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1[中]设$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{11}=b$，则$\sqrt{7} × \sqrt{0.11}$可以表示为（
A.$\dfrac{ab}{100}$
B.$10ab$
C.$\dfrac{10}{ab}$
D.$\dfrac{ab}{10}$
D
）A.$\dfrac{ab}{100}$
B.$10ab$
C.$\dfrac{10}{ab}$
D.$\dfrac{ab}{10}$
答案
1.D 【解析】$\sqrt{7} × \sqrt{0.11} = \sqrt{7} × \sqrt{\frac{11}{100}} = \sqrt{7} × \sqrt{11} × \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} × \sqrt{7} × \sqrt{11}$. 因为 $\sqrt{7} = a$,$\sqrt{11} = b$,所以原式$=\frac{ab}{10}$. 故选 D.
解析
【分析】
要将$\sqrt{7} × \sqrt{0.11}$用$a$、$b$表示，首先需要把$\sqrt{0.11}$转化为含$\sqrt{11}$的形式，再利用二次根式的乘法法则拆分运算，最后代入已知的$a=\sqrt{7}$、$b=\sqrt{11}$即可得到结果。具体思考步骤：第一步，先把小数0.11改写为分数$\frac{11}{100}$；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）拆分$\sqrt{\frac{11}{100}}$；第三步，结合二次根式乘法法则合并已知的$\sqrt{7}$和$\sqrt{11}$，再代入字母化简。
【解析】
先化简原式：
$\sqrt{7} × \sqrt{0.11} = \sqrt{7} × \sqrt{\frac{11}{100}}$
根据二次根式的运算性质，拆分得：
$=\sqrt{7} × \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{100}} = \sqrt{7} × \sqrt{11} × \frac{1}{10}$
已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{11}=b$，代入得：
原式$=a×b×\frac{1}{10}=\frac{ab}{10}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；代数式代换
【点评】
本题是二次根式运算的基础应用题型，解题核心是将小数形式的被开方数转化为分数后拆分根号，再结合已知条件代换即可，做题时要注意区分$\sqrt{0.01}$和$\sqrt{0.1}$的化简结果，避免因分母化简错误失分。
【难度系数】
0.7
要将$\sqrt{7} × \sqrt{0.11}$用$a$、$b$表示，首先需要把$\sqrt{0.11}$转化为含$\sqrt{11}$的形式，再利用二次根式的乘法法则拆分运算，最后代入已知的$a=\sqrt{7}$、$b=\sqrt{11}$即可得到结果。具体思考步骤：第一步，先把小数0.11改写为分数$\frac{11}{100}$；第二步，利用二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）拆分$\sqrt{\frac{11}{100}}$；第三步，结合二次根式乘法法则合并已知的$\sqrt{7}$和$\sqrt{11}$，再代入字母化简。
【解析】
先化简原式：
$\sqrt{7} × \sqrt{0.11} = \sqrt{7} × \sqrt{\frac{11}{100}}$
根据二次根式的运算性质，拆分得：
$=\sqrt{7} × \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{100}} = \sqrt{7} × \sqrt{11} × \frac{1}{10}$
已知$\sqrt{7}=a$，$\sqrt{11}=b$，代入得：
原式$=a×b×\frac{1}{10}=\frac{ab}{10}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；代数式代换
【点评】
本题是二次根式运算的基础应用题型，解题核心是将小数形式的被开方数转化为分数后拆分根号，再结合已知条件代换即可，做题时要注意区分$\sqrt{0.01}$和$\sqrt{0.1}$的化简结果，避免因分母化简错误失分。
【难度系数】
0.7
2[2025浙江湖州调研,中]已知二次根式$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化简成最简二次根式后，被开方数相同，若a是正整数，则a的最小值为（
