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1 [2025 辽宁沈阳质检]化简$\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$的结果是（
A.$-\sqrt{6}$
B.$-\frac{1}{3}\sqrt{6}$
C.$-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$-\frac{2}{3}\sqrt{6}$
D
）A.$-\sqrt{6}$
B.$-\frac{1}{3}\sqrt{6}$
C.$-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D.$-\frac{2}{3}\sqrt{6}$
答案
$\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{27}} = \frac{-6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{-6\sqrt{2}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}×\sqrt{3}} =\frac{-6\sqrt{6}}{3×3}=-\frac{2}{3}\sqrt{6}$. 故选 D.
解析
【分析】
要化简该二次根式除法算式，解题思路分三步：首先把分母中的二次根式化为最简二次根式，再通过分母有理化去掉分母里的根号，最后对分子分母的公因数约分即可得到结果，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
解：先化简分母的二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
代入原式得：$\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{27}} = \frac{-6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$，
约去分子分母的公因数3，得：$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$\frac{-2\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} =\frac{-2\sqrt{6}}{3}=-\frac{2}{3}\sqrt{6}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题关键是先将非最简二次根式化为最简，再规范完成分母有理化，运算时需注意符号和约分的准确性。
【难度系数】
0.8
要化简该二次根式除法算式，解题思路分三步：首先把分母中的二次根式化为最简二次根式，再通过分母有理化去掉分母里的根号，最后对分子分母的公因数约分即可得到结果，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
解：先化简分母的二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
代入原式得：$\frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{27}} = \frac{-6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$，
约去分子分母的公因数3，得：$\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$：
$\frac{-2\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} =\frac{-2\sqrt{6}}{3}=-\frac{2}{3}\sqrt{6}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式乘除运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题关键是先将非最简二次根式化为最简，再规范完成分母有理化，运算时需注意符号和约分的准确性。
【难度系数】
0.8
2[2025 上海宝山区期中]已知 $m=\sqrt{3}+1, n=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$, 则 $m$ 和 $n$ 的关系为（
A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m=-n$
D.$mn=-1$
A
）A.$m=n$
B.$mn=1$
C.$m=-n$
D.$mn=-1$
答案
因为 $m = \sqrt{3} + 1, n = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\sqrt{3}+1$,所以 $m=n$. 故选 A.
解析
【分析】
要判断m和n的关系，首先观察到n的表达式分母含有二次根式，解题第一步需要先对n进行分母有理化，将其化为最简形式，再和m的表达式对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先化简n的表达式：
对$n=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$进行分母有理化，分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{3}+1$，得：
$n=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$
代入得：$n=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$
已知$m=\sqrt{3}+1$，因此$m=n$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式化简
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，通过化简含二次根式的分式来对比两个代数式的关系。
【难度系数】
0.8
要判断m和n的关系，首先观察到n的表达式分母含有二次根式，解题第一步需要先对n进行分母有理化，将其化为最简形式，再和m的表达式对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先化简n的表达式：
对$n=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$进行分母有理化，分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{3}+1$，得：
$n=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2 - 1^2=3-1=2$
代入得：$n=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$
已知$m=\sqrt{3}+1$，因此$m=n$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式化简
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的方法，通过化简含二次根式的分式来对比两个代数式的关系。
【难度系数】
0.8
3 [2025 安徽滁州调研]下列各个数中，与$\sqrt{5}-2$互为倒数的是 （
A.$\sqrt{5}+2$
B.$-\sqrt{5}-2$
C.$2\sqrt{5}+2$
D.$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$
A
）A.$\sqrt{5}+2$
B.$-\sqrt{5}-2$
C.$2\sqrt{5}+2$
D.$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$
答案
$\sqrt{5} - 2$ 的倒数是 $\frac{1}{\sqrt{5}-2} =\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$. 故选 A.
