解应用，通过本题可熟练掌握旋转作图时找对应点的基本方法，为复杂的旋转作图问题打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查旋转作图的相关知识，解题时需结合旋转的性质逐步推导对应点位置：①首先明确旋转中心的对应点为其本身，可直接确定点A的对应点；②结合正方形的边、角特征，AD与AB长度相等，且夹角∠DAB正好等于旋转角90°，因此可推出点D旋转后的对应点；③再根据旋转前后图形全等、对应边相等的性质，就能确定点E对应点的位置，进而完成作图推导。
【解析】
根据旋转的性质：旋转中心在旋转过程中位置不变，因此点A作为旋转中心，它的对应点是点A；
在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，旋转角为90°，因此AD顺时针旋转90°后与AB重合，即旋转后点D与点B重合；
旋转前后的图形全等，即$△ ADE≌△ ABE'$，全等三角形对应边相等，因此$BE'=DE$。
【答案】
点A；点B；DE
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；旋转作图
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，核心是对旋转三要素及旋转性质的理解应用，通过本题可熟练掌握旋转作图时找对应点的基本方法，为复杂的旋转作图问题打好基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图,在$4 × 4$的方格纸中,$△ ABC$的三个顶点都在格点上.
(1) 在图(1)中画出与$△ ABC$成轴对称且与$△ ABC$有公共边的格点三角形(画出一个即可);
(2) 将图(2)中的$△ ABC$绕着点$C$按顺时针方向旋转$90°$,画出旋转后的三角形.
(1) 在图(1)中画出与$△ ABC$成轴对称且与$△ ABC$有公共边的格点三角形(画出一个即可);
(2) 将图(2)中的$△ ABC$绕着点$C$按顺时针方向旋转$90°$,画出旋转后的三角形.
答案
(1) 参考作图[图1]，作出的轴对称三角形与△ABC共享公共边，所有顶点均在格点上即可；
(2) 参考作图[图2]，将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，依次连接对应点与点C，得到旋转后的三角形。
(2) 参考作图[图2]，将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，依次连接对应点与点C，得到旋转后的三角形。
解析
【分析】
(1) 要画与△ABC成轴对称且有公共边的格点三角形，首先确定公共边（可选择AC或BC作为对称轴），再根据轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直，找到另一个顶点关于对称轴的对称点，确保对称点在格点上，最后连接各顶点即可。
(2) 要画出绕点C顺时针旋转90°的三角形，根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先将CA、CB两条边分别绕点C顺时针旋转90°，找到点A、B的对应格点，再顺次连接对应点与点C即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 示例步骤：①选择AC为公共边（即对称轴）；②观察点B的位置，找到点B关于直线AC的对称点B'，确认B'在格点上；③连接AB'、CB'，得到的△AB'C即为符合要求的三角形（若选择BC为公共边，同理找到点A关于BC的对称点，连接得到三角形即可）。
(2) 步骤：①确定旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角为90°；②将线段CA绕点C顺时针旋转90°，根据格点特点找到点A的对应点A'，保证CA'=CA；③同理将线段CB绕点C顺时针旋转90°，找到点B的对应点B'，保证CB'=CB；④顺次连接C、A'、B'，△A'B'C就是旋转后的三角形。
【答案】
(1) 作出的轴对称三角形与△ABC共享公共边，所有顶点均在格点上即可；
(2) 将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，依次连接对应点与点C，得到旋转后的三角形。
【知识点】
轴对称作图，旋转变换，格点图形绘制
【点评】
本题属于基础几何作图题，重点考查对轴对称、旋转变换性质的理解和应用，结合格点的特殊性可以快速找到对应点，掌握变换的核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要画与△ABC成轴对称且有公共边的格点三角形，首先确定公共边（可选择AC或BC作为对称轴），再根据轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等、连线与对称轴垂直，找到另一个顶点关于对称轴的对称点，确保对称点在格点上，最后连接各顶点即可。
(2) 要画出绕点C顺时针旋转90°的三角形，根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先将CA、CB两条边分别绕点C顺时针旋转90°，找到点A、B的对应格点，再顺次连接对应点与点C即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 示例步骤：①选择AC为公共边（即对称轴）；②观察点B的位置，找到点B关于直线AC的对称点B'，确认B'在格点上；③连接AB'、CB'，得到的△AB'C即为符合要求的三角形（若选择BC为公共边，同理找到点A关于BC的对称点，连接得到三角形即可）。
(2) 步骤：①确定旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角为90°；②将线段CA绕点C顺时针旋转90°，根据格点特点找到点A的对应点A'，保证CA'=CA；③同理将线段CB绕点C顺时针旋转90°，找到点B的对应点B'，保证CB'=CB；④顺次连接C、A'、B'，△A'B'C就是旋转后的三角形。
【答案】
(1) 作出的轴对称三角形与△ABC共享公共边，所有顶点均在格点上即可；
(2) 将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，依次连接对应点与点C，得到旋转后的三角形。
【知识点】
轴对称作图，旋转变换，格点图形绘制
【点评】
本题属于基础几何作图题，重点考查对轴对称、旋转变换性质的理解和应用，结合格点的特殊性可以快速找到对应点，掌握变换的核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC$是直角三角形，$BC$是斜边，将$△ ABP$绕点$A$逆时针旋转后，能与$△ ACP'$重合。如果$AP=3$，求$PP'$的长。
答案
解：根据旋转的性质可得：AP'=AP=3，∠CAP'=∠BAP。
因为△ABC是直角三角形，BC是斜边，所以∠BAC=90°，即∠BAP+∠CAP=90°，因此∠CAP'+∠CAP=∠PAP'=90°。
所以△PAP'是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$PP'=\sqrt{AP^2 + AP'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
因为△ABC是直角三角形，BC是斜边，所以∠BAC=90°，即∠BAP+∠CAP=90°，因此∠CAP'+∠CAP=∠PAP'=90°。
所以△PAP'是等腰直角三角形，由勾股定理得：
$PP'=\sqrt{AP^2 + AP'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
遇到图形旋转的问题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。本题中△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP'重合，首先可得出AP=AP'，对应角∠BAP=∠CAP'；再结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，通过角的和差推导得出∠PAP'=90°，即可判断△PAP'为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算PP'的长度即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得：$AP'=AP=3$，$∠CAP'=∠BAP$。
∵$△ABC$是直角三角形，$BC$是斜边，
∴$∠BAC=90°$，即$∠BAP+∠CAP=90°$，
∴$∠CAP'+∠CAP=∠PAP'=90°$，
∴$△PAP'$是等腰直角三角形。
根据勾股定理得：
$PP'=\sqrt{AP^2 + AP'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用类题目，解题的关键是利用旋转前后对应边、对应角相等的性质，推导出△PAP'是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
遇到图形旋转的问题，首先回忆旋转的核心性质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。本题中△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP'重合，首先可得出AP=AP'，对应角∠BAP=∠CAP'；再结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，通过角的和差推导得出∠PAP'=90°，即可判断△PAP'为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算PP'的长度即可。
【解析】
解：由旋转的性质可得：$AP'=AP=3$，$∠CAP'=∠BAP$。
∵$△ABC$是直角三角形，$BC$是斜边，
∴$∠BAC=90°$，即$∠BAP+∠CAP=90°$，
∴$∠CAP'+∠CAP=∠PAP'=90°$，
∴$△PAP'$是等腰直角三角形。
根据勾股定理得：
$PP'=\sqrt{AP^2 + AP'^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用类题目，解题的关键是利用旋转前后对应边、对应角相等的性质，推导出△PAP'是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解线段长度，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