A.23
B.21
C.15
D.5
D
）A.23
B.21
C.15
D.5
答案
2.D 【解析】因为二次根式$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化简成最简二次根式后,被开方数相同,且$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,所以当 $23-a=2$ 时, $a=21$; 当 $23-a=8$ 时, $a=15$; 当 $23-a=18$ 时, $a=5$; 当 $23-a=32$ 时,$a=-9$(不符合题意,舍去),… 综上,符合条件的正整数 $a$ 的值为 5,15,21,所以 $a$ 的最小值为 5. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路如下：第一步先把$\sqrt{8}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；第二步根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{23-a}$化简后被开方数和$\sqrt{8}$最简形式的被开方数一致，因此$23-a$一定是该被开方数乘一个正的完全平方数；第三步结合二次根式被开方数非负、a是正整数的限制，求出所有符合条件的a值，再找出最小值即可。
【解析】
先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，即其最简二次根式的被开方数为2。
根据题意，$\sqrt{23-a}$化简为最简二次根式后被开方数也为2，因此$23-a=2k^2$（k为正整数），同时满足$23-a≥0$，a为正整数。
分别代入k值计算：
①当k=1时，$23-a=2×1^2=2$，解得$a=21$，符合条件；
②当k=2时，$23-a=2×2^2=8$，解得$a=15$，符合条件；
③当k=3时，$23-a=2×3^2=18$，解得$a=5$，符合条件；
④当k=4时，$23-a=2×4^2=32$，解得$a=-9$，不是正整数，舍去。
综上，符合条件的正整数a为5、15、21，其中最小值为5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查同类二次根式的应用，解题的关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式的特征列等式求解，解题时要注意题干中a为正整数、二次根式被开方数非负的限制，避免漏解或错选。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路如下：第一步先把$\sqrt{8}$化为最简二次根式，确定它的被开方数；第二步根据同类二次根式的定义，可知$\sqrt{23-a}$化简后被开方数和$\sqrt{8}$最简形式的被开方数一致，因此$23-a$一定是该被开方数乘一个正的完全平方数；第三步结合二次根式被开方数非负、a是正整数的限制，求出所有符合条件的a值，再找出最小值即可。
【解析】
先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，即其最简二次根式的被开方数为2。
根据题意，$\sqrt{23-a}$化简为最简二次根式后被开方数也为2，因此$23-a=2k^2$（k为正整数），同时满足$23-a≥0$，a为正整数。
分别代入k值计算：
①当k=1时，$23-a=2×1^2=2$，解得$a=21$，符合条件；
②当k=2时，$23-a=2×2^2=8$，解得$a=15$，符合条件；
③当k=3时，$23-a=2×3^2=18$，解得$a=5$，符合条件；
④当k=4时，$23-a=2×4^2=32$，解得$a=-9$，不是正整数，舍去。
综上，符合条件的正整数a为5、15、21，其中最小值为5。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查同类二次根式的应用，解题的关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式的特征列等式求解，解题时要注意题干中a为正整数、二次根式被开方数非负的限制，避免漏解或错选。
【难度系数】
0.6
3[2025青海西宁期末,较难]将图(1)中的长方形分成B,C两部分,恰与正方形A拼接成如图(2)的大正方形.如果正方形A的面积为2,拼接后的大正方形的面积是5,则图(1)中原长方形的长是
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
.答案