解析
【分析】
要找与$\sqrt{5}-2$互为倒数的数，首先根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，所以我们需要计算$\sqrt{5}-2$的倒数，也就是$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$。此时分母含有二次根式，需要用分母有理化的方法化简，利用平方差公式，给分子分母同时乘$\sqrt{5}+2$，就能把分母的根号去掉，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
根据倒数的定义，$\sqrt{5}-2$的倒数为：
$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$
对其进行分母有理化，分子分母同时乘$\sqrt{5}+2$，得：
$\frac{1×(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，分母计算为：
$(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
因此原式化简为$\sqrt{5}+2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
倒数的定义；二次根式分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分母有理化的方法，熟练运用平方差公式处理含二次根式的分母，是二次根式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
要找与$\sqrt{5}-2$互为倒数的数，首先根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，所以我们需要计算$\sqrt{5}-2$的倒数，也就是$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$。此时分母含有二次根式，需要用分母有理化的方法化简，利用平方差公式，给分子分母同时乘$\sqrt{5}+2$，就能把分母的根号去掉，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
根据倒数的定义，$\sqrt{5}-2$的倒数为：
$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$
对其进行分母有理化，分子分母同时乘$\sqrt{5}+2$，得：
$\frac{1×(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，分母计算为：
$(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$
因此原式化简为$\sqrt{5}+2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
倒数的定义；二次根式分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握分母有理化的方法，熟练运用平方差公式处理含二次根式的分母，是二次根式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
4 [2025 四川甘孜州质检] 分母有理化：
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}=$
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}=$
$-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2} =\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故答案为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题考查分母有理化，解题思路如下：首先观察分母是含二次根式的减法形式$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$，要消去分母中的根号，需利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，因此分母的有理化因式为$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；接下来给原式的分子、分母同时乘这个有理化因式，将分母化为整数；最后化简计算结果，得到最简二次根式即可。
【解析】
解：对原式分子分母同乘$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$，得
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}$
根据平方差公式计算分母：
$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})=(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2=4×3 - 9×2=12-18=-6$
因此原式可化为：
$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-6}=-\frac{2\sqrt{3}}{6}-\frac{3\sqrt{2}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式混合运算的常见基础题型，核心是掌握分母有理化的方法，解题时要准确识别分母的有理化因式，计算过程中注意二次根式乘方的运算规则和符号处理，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题考查分母有理化，解题思路如下：首先观察分母是含二次根式的减法形式$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$，要消去分母中的根号，需利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，因此分母的有理化因式为$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；接下来给原式的分子、分母同时乘这个有理化因式，将分母化为整数；最后化简计算结果，得到最简二次根式即可。
【解析】
解：对原式分子分母同乘$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$，得
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}$
根据平方差公式计算分母：
$(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})=(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2=4×3 - 9×2=12-18=-6$
因此原式可化为：
$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{-6}=-\frac{2\sqrt{3}}{6}-\frac{3\sqrt{2}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式混合运算的常见基础题型，核心是掌握分母有理化的方法，解题时要准确识别分母的有理化因式，计算过程中注意二次根式乘方的运算规则和符号处理，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
5[2025河北唐山质检]计算$4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$的结果是（
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
B
）A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
答案
原式 $=4×\frac{\sqrt{2}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}$. 故选 B.
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步，先将算式中每个二次根式化为最简二次根式；第二步，合并其中的同类二次根式即可得到结果。具体操作时先分别化简$4\sqrt{\frac{1}{2}}$、$3\sqrt{\frac{1}{3}}$和$\sqrt{8}$三个项，再把化简后被开方数相同的二次根式合并，抵消相同项后就能得到最终结果。
【解析】
先对每个二次根式进行化简：
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4×\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3×\frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
$\sqrt{8} = \sqrt{4×2} = 2\sqrt{2}$，
将化简结果代入原式计算：
原式$=2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时需注意遵循“先化简、再合并”的顺序，避免直接对根号内的数进行加减运算导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步，先将算式中每个二次根式化为最简二次根式；第二步，合并其中的同类二次根式即可得到结果。具体操作时先分别化简$4\sqrt{\frac{1}{2}}$、$3\sqrt{\frac{1}{3}}$和$\sqrt{8}$三个项，再把化简后被开方数相同的二次根式合并，抵消相同项后就能得到最终结果。
【解析】
先对每个二次根式进行化简：
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4×\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，
$3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3×\frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$，
$\sqrt{8} = \sqrt{4×2} = 2\sqrt{2}$，
将化简结果代入原式计算：
原式$=2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时需注意遵循“先化简、再合并”的顺序，避免直接对根号内的数进行加减运算导致错误。
【难度系数】
0.8
6[2025重庆渝中区校级期末]
如图,将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在格点(小正方形的顶点)上,则△ABC中BC边上的高的长度是 (
A.$\frac{7\sqrt{5}}{10}$
B.$\frac{7\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{7\sqrt{17}}{17}$
D.$\frac{14\sqrt{17}}{17}$
如图,将△ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在格点(小正方形的顶点)上,则△ABC中BC边上的高的长度是 (
D
)A.$\frac{7\sqrt{5}}{10}$
B.$\frac{7\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{7\sqrt{17}}{17}$
D.$\frac{14\sqrt{17}}{17}$
答案
先用割补法求出△ABC的面积,根据勾股定理求出 BC 的长,最后根据三角形的面积公式求高即可. 根据题图可得 $△ ABC$ 的面积为 $16-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×4=7$, $BC=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$. 设 $△ ABC$ 中 $BC$ 边上的高的长度是 $x$, 则 $\frac{1}{2}BC · x =7$, 所以 $x=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. 故选 D.
