8 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，点$M,N$分别是$△ ABC$的内心和外心，则$MN=$。
（第8题）

8. $\sqrt{5}$

9 如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC=118°，则∠AOD=。

9. $62°$

10(2025·中卫中宁模拟)已知,如图,AB为$\odot O$的直径,$△ ABC$内接于$\odot O$,$BC＞AC$,点P是$△ ABC$的内心,延长CP交$\odot O$于点D,连接BP.
(1)求证:$BD=PD$;
(2)已知$\odot O$的半径是$3\sqrt{2}$,$CD=8$,求BC的长.

10. (1)$\because AB$为直径,$\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because$ 点P是$△ ABC$的内心.
$\therefore ∠ ACD=∠ BCP=45°,∠ CBP=∠ EBP$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ACD=45°$.
$\because ∠ DPB=∠ BCP+∠ CBP=45°+∠ CBP$,$∠ DBP=∠ ABD+∠ EBP=45°+∠ EBP$,
$\therefore ∠ DPB=∠ DBP,\therefore BD=DP$.
(2)连接AD,过点B作$BH ⊥ CD$于点H,如图所示.
$\because AB$是直径,$∠ ABD=45°$,
$\therefore AB=6\sqrt{2}$,$△ ABD$是等腰直角三角形,
$\therefore BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2} × 6\sqrt{2}=6$.
$\because ∠ BCD=45°,BH ⊥ CD$,
$\therefore ∠ BCH=∠ CBH=45°$,
$\therefore BH=CH,\therefore BC=\sqrt{2}BH$.
$\because BD^2=DH^2+BH^2$,
$\therefore 36=(8-BH)^2+BH^2,\therefore BH=4\pm\sqrt{2}$,
$\because BC＞AC,\therefore BC=4\sqrt{2}+2$.

归纳总结 本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识.本题综合性强,难度较大.

11 新考法 类比探究 阅读材料:如图(1),$△ ABC$的周长为$l$,内切圆$O$的半径为$r$,连接$OA$,$OB$,$OC$,$△ ABC$被划分为三个小三角形,用$S_{△ ABC}$表示$△ ABC$的面积.

$\because S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OCA}$，$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB· r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}CA· r$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}CA· r=\frac{1}{2}l· r$.(可作为三角形内切圆的半径公式)
(1)理解与应用:利用公式计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理:若四边形$ABCD$存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2))且面积为$S$,各边长分别为$a$,$b$,$c$,$d$,试推导四边形内切圆的半径公式；
(3)拓展与延伸:若一个$n$边形($n$为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为$S$,各边长分别为$a_1,a_2,a_3,···,a_n$,合理猜想其内切圆的半径公式.(不需说明理由)

11. (1)由勾股定理知,边长为5,12,13的三角形为直角三角形,故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 5 × 12=30$,$l=5+12+13=30$.由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}lr$,得$r=\frac{2S_{△ ABC}}{l}=2$.
(2)设内切圆圆心为O,连接OA,OB,OC,OD.
$\because S_{四边形ABCD}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OCD}+S_{△ OAD}$,
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}AB · r$,$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC · r$,$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}CD · r$,
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}AD · r$,$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB · r+\frac{1}{2}BC · r+\frac{1}{2}CD · r+\frac{1}{2}AD · r=S$,
即$r=\frac{2S}{AB+BC+CD+AD}=\frac{2S}{a+b+c+d}$.
(3)$r=\frac{2S}{a_1+a_2+\dots+a_n}$.