3.$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ 【解析】设长方形 $C$ 的长为 $x$, 宽为 $y$, 则正方形 $A$ 的边长为 $x$, 长方形 $B$ 的长为 $x+y$, 宽为 $y$. 因为正方形 $A$ 的面积为 2, 所以$x=\sqrt{2}$. 因为拼接后的大正方形的面积是 5, 所以 $x+y=\sqrt{5}$, 所以 $y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$, 所以题图(1)中原长方形的长为 $x+x+y = 2x+y = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}+\sqrt{5}$. 故答案为$\sqrt{2}+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，先求出正方形A的边长和拼接后大正方形的边长；再结合两个图形的拼接特征，梳理出长方形B、C的边长与两个正方形边长的等量关系：长方形C的长等于正方形A的边长，大正方形的边长等于正方形A的边长加C的宽，也等于长方形B的长，且B和C的宽相等；最后根据图(1)的拼接方式，用已知的边长表示出原长方形的长，代入数值通过二次根式的加减运算即可得到结果。
【解析】
设长方形C的长为$x$，宽为$y$。
由正方形A的面积为2，可得正方形A的边长$x=\sqrt{2}$；
由拼接后大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为$x+y=\sqrt{5}$，因此$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
观察图(1)可知，原长方形的长为B的长与C的长之和，即$(x+y)+x=2x+y$，代入数值计算：
$2x+y=2\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式的加减，图形拼接的边长关系
【点评】
本题将几何图形拼接与二次根式运算相结合，解题的核心是准确梳理拼接前后各图形的边长等量关系，再结合二次根式的运算法则计算，同时考查了几何直观分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，先求出正方形A的边长和拼接后大正方形的边长；再结合两个图形的拼接特征，梳理出长方形B、C的边长与两个正方形边长的等量关系：长方形C的长等于正方形A的边长，大正方形的边长等于正方形A的边长加C的宽，也等于长方形B的长，且B和C的宽相等；最后根据图(1)的拼接方式，用已知的边长表示出原长方形的长，代入数值通过二次根式的加减运算即可得到结果。
【解析】
设长方形C的长为$x$，宽为$y$。
由正方形A的面积为2，可得正方形A的边长$x=\sqrt{2}$；
由拼接后大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为$x+y=\sqrt{5}$，因此$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
观察图(1)可知，原长方形的长为B的长与C的长之和，即$(x+y)+x=2x+y$，代入数值计算：
$2x+y=2\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式的加减，图形拼接的边长关系
【点评】
本题将几何图形拼接与二次根式运算相结合，解题的核心是准确梳理拼接前后各图形的边长等量关系，再结合二次根式的运算法则计算，同时考查了几何直观分析能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.5
4[2025山西吕梁期中,中]如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B,点C与点B关于原点对称,若A,B,C三点对应的数分别为$a,b,c,a=-\sqrt{2}.$
(1)填空:b=
(2)化简$:\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}+\sqrt{(c-1)^2}.$
(1)填空:b=
$-\sqrt{2}+2$
,c=$\sqrt{2}-2$
,bc+6=$4\sqrt{2}$
;(2)化简$:\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}+\sqrt{(c-1)^2}.$
答案
4.【解】(1) 因为 $a=-\sqrt{2}$, 所以 $b=-\sqrt{2}+2$. 因为点 $C$ 与点 $B$ 关于原点对称, 所以 $c=-b=\sqrt{2}-2$, 所以 $bc+6=(-\sqrt{2}+2)×(\sqrt{2}-2)+6=4\sqrt{2}$. 故答案为 $-\sqrt{2}+2$,$\sqrt{2}-2$,$4\sqrt{2}$.
(2) 原式 $= |a-1| + |b-1| + |c-1| = |-\sqrt{2}-1| + |-\sqrt{2}+2-1| + |\sqrt{2}-2-1| = \sqrt{2}+1 + \sqrt{2}-1 + 3-\sqrt{2} = 3+\sqrt{2}$.