解析
【分析】
要求BC边上的高，可结合三角形面积公式反推求解，解题思路如下：首先利用网格的特点，用割补法计算△ABC的面积，即先算出△ABC所在的大正方形面积，再减去周围三个直角三角形的面积；接着根据勾股定理，结合BC在网格中的水平、垂直距离求出BC的长度；最后设BC边上的高为x，代入三角形面积公式求解，并将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
△ABC位于边长为4的正方形内，正方形面积为$4×4=16$，
△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×1×4=2$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×4=4$，
因此$S_{△ABC}=16-2-3-4=7$。
2. 计算BC的长度：
由网格可得BC的水平距离为4，垂直距离为1，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
3. 求解BC边上的高：
设BC边上的高为$x$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{17}×x=7$
解得$x=\frac{14}{\sqrt{17}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是网格几何的常考题型，核心是掌握网格中图形面积、线段长度的求解方法，同时需注意二次根式计算时要进行分母有理化，综合考察学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要求BC边上的高，可结合三角形面积公式反推求解，解题思路如下：首先利用网格的特点，用割补法计算△ABC的面积，即先算出△ABC所在的大正方形面积，再减去周围三个直角三角形的面积；接着根据勾股定理，结合BC在网格中的水平、垂直距离求出BC的长度；最后设BC边上的高为x，代入三角形面积公式求解，并将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
△ABC位于边长为4的正方形内，正方形面积为$4×4=16$，
△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×1×4=2$，$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×2×4=4$，
因此$S_{△ABC}=16-2-3-4=7$。
2. 计算BC的长度：
由网格可得BC的水平距离为4，垂直距离为1，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
3. 求解BC边上的高：
设BC边上的高为$x$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{17}×x=7$
解得$x=\frac{14}{\sqrt{17}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是网格几何的常考题型，核心是掌握网格中图形面积、线段长度的求解方法，同时需注意二次根式计算时要进行分母有理化，综合考察学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
7 [2025云南曲靖质检]定义：$a \otimes b = \sqrt{a} · \sqrt{b} + \sqrt{\frac{a}{b}}$，则$2 \otimes 4 =$
$\frac{5}{2}\sqrt{2}$
.答案
因为 $a\otimes b=\sqrt{a} · \sqrt{b}+\sqrt{\frac{a}{b}}$,所以 $2\otimes4=\sqrt{2}×\sqrt{4}+\sqrt{\frac{2}{4}}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$. 故答案为 $\frac{5}{2}\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要明确新运算“$\otimes$”的运算规则：两个数进行$\otimes$运算，等于两个数的算术平方根的乘积，加上第一个数除以第二个数的商的算术平方根。第一步先确定本题中参与运算的$a$、$b$对应的值，即$a=2$，$b=4$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式；第三步按照二次根式的化简、乘法、加法运算法则逐步计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则$a \otimes b = \sqrt{a} · \sqrt{b} + \sqrt{\frac{a}{b}}$，将$a=2$，$b=4$代入得：
$\begin{aligned}2 \otimes 4 &= \sqrt{2} × \sqrt{4} + \sqrt{\frac{2}{4}} \\&= 2\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} \\&= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{4\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{5\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确理解新定义的运算规则，代入数值后严格按照二次根式的运算规则计算即可，易错点为二次根式化简或合并同类二次根式时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先要明确新运算“$\otimes$”的运算规则：两个数进行$\otimes$运算，等于两个数的算术平方根的乘积，加上第一个数除以第二个数的商的算术平方根。第一步先确定本题中参与运算的$a$、$b$对应的值，即$a=2$，$b=4$；第二步将$a$、$b$代入新运算公式；第三步按照二次根式的化简、乘法、加法运算法则逐步计算，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则$a \otimes b = \sqrt{a} · \sqrt{b} + \sqrt{\frac{a}{b}}$，将$a=2$，$b=4$代入得：
$\begin{aligned}2 \otimes 4 &= \sqrt{2} × \sqrt{4} + \sqrt{\frac{2}{4}} \\&= 2\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{2}} \\&= 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{4\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{5\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是准确理解新定义的运算规则，代入数值后严格按照二次根式的运算规则计算即可，易错点为二次根式化简或合并同类二次根式时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
