1 如图，将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转到$△ COD$的位置，$\odot O$与$CD$相切于点$E$.求证:$AB$是$\odot O$的切线.

1. 连接OE,过点O作OF⊥AB,垂足为F.
由旋转,得△AOB≌△COD,
∴∠A=∠C,OA=OC.
∵⊙O与CD相切于点E,
∴CD⊥OE,
∴∠AFO=∠CEO=90°,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴OF=OE.
∵OE是⊙O的半径,
∴圆心O到直线AB的距离等于⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.

2 如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的$\odot O$与BC相切于点E.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若正方形ABCD的边长为10，求$\odot O$的半径.

2.(1) 如图,连接OE,并过点O作OF⊥CD于点F.
∵BC切⊙O于点E,
∴OE⊥BC,OE=OA.
∵AC为正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=∠ACD,
∴OF=OE=OA.
∴CD是⊙O的切线.

(2)
∵正方形ABCD的边长为10,
∴AB=BC=10,∠B=90°,∠ACB=45°,
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=10\sqrt{2}$.
∵OE⊥BC,
∴OE=EC.设OA=r,则OE=EC=r,
∴OC=$\sqrt{OE^2+EC^2}=\sqrt{2}r$.
∵OA+OC=AC,
∴$r+\sqrt{2}r=10\sqrt{2}$,解得$r=20-10\sqrt{2}$,
∴⊙O的半径为$20-10\sqrt{2}$.

3(2025·淮安北京路中学模拟)如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙D的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.
(1)求证:CD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AF=6，求AE的长.

3.(1)
∵AE平分∠DAC,
∴∠CAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE,
∴∠DAE=∠AEO,
∴AD//OE.
∵AD⊥CD,
∴OE⊥CD.
∵OE是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)如图,连接BF交OE于点K.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°.
∵AB=10,AF=6,
∴BF=8.
∵OE//AD,
∴∠OKB=∠AFB=90°,
∴OE⊥BF,
∴FK=BK=4.
∵OA=OB,KF=KB,
∴OK=$\frac{1}{2}$AF=3,
∴EK=OE-OK=2.
∵∠D=∠DFK=∠FKE=90°,
∴四边形DFKE是矩形,
∴DE=KF=4,DF=EK=2,
∴AD=AF+DF=8.
在Rt△ADE中,
AE=$\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$.

4(2026·宿迁泗阳二模)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,以$CD$为直径的$\odot O$分别交$AC$,$BC$于点$M$,$N$,过点$N$作$NE⊥ AB$,垂足为$E$.
(1)若$\odot O$的半径为5,$AC=12$,求$BN$的长;
(2)求证:$NE$与$\odot O$相切.

4.(1)如图,连接DN,ON.
∵⊙O的半径为5,
∴CD=10.
∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴BD=CD=AD=10,
∴AB=20,
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=16$.
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CND=90°.
∵BD=CD,
∴BN=NC=8.
(2)
∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠BCD=∠B.
∵OC=ON,
∴∠BCD=∠ONC,
∴∠ONC=∠B,
∴ON//AB.
∵NE⊥AB,
∴ON⊥NE.
∵ON是⊙O的半径,
∴NE与⊙O相切.