(2) 原式 $= |a-1| + |b-1| + |c-1| = |-\sqrt{2}-1| + |-\sqrt{2}+2-1| + |\sqrt{2}-2-1| = \sqrt{2}+1 + \sqrt{2}-1 + 3-\sqrt{2} = 3+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 解题时先利用数轴上点平移的规律“右加左减”，用点A对应的数加上平移的2个单位得到b的值；再根据“关于原点对称的两个点对应的数互为相反数”，可求出c的值，最后代入代数式计算即可。
(2) 首先根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为三个绝对值的和，再分别判断每个绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号后合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 已知$a=-\sqrt{2}$，蚂蚁从A向右爬2个单位长度到达B，因此$b=a+2=-\sqrt{2}+2$；
点C与点B关于原点对称，故c为b的相反数，即$c=-b=-(-\sqrt{2}+2)=\sqrt{2}-2$；
代入计算$bc+6$：
$\begin{aligned}bc+6&=(-\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)+6\\&=-(2-4\sqrt{2}+4)+6\\&=-6+4\sqrt{2}+6\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 根据二次根式性质可得：
$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}+\sqrt{(c-1)^2}=|a-1|+|b-1|+|c-1|$
判断符号去绝对值：
$a=-\sqrt{2}＜1$，故$|a-1|=1-a=1+\sqrt{2}$；
$b=2-\sqrt{2}\approx0.586＜1$，故$|b-1|=1-b=\sqrt{2}-1$；
$c=\sqrt{2}-2＜1$，故$|c-1|=1-c=3-\sqrt{2}$；
代入计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)+(3-\sqrt{2})\\&=3+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}+2$；$\sqrt{2}-2$；$4\sqrt{2}$
(2) $3+\sqrt{2}$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴和对称性质考查二次根式的化简，解题核心是正确求出b、c的值，注意化简$\sqrt{a^2}$时要先转化为绝对值，再根据符号去绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先利用数轴上点平移的规律“右加左减”，用点A对应的数加上平移的2个单位得到b的值；再根据“关于原点对称的两个点对应的数互为相反数”，可求出c的值，最后代入代数式计算即可。
(2) 首先根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为三个绝对值的和，再分别判断每个绝对值内式子的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号后合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) 已知$a=-\sqrt{2}$，蚂蚁从A向右爬2个单位长度到达B，因此$b=a+2=-\sqrt{2}+2$；
点C与点B关于原点对称，故c为b的相反数，即$c=-b=-(-\sqrt{2}+2)=\sqrt{2}-2$；
代入计算$bc+6$：
$\begin{aligned}bc+6&=(-\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)+6\\&=-(2-4\sqrt{2}+4)+6\\&=-6+4\sqrt{2}+6\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 根据二次根式性质可得：
$\sqrt{(a-1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}+\sqrt{(c-1)^2}=|a-1|+|b-1|+|c-1|$
判断符号去绝对值：
$a=-\sqrt{2}＜1$，故$|a-1|=1-a=1+\sqrt{2}$；
$b=2-\sqrt{2}\approx0.586＜1$，故$|b-1|=1-b=\sqrt{2}-1$；
$c=\sqrt{2}-2＜1$，故$|c-1|=1-c=3-\sqrt{2}$；
代入计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)+(3-\sqrt{2})\\&=3+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}+2$；$\sqrt{2}-2$；$4\sqrt{2}$
(2) $3+\sqrt{2}$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，结合数轴和对称性质考查二次根式的化简，解题核心是正确求出b、c的值，注意化简$\sqrt{a^2}$时要先转化为绝对值，再根据符号去绝对值，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
5[2026江西赣州质检,中]嘉桐同学准备完成题目:计算:$(□\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})$,发现系数“$□$”印刷不清楚.
(1)她把“$□$”猜成4,计算:$(4\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})$;
(2)她后面翻看了答案,看到标准答案是0,请你通过计算说明原题中的“$□$”是几.
(1)她把“$□$”猜成4,计算:$(4\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})$;
(2)她后面翻看了答案,看到标准答案是0,请你通过计算说明原题中的“$□$”是几.