8[2025浙江绍兴期中]计算:
(1)$\sqrt{50}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$\sqrt{18}-4\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$；
(3)$(\sqrt{2}-π)^0+|1-2\sqrt{3}|-(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{-1}$。
(1)$\sqrt{50}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$\sqrt{18}-4\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{24}÷\sqrt{3}$；
(3)$(\sqrt{2}-π)^0+|1-2\sqrt{3}|-(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{-1}$。
答案
(1) 原式 $=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\sqrt{3}=5\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{3}=5\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=6\sqrt{2}$.
(2) 原式 $=3\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{24÷3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(3) 原式 $=1+2\sqrt{3}-1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}$.
(2) 原式 $=3\sqrt{2}-4×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{24÷3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(3) 原式 $=1+2\sqrt{3}-1-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}$.
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循“先化简、再运算、最后合并同类二次根式”的思路：①先将所有二次根式化为最简二次根式，分母含根号的先做分母有理化；②遇到零指数幂、绝对值、负指数幂等特殊运算，先按对应法则计算；③最后合并同类二次根式，注意运算过程中符号不要出错。
(1) 先化简$\sqrt{50}$，再对分母为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$的分式分母有理化，化简$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，最后去括号合并即可；
(2) 先化简$\sqrt{18}$、$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，再按二次根式除法法则计算$\sqrt{24}÷\sqrt{3}$，最后合并同类二次根式；
(3) 先按非零数的0次幂为1计算$(\sqrt{2}-π)^0$，判断$1-2\sqrt{3}$的正负后去绝对值，按负指数幂法则计算$(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{-1}$，最后化简合并即可。
【解析】
(1) 原式$=5\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=5\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\sqrt{3}$
$=5\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{3}$
$=5\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=6\sqrt{2}$
(2) 原式$=3\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{24÷3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=-\sqrt{2}$
(3) 原式$=1+2\sqrt{3}-1-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $-\sqrt{2}$；(3) $2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，零与负整数指数幂
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，覆盖了最简二次根式化简、特殊幂运算、绝对值化简等核心考点，运算时需严格遵循运算顺序，仔细核对每一步的化简结果和符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循“先化简、再运算、最后合并同类二次根式”的思路：①先将所有二次根式化为最简二次根式，分母含根号的先做分母有理化；②遇到零指数幂、绝对值、负指数幂等特殊运算，先按对应法则计算；③最后合并同类二次根式，注意运算过程中符号不要出错。
(1) 先化简$\sqrt{50}$，再对分母为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$的分式分母有理化，化简$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，最后去括号合并即可；
(2) 先化简$\sqrt{18}$、$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，再按二次根式除法法则计算$\sqrt{24}÷\sqrt{3}$，最后合并同类二次根式；
(3) 先按非零数的0次幂为1计算$(\sqrt{2}-π)^0$，判断$1-2\sqrt{3}$的正负后去绝对值，按负指数幂法则计算$(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{-1}$，最后化简合并即可。
【解析】
(1) 原式$=5\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=5\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\sqrt{3}$
$=5\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{3}$
