1[2025福建泉州期中,中]老师设计了一个“接力游戏”,用合作的方式完成二次根式的混合运算,如图,老师把题目交给一位同学,他完成一步解答后交给第二位同学,依次进行,最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是 ()


A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮

因为 $( \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{18}} ) ÷ \sqrt{3} = \sqrt{12÷3} + \sqrt{\frac{1}{18}÷3}$, 所以小明没有出现错误. 因为 $\sqrt{12÷3} + \sqrt{\frac{1}{18}÷3} = \sqrt{4} + \sqrt{\frac{1}{54}}$, 所以小丽出现错误. 因为 $\sqrt{4} + \sqrt{\frac{1}{6}} = 2 + \frac{\sqrt{6}}{6}$, 所以小红出现错误. 因为 $2 + \sqrt{\frac{1}{36}} = 2 + \frac{1}{6} = 2\frac{1}{6}$, 所以小亮没有出现错误. 故选 B.

【分析】
要判断接力中谁负责的步骤出错，需按照接力顺序，依据二次根式的运算法则，依次核对每位同学的计算是否是对上一位同学所给式子的正确推导：首先利用二次根式除法的分配律判断小明的步骤正误，再计算根号内的除法判断小丽的步骤正误，接着对二次根式化简判断小红的步骤正误，最后计算二次根式的结果判断小亮的步骤正误，即可得到出错的人员。
【解析】
我们逐人核对步骤的正确性：
1. 核对小明的步骤：
老师给出的原式为$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据二次根式除法的运算性质：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})÷\sqrt{c}=\sqrt{a÷ c}+\sqrt{b÷ c}$（$a≥0,b≥0,c＞0$），可得$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}$，$\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，因此小明的计算正确。
2. 核对小丽的步骤：
小明给出的式子为$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，计算根号内的除法：$\frac{1}{18}÷3=\frac{1}{18}×\frac{1}{3}=\frac{1}{54}$，正确结果应为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$，但小丽得到$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，计算错误，因此小丽出错。
3. 核对小红的步骤：
小丽给出的式子为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，其中$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{\frac{1}{6}}$化简后为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，正确结果应为$2+\frac{\sqrt{6}}{6}$，但小红得到$2+\sqrt{\frac{1}{36}}$，化简错误，因此小红出错。
4. 核对小亮的步骤：
小红给出的式子为$2+\sqrt{\frac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$，计算可得$2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$，因此小亮的计算正确。
综上，出错的是小丽和小红，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式除法运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题考查二次根式混合运算的规范性，需要熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法，易错点是进行根号内除法计算和二次根式分母有理化时容易出现计算错误。
【难度系数】
0.6

2[2025河南鹤壁质检,中]张老师在黑板上出了一道计算题:$(3-\sqrt{6}) \circ (\sqrt{6}+3)$,要求同学们在“○”中填入适当的运算符号,使得计算结果是有理数,“○”中可以填的符号是 ()

A.$×$或$÷$
B.$+$或$÷$
C.$+$或$×$
D.$-$或$×$

思路分析：分别利用平方差公式、完全平方公式和分母有理化以及合并同类二次根式计算出“○”中填入不同符号的结果,然后根据计算结果进行判断即可. 当“○”中填的符号是$×$时, $(3-\sqrt{6})×(\sqrt{6}+3)=9-6=3$; 当“○”中填的符号是$÷$时, $(3-\sqrt{6})÷(\sqrt{6}+3)=\frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{6}+3}=\frac{(3-\sqrt{6})^2}{(3+\sqrt{6})×(3-\sqrt{6})}=\frac{15-6\sqrt{6}}{3}=5-2\sqrt{6}$; 当“○”中填的符号是$+$时, $(3-\sqrt{6})+(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}+3=6$; 当“○”中填的符号是$-$时, $(3-\sqrt{6})-(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}-3=-2\sqrt{6}$. 因为 3 和 6 是有理数, $5-2\sqrt{6},-2\sqrt{6}$ 都是无理数, 所以当“○”中填的符号是$×$或$+$时, 计算结果是有理数. 故选 C.