答案
5.【解】(1) $(4\sqrt{\frac{1}{32}}-\frac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\frac{1}{6}}) = 4×\frac{\sqrt{2}}{8} - \frac{3}{2}×2\sqrt{6} - \sqrt{2} + 18×\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) 设“■”是 $a$, 则 $(a\sqrt{\frac{1}{32}}-\frac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\frac{1}{6}}) = \frac{\sqrt{2}a}{8} - \frac{3}{2}×2\sqrt{6} - \sqrt{2} + 18×\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}a}{8} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6} = (\frac{a}{8}-1)\sqrt{2}$. 因为标准答案是 0 , 所以 $\frac{a}{8}-1=0$, 解得 $a=8$. 故原题中的“■”是 8.
(2) 设“■”是 $a$, 则 $(a\sqrt{\frac{1}{32}}-\frac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\frac{1}{6}}) = \frac{\sqrt{2}a}{8} - \frac{3}{2}×2\sqrt{6} - \sqrt{2} + 18×\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}a}{8} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6} = (\frac{a}{8}-1)\sqrt{2}$. 因为标准答案是 0 , 所以 $\frac{a}{8}-1=0$, 解得 $a=8$. 故原题中的“■”是 8.
解析
【分析】
（1）第一问将“”替换为4后，按照二次根式加减运算的步骤求解：先把每个二次根式化为最简二次根式，再去括号（注意括号前为负号时括号内各项要变号），最后合并同类二次根式即可得到结果。
（2）第二问先设“”代表的数为a，按照二次根式加减的运算规则将原式化简为含a的代数式，再结合标准答案为0，令化简后的结果等于0，解关于a的一元一次方程即可求出“”对应的数值。
【解析】
(1) 把“”换成4代入式子计算：
$\begin{aligned}&(4\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})\\=&4×\dfrac{\sqrt{2}}{8} - \dfrac{3}{2}×2\sqrt{6} - \sqrt{2} + 18×\dfrac{\sqrt{6}}{6}\\=&\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6}\\=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
(2) 设“”处的数为$a$，则原式化简为：
$\begin{aligned}&(a\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})\\=&\dfrac{a\sqrt{2}}{8} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6}\\=&(\dfrac{a}{8}-1)\sqrt{2}\end{aligned}$
因为标准答案是0，且$\sqrt{2}≠0$，因此$\dfrac{a}{8}-1=0$，解得$a=8$。
【答案】
(1) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(2) 8
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；一元一次方程应用
【点评】
本题围绕二次根式的加减运算设置问题，第一问考查二次根式加减的基本运算能力，第二问通过设未知数建立方程求解未知系数，解题核心是熟练掌握二次根式化简及同类二次根式合并的方法，属于二次根式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问将“”替换为4后，按照二次根式加减运算的步骤求解：先把每个二次根式化为最简二次根式，再去括号（注意括号前为负号时括号内各项要变号），最后合并同类二次根式即可得到结果。
（2）第二问先设“”代表的数为a，按照二次根式加减的运算规则将原式化简为含a的代数式，再结合标准答案为0，令化简后的结果等于0，解关于a的一元一次方程即可求出“”对应的数值。
【解析】
(1) 把“”换成4代入式子计算：
$\begin{aligned}&(4\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})\\=&4×\dfrac{\sqrt{2}}{8} - \dfrac{3}{2}×2\sqrt{6} - \sqrt{2} + 18×\dfrac{\sqrt{6}}{6}\\=&\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6}\\=&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
(2) 设“”处的数为$a$，则原式化简为：
$\begin{aligned}&(a\sqrt{\dfrac{1}{32}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{24})-(\sqrt{2}-18\sqrt{\dfrac{1}{6}})\\=&\dfrac{a\sqrt{2}}{8} - 3\sqrt{6} - \sqrt{2} + 3\sqrt{6}\\=&(\dfrac{a}{8}-1)\sqrt{2}\end{aligned}$
因为标准答案是0，且$\sqrt{2}≠0$，因此$\dfrac{a}{8}-1=0$，解得$a=8$。
【答案】
(1) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；(2) 8
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；一元一次方程应用
【点评】
本题围绕二次根式的加减运算设置问题，第一问考查二次根式加减的基本运算能力，第二问通过设未知数建立方程求解未知系数，解题核心是熟练掌握二次根式化简及同类二次根式合并的方法，属于二次根式运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
6 核心素养运算能力[2025北京延庆区期中,较难]
阅读材料:
小明在学习了二次根式后,发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$,这样就可以将$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$进行化简,即$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$.