$=5\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=6\sqrt{2}$
(2) 原式$=3\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{24÷3}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{8}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=-\sqrt{2}$
(3) 原式$=1+2\sqrt{3}-1-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $-\sqrt{2}$；(3) $2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，零与负整数指数幂
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，覆盖了最简二次根式化简、特殊幂运算、绝对值化简等核心考点，运算时需严格遵循运算顺序，仔细核对每一步的化简结果和符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
9 [2025 河北秦皇岛质检]设$M=( \sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} ) · \sqrt{ab}$，其中$a=4,b=8$，则$M$的值为（
A.2
B.-2
C.3
D.-3
D
）A.2
B.-2
C.3
D.-3
答案
因为 $a=4,b=8$, 所以 $M = ( \sqrt{\frac{1}{ab}} - \sqrt{\frac{a}{b}} ) · \sqrt{ab} = ( \sqrt{\frac{1}{4×8}} - \sqrt{\frac{4}{8}} ) · \sqrt{4×8} = ( \sqrt{\frac{1}{32}}-\sqrt{\frac{1}{2}} )×\sqrt{32} = \sqrt{\frac{1}{32}×32}-\sqrt{\frac{1}{2}×32}=\sqrt{1}-\sqrt{16}=1-4=-3$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时先观察式子结构，本题是括号内两个二次根式的差与另一个二次根式相乘，优先使用乘法分配律展开计算，可避免先化简括号内二次根式的复杂运算，降低计算难度。先代入a、b的数值，再利用二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）分别计算每一项，最后求差即可得到M的值。
【解析】
已知$a=4,b=8$，代入式子计算：
$\begin{aligned}M &= ( \sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} ) · \sqrt{ab} \\&= ( \sqrt{\dfrac{1}{4×8}} - \sqrt{\dfrac{4}{8}} ) × \sqrt{4×8} \\&= ( \sqrt{\dfrac{1}{32}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{32} \\&= \sqrt{\dfrac{1}{32}×32} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×32} \\&= \sqrt{1} - \sqrt{16} \\&= 1 - 4 \\&= -3\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，乘法分配律，二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，灵活运用运算律能简化计算过程，运算时需注意二次根式的结果为非负算术平方根，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子结构，本题是括号内两个二次根式的差与另一个二次根式相乘，优先使用乘法分配律展开计算，可避免先化简括号内二次根式的复杂运算，降低计算难度。先代入a、b的数值，再利用二次根式乘法法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）分别计算每一项，最后求差即可得到M的值。
【解析】
已知$a=4,b=8$，代入式子计算：
$\begin{aligned}M &= ( \sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} ) · \sqrt{ab} \\&= ( \sqrt{\dfrac{1}{4×8}} - \sqrt{\dfrac{4}{8}} ) × \sqrt{4×8} \\&= ( \sqrt{\dfrac{1}{32}} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) × \sqrt{32} \\&= \sqrt{\dfrac{1}{32}×32} - \sqrt{\dfrac{1}{2}×32} \\&= \sqrt{1} - \sqrt{16} \\&= 1 - 4 \\&= -3\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，乘法分配律，二次根式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，灵活运用运算律能简化计算过程，运算时需注意二次根式的结果为非负算术平方根，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
10 [2025 山西晋中质检]若$x^2 - x - 2 = 0$，则$\dfrac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}}$的值是（
A.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$或$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A
）A.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$或$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
因为 $x^2 -x -2 = 0$, 所以 $x^2 -x = 2$, 所以 $\frac{x^2 -x +2\sqrt{3}}{(x^2 -x)^2 -1 +\sqrt{3}} = \frac{2+2\sqrt{3}}{2^2 -1 +\sqrt{3}} = \frac{2+2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} =\frac{(2+2\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故选 A.
