1 (2025·天津红桥区期末)如图，AB为$\odot O$的直径，PD切$\odot O$于点C，交AB的延长线于点D.
(1)如图(1)，若$∠ D=50°$，求$∠ PCA$的大小；
(2)如图(2)，若$CA=CD$，求$∠ PCA$的大小.

1.(1)如图(1),连接OC.
∵PD切$\odot O$于点C,
∴OC⊥PD,
∴∠OCD=90°.
∵∠D=50°,
∴∠COD=90°-50°=40°,
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠COD=20°.
∴∠PCA=∠A+∠D=20°+50°=70°.
(2)如图(2),连接OC,设∠A=x.
∵CA=CD,
∴∠D=∠A=x.
∵PD切$\odot O$于点C,
∴OC⊥PD,
∴∠OCD=90°.
∵∠COD=2∠A=2x,
∴2x+x=90°,解得x=30°,
∴∠PCA=∠A+∠D=2x=60°.

2 如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若AB=10 cm,CD=6 cm.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径为7 cm,求小圆的半径.

2.(1)如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E.
由垂径定理知,E是CD的中点,也是AB的中点,
∴AE=BE,CE=DE,
∴AE-CE=BE-DE,
∴AC=BD.
(2)如图,连接OA,OC.
在Rt△AOE中,AE=$\frac{1}{2}$AB=5 cm,OA=7 cm,
∴OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}$=$\sqrt{7^2-5^2}$=$2\sqrt{6}$(cm).
在Rt△OCE中,CE=$\frac{1}{2}$CD=3 cm.
∴OC=$\sqrt{OE^2+CE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{6})^2+3^2}$=$\sqrt{33}$(cm).
故小圆的半径为$\sqrt{33}$ cm.

3 如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BH，垂足为H，求证：$CH=CP$，$AP=BH$。

3.
∵∠DCH=∠DCA,DP⊥AC,DH⊥BH,
∴∠H=∠DPC=90°.
∵DC=DC,
∴△DHC≌△DPC,
∴CH=CP.
如图,连接DB,由圆周角定理,得∠DAC=∠DBH.
∵△DHC≌△DPC,
∴DH=DP.
∵DP⊥AC,DH⊥BH,
∴∠DHB=∠DPA=90°,
∴△DAP≌△DBH,
∴AP=BH.

4 如图，P是$\odot O$的弦CB延长线上一点，点A在$\odot O$上，且$∠ PCA = ∠ BAP$. 求证：PA是$\odot O$的切线.

4.如图,作$\odot O$的直径AD,连接BD,
则∠C=∠D,∠ABD=90°,
∴∠D+∠BAD=90°,
∴∠C+∠BAD=90°.
∵∠PCA=∠BAP,
∴∠BAD+∠PAB=90°,
即AP⊥AD,
∴PA是$\odot O$的切线.

5 (2025·南京中考)如图(1),O是$□ ABCD$的对称中心,BC与$\odot O$相切于点E.
(1)求证:直线AD是$\odot O$的切线.
选择图(2)中其中一位同学的想法,完成证明.
(2)当AB与$\odot O$相切时,$□ ABCD$是菱形吗?
说明理由.

可以过点O作AD的垂线……
也可以连接EO并延长……
(2)

5.(1)如图(1),连接BD,OE,延长EO交AD于点F.
∵O是$□ ABCD$的对称中心,
∴BD过点O,OB=OD.
∵AD//BC,
∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE(AAS),
∴OF=OE.
∵BC与$\odot O$相切于点E,
∴OE⊥BC,
∴OF⊥AD,
∴直线AD是$\odot O$的切线.

(2)如图(2),$□ ABCD$是菱形,理由如下:
设AB与$\odot O$相切于点H,连接OH,OE,BD.
∵点O是$□ ABCD$的对称中心,
∴BD过点O.
∵AB与$\odot O$相切于点H,BC与$\odot O$相切于点E,
∴OH⊥AB,OE⊥BC.
∵OH=OE,
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠CBD=∠ADB,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$□ ABCD$是菱形.