善于思考的小明进行了以下探索:
对于$a+2\sqrt{b}$,若能找到两个数$m$和$n$,使$m^2+n^2=a$,且$mn=\sqrt{b}$,则$a+2\sqrt{b}$可变形为$m^2+n^2+2mn$,即$(m+n)^2$,从而使得$\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{(m+n)^2}=m+n$.(其中$a,b,m,n$均为正数)
例如:因为$4+2\sqrt{3}=1+3+2\sqrt{3}=(\sqrt{1})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$,所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
请你参考小明的方法探索并解决下列问题:
(1)化简:$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$;
(2)化简:$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$;
(3)若$\sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$,其中$a,b$都是整数,求$a$的值.
阅读材料:
小明在学习了二次根式后,发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$,这样就可以将$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$进行化简,即$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$.
善于思考的小明进行了以下探索:
对于$a+2\sqrt{b}$,若能找到两个数$m$和$n$,使$m^2+n^2=a$,且$mn=\sqrt{b}$,则$a+2\sqrt{b}$可变形为$m^2+n^2+2mn$,即$(m+n)^2$,从而使得$\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{(m+n)^2}=m+n$.(其中$a,b,m,n$均为正数)
例如:因为$4+2\sqrt{3}=1+3+2\sqrt{3}=(\sqrt{1})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$,所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
请你参考小明的方法探索并解决下列问题:
(1)化简:$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$;
(2)化简:$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$;
(3)若$\sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$,其中$a,b$都是整数,求$a$的值.
答案
6.【解】(1) 原式 $= \sqrt{3+2\sqrt{6}+2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
(2) 原式 $= \sqrt{4-4\sqrt{3}+3} = \sqrt{2^2 - 2×2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}$.
(3) 因为 $\sqrt{a^2+4\sqrt{5}} = b+\sqrt{5}$, 所以 $a^2 + 4\sqrt{5} = b^2 + 2\sqrt{5}b + 5$. 因为 $a,b$ 都是整数, 所以 $4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}b$, 解得 $b=2$, 所以 $a^2 + 4\sqrt{5} = 2^2 + 2\sqrt{5}×2 + 5$, 解得 $a=±3$.
(2) 原式 $= \sqrt{4-4\sqrt{3}+3} = \sqrt{2^2 - 2×2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}$.
(3) 因为 $\sqrt{a^2+4\sqrt{5}} = b+\sqrt{5}$, 所以 $a^2 + 4\sqrt{5} = b^2 + 2\sqrt{5}b + 5$. 因为 $a,b$ 都是整数, 所以 $4\sqrt{5} = 2\sqrt{5}b$, 解得 $b=2$, 所以 $a^2 + 4\sqrt{5} = 2^2 + 2\sqrt{5}×2 + 5$, 解得 $a=±3$.