解析
【分析】
观察所求代数式，可发现分子、分母中多次出现$x^2 - x$这个整体，因此不需要先解方程求出$x$的值，先通过已知方程求出$x^2 - x$的数值，再整体代入所求代数式，最后按照二次根式的运算规则化简，通过分母有理化得到最终结果即可。
【解析】
已知$x^2 - x - 2 = 0$，移项可得$x^2 - x = 2$。
将$x^2 - x = 2$代入所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}}&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{2^2 - 1 + \sqrt{3}}\\&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\end{aligned}$
接下来进行分母有理化，给分子、分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\begin{aligned}\frac{(2 + 2\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}&=\frac{6 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6}{9 - 3}\\&=\frac{4\sqrt{3}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】
整体代入求值，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题核心是运用整体思想简化计算，避免了解方程求$x$的繁琐步骤，也不会被$x$有两个解的情况干扰。解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用简便方法，同时要熟练掌握二次根式分母有理化的运算技巧，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式，可发现分子、分母中多次出现$x^2 - x$这个整体，因此不需要先解方程求出$x$的值，先通过已知方程求出$x^2 - x$的数值，再整体代入所求代数式，最后按照二次根式的运算规则化简，通过分母有理化得到最终结果即可。
【解析】
已知$x^2 - x - 2 = 0$，移项可得$x^2 - x = 2$。
将$x^2 - x = 2$代入所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}}&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{2^2 - 1 + \sqrt{3}}\\&=\frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\end{aligned}$
接下来进行分母有理化，给分子、分母同乘$3 - \sqrt{3}$：
$\begin{aligned}\frac{(2 + 2\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}&=\frac{6 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6}{9 - 3}\\&=\frac{4\sqrt{3}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】A
【知识点】
整体代入求值，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题核心是运用整体思想简化计算，避免了解方程求$x$的繁琐步骤，也不会被$x$有两个解的情况干扰。解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用简便方法，同时要熟练掌握二次根式分母有理化的运算技巧，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
11 [2026 湖南岳阳质检]若 $ m = \frac{2012}{\sqrt{2013} - 1} $，则 $ m^5 - 2m^4 - 2012m^3 $ 的值是
0
。答案
因为 $m = \frac{2012}{\sqrt{2013}-1} = \frac{2012(\sqrt{2013}+1)}{(\sqrt{2013}-1)(\sqrt{2013}+1)}=\sqrt{2013}+1$, 所以 $m^5 -2m^4 -2012m^3 = m^3(m^2 -2m -2012) = m^3[(m-1)^2 -2013]$, 把 $m=\sqrt{2013}+1$ 代入, 得原式 $=0$. 故答案为 0.
解析
【分析】
已知m的表达式分母含有二次根式，直接代入高次多项式计算量极大，因此解题分两步进行：第一步先对m进行分母有理化，简化m的取值；第二步对待求的高次代数式先提取公因式降次，再将剩余的二次式配方，使其能直接代入化简后的m值计算，避免复杂的高次运算。
【解析】
1. 化简m的取值，对m做分母有理化：
利用平方差公式给分子分母同乘$\sqrt{2013}+1$，得：
$m = \frac{2012}{\sqrt{2013}-1} = \frac{2012(\sqrt{2013}+1)}{(\sqrt{2013}-1)(\sqrt{2013}+1)}$
分母计算得$(\sqrt{2013})^2-1^2=2013-1=2012$，约分后得$m=\sqrt{2013}+1$，即$m-1=\sqrt{2013}$。
2. 化简待求代数式：
先提取公因式$m^3$降次，得：
$m^5 -2m^4 -2012m^3 = m^3(m^2 -2m -2012)$
对括号内的二次式配方，将$m^2-2m$变形为$(m-1)^2-1$，代入得：
原式$=m^3[(m-1)^2 -1 -2012] = m^3[(m-1)^2 -2013]$
3. 整体代入计算：
把$m-1=\sqrt{2013}$代入，得$(m-1)^2=2013$，因此括号内的值为$2013-2013=0$，则原式$=m^3×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
分母有理化，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的常考题型，解题核心是先化简含二次根式的参数，再通过因式分解、配方对高次代数式变形，利用整体代入的思想简化计算，避免了直接计算高次幂的繁琐，有效考查了运算技巧和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
已知m的表达式分母含有二次根式，直接代入高次多项式计算量极大，因此解题分两步进行：第一步先对m进行分母有理化，简化m的取值；第二步对待求的高次代数式先提取公因式降次，再将剩余的二次式配方，使其能直接代入化简后的m值计算，避免复杂的高次运算。
【解析】
1. 化简m的取值，对m做分母有理化：
利用平方差公式给分子分母同乘$\sqrt{2013}+1$，得：
$m = \frac{2012}{\sqrt{2013}-1} = \frac{2012(\sqrt{2013}+1)}{(\sqrt{2013}-1)(\sqrt{2013}+1)}$
分母计算得$(\sqrt{2013})^2-1^2=2013-1=2012$，约分后得$m=\sqrt{2013}+1$，即$m-1=\sqrt{2013}$。
2. 化简待求代数式：
先提取公因式$m^3$降次，得：
$m^5 -2m^4 -2012m^3 = m^3(m^2 -2m -2012)$
对括号内的二次式配方，将$m^2-2m$变形为$(m-1)^2-1$，代入得：
原式$=m^3[(m-1)^2 -1 -2012] = m^3[(m-1)^2 -2013]$
3. 整体代入计算：
把$m-1=\sqrt{2013}$代入，得$(m-1)^2=2013$，因此括号内的值为$2013-2013=0$，则原式$=m^3×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
分母有理化，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的常考题型，解题核心是先化简含二次根式的参数，再通过因式分解、配方对高次代数式变形，利用整体代入的思想简化计算，避免了直接计算高次幂的繁琐，有效考查了运算技巧和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
12[2025陕西咸阳质检]先化简，再求值：$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})(\sqrt{2x}-\sqrt{y})-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})^2$，其中 $x=\dfrac{3}{4}$，$y=\dfrac{1}{2}$。
答案
原式 $= (\sqrt{2x})^2 - (\sqrt{y})^2 - [ (\sqrt{2x})^2 - 2\sqrt{2x}×\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 ] = 2x - y -2x +2\sqrt{2xy} -y = 2\sqrt{2xy} -2y$.
当 $x=\frac{3}{4},y=\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=2\sqrt{2×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}} -2×\frac{1}{2}=\sqrt{3}-1$.
当 $x=\frac{3}{4},y=\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=2\sqrt{2×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}} -2×\frac{1}{2}=\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
本题属于二次根式的化简求值类题目，解题时先观察式子结构，可发现原式两部分分别符合平方差公式和完全平方差公式的结构特征，因此优先套用整式乘法公式展开，再通过去括号、合并同类项将原式化简为最简形式，最后代入x、y的取值计算结果，这种方法比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率。
【解析】
解：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (\sqrt{2x})^2 - (\sqrt{y})^2 - [ (\sqrt{2x})^2 - 2·\sqrt{2x}·\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 ] \\&= 2x - y - (2x - 2\sqrt{2xy} + y) \\&= 2x - y - 2x + 2\sqrt{2xy} - y \\&= 2\sqrt{2xy} - 2y\end{aligned}$
将$x=\dfrac{3}{4}$，$y=\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2× \dfrac{3}{4}× \dfrac{1}{2}} - 2× \dfrac{1}{2} \\&=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算能力，合理运用乘法公式可简化运算步骤，解题时需注意去括号的符号变化，二次根式的计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的化简求值类题目，解题时先观察式子结构，可发现原式两部分分别符合平方差公式和完全平方差公式的结构特征，因此优先套用整式乘法公式展开，再通过去括号、合并同类项将原式化简为最简形式，最后代入x、y的取值计算结果，这种方法比直接代入原式计算更简便，能有效降低计算错误率。
【解析】
解：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (\sqrt{2x})^2 - (\sqrt{y})^2 - [ (\sqrt{2x})^2 - 2·\sqrt{2x}·\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 ] \\&= 2x - y - (2x - 2\sqrt{2xy} + y) \\&= 2x - y - 2x + 2\sqrt{2xy} - y \\&= 2\sqrt{2xy} - 2y\end{aligned}$
将$x=\dfrac{3}{4}$，$y=\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2× \dfrac{3}{4}× \dfrac{1}{2}} - 2× \dfrac{1}{2} \\&=2×\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\&=\sqrt{3}-1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算能力，合理运用乘法公式可简化运算步骤，解题时需注意去括号的符号变化，二次根式的计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