解析
【分析】
本题考查利用配方法化简复合二次根式，解题思路如下：
1. 对于形如$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$的式子，核心是将被开方数$a+2\sqrt{b}$配成完全平方形式：找到两个正数$m、n$，使得$m^2+n^2=a$，$mn=\sqrt{b}$，则$a+2\sqrt{b}=(m+n)^2$，再利用$\sqrt{x^2}=|x|$（$m、n$为正，开方结果为$m+n$）即可化简。
2. 第(1)问直接套用上述方法，拆分常数5为2+3，验证乘积对应$\sqrt{6}$即可。
3. 第(2)问被开方数是减号、根号前系数为4，先将$4\sqrt{3}$转化为$2×2\sqrt{3}$，再拆分常数7为4+3，配成差的完全平方，开方时取正数结果。
4. 第(3)问先将等式两边平方去掉根号，再将等式两边的有理数部分、含$\sqrt{5}$的无理数部分分别对应相等，结合$a、b$是整数的条件求解，注意$a$是平方项的底数，正负都要考虑。
【解析】
(1) 拆分被开方数配完全平方：
$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$
原式$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(2) 调整被开方数形式配完全平方：
$7-4\sqrt{3}=7-2×2\sqrt{3}=4+3-2×2×\sqrt{3}=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
因为$2＞\sqrt{3}$，所以原式$=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$
(3) 将$\sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$两边同时平方得：
$a^2 + 4\sqrt{5} = (b+\sqrt{5})^2 = b^2 + 2b\sqrt{5} + 5$
因为$a、b$都是整数，等式两边无理数部分系数、有理数部分分别对应相等：
由无理数部分得$4\sqrt{5}=2b\sqrt{5}$，解得$b=2$
将$b=2$代入有理数部分得$a^2 = 2^2 + 5 = 9$，解得$a=\pm3$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(2) $2-\sqrt{3}$；(3) $a=\pm3$
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的创新应用题型，需要先理解材料给出的配方法思路，灵活运用完全平方公式对复合二次根式的被开方数进行配方，再结合二次根式的性质化简。第三问用到了无理数与有理数对应相等的解题思路，能有效锻炼知识迁移能力和运算能力，解题时注意不要遗漏$a$的负号。
【难度系数】
0.6
本题考查利用配方法化简复合二次根式，解题思路如下：
1. 对于形如$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$的式子，核心是将被开方数$a+2\sqrt{b}$配成完全平方形式：找到两个正数$m、n$，使得$m^2+n^2=a$，$mn=\sqrt{b}$，则$a+2\sqrt{b}=(m+n)^2$，再利用$\sqrt{x^2}=|x|$（$m、n$为正，开方结果为$m+n$）即可化简。
2. 第(1)问直接套用上述方法，拆分常数5为2+3，验证乘积对应$\sqrt{6}$即可。
3. 第(2)问被开方数是减号、根号前系数为4，先将$4\sqrt{3}$转化为$2×2\sqrt{3}$，再拆分常数7为4+3，配成差的完全平方，开方时取正数结果。
4. 第(3)问先将等式两边平方去掉根号，再将等式两边的有理数部分、含$\sqrt{5}$的无理数部分分别对应相等，结合$a、b$是整数的条件求解，注意$a$是平方项的底数，正负都要考虑。
【解析】
(1) 拆分被开方数配完全平方：
$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$
原式$=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(2) 调整被开方数形式配完全平方：
$7-4\sqrt{3}=7-2×2\sqrt{3}=4+3-2×2×\sqrt{3}=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=(2-\sqrt{3})^2$
因为$2＞\sqrt{3}$，所以原式$=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=2-\sqrt{3}$
(3) 将$\sqrt{a^2+4\sqrt{5}}=b+\sqrt{5}$两边同时平方得：
$a^2 + 4\sqrt{5} = (b+\sqrt{5})^2 = b^2 + 2b\sqrt{5} + 5$
因为$a、b$都是整数，等式两边无理数部分系数、有理数部分分别对应相等：
由无理数部分得$4\sqrt{5}=2b\sqrt{5}$，解得$b=2$
将$b=2$代入有理数部分得$a^2 = 2^2 + 5 = 9$，解得$a=\pm3$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(2) $2-\sqrt{3}$；(3) $a=\pm3$
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式的创新应用题型，需要先理解材料给出的配方法思路，灵活运用完全平方公式对复合二次根式的被开方数进行配方，再结合二次根式的性质化简。第三问用到了无理数与有理数对应相等的解题思路，能有效锻炼知识迁移能力和运算能力，解题时注意不要遗漏$a$的负号。
【难度系数】
0.6