【分析】
解决这道题可采用逐一验证的思路：依次将+、-、×、÷四个运算符号填入“○”中，按照二次根式的运算法则分别计算结果，再判断结果是否为有理数（整数和分数统称有理数，即结果不含无理数），最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们分别计算填入不同运算符号的结果：
1. 填入“+”时：
$(3-\sqrt{6})+(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}+3=6$，6是有理数，符合要求；
2. 填入“-”时：
$(3-\sqrt{6})-(\sqrt{6}+3)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}-3=-2\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$是无理数，不符合要求；
3. 填入“×”时：
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(3-\sqrt{6})×(\sqrt{6}+3)=3^2-(\sqrt{6})^2=9-6=3$，3是有理数，符合要求；
4. 填入“÷”时：
$(3-\sqrt{6})÷(\sqrt{6}+3)=\frac{3-\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$，分母有理化，分子分母同乘$3-\sqrt{6}$，得$\frac{(3-\sqrt{6})^2}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}=\frac{9-6\sqrt{6}+6}{9-6}=\frac{15-6\sqrt{6}}{3}=5-2\sqrt{6}$，$5-2\sqrt{6}$是无理数，不符合要求。
综上，填入“+”或“×”时计算结果为有理数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；有理数的概念
【点评】
本题主要考查二次根式四则运算的应用，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则、平方差公式以及分母有理化的方法，逐一验证的思路简单直接，计算时注意符号变化即可避免出错。
【难度系数】
0.7

3[2025河北邯郸调研,中]幻方是一种传统游戏,类比幻方,我们给出如图所示的方格,要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,则$(A+B)·D+C$的值为.

关键点拨：根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等分别求出 $A,B,C,D$ 的值是解题的关键. 因为方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等, 所以 $A=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{5×\sqrt{2}}=2\sqrt{5}$, $B=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{10×\sqrt{10}}=1$, $C=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{5×\sqrt{10}}=2$, $D=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}×5\sqrt{2}}{10×\sqrt{2}}=\sqrt{5}$, 所以 $(A+B) · D + C = (2\sqrt{5}+1)×\sqrt{5} +2=10+\sqrt{5}+2=12+\sqrt{5}$. 故答案为 $12+\sqrt{5}$.

【分析】
首先，我们先利用已知全部数字的第一行计算出横向、纵向及对角线的公共乘积，这是解题的核心基础。随后，对每个未知数A、B、C、D，我们可以用公共乘积除以它所在行（或列、对角线）另外两个已知数的乘积，即可求出每个未知数的取值。最后将求出的A、B、C、D代入目标代数式，按照二次根式混合运算的规则计算就能得到结果。
【解析】
第一步：计算公共乘积
观察第一行的三个已知数$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$5\sqrt{2}$，它们的乘积为：
$\sqrt{2} × \sqrt{10} × 5\sqrt{2} = 5 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) × \sqrt{10} = 5 × 2 × \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$
第二步：分别求A、B、C、D的值
根据公共乘积相等的规则：
$A = \frac{10\sqrt{10}}{5 × \sqrt{2}} = 2\sqrt{\frac{10}{2}} = 2\sqrt{5}$
$B = \frac{10\sqrt{10}}{10 × \sqrt{10}} = 1$
$C = \frac{10\sqrt{10}}{5 × \sqrt{10}} = 2$
$D = \frac{10\sqrt{10}}{10 × \sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$
第三步：代入目标代数式计算
$(A+B) · D + C = (2\sqrt{5} + 1) × \sqrt{5} + 2$
展开后按运算规则计算：
$= 2\sqrt{5} × \sqrt{5} + 1 × \sqrt{5} + 2$
$= 10 + \sqrt{5} + 2$
$= 12 + \sqrt{5}$
【答案】
$12+\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，新定义运算
【点评】
本题结合幻方的趣味背景考查二次根式的混合运算，解题的关键是先求出各行各列的公共乘积，再逐一求解未知量，运算过程中要注意二次根式化简的准确性，遵守运算顺序。
【难度系数】
0.6

4[2026湖北武汉质检,中]已知 $x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$, 则 $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=$ .

因为 $x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$, 所以 $x+y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{7}$, $xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}·\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}$, 所以 $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{y}{\sqrt{xy}}+\frac{x}{\sqrt{xy}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{14}$. 故答案为 $\sqrt{14}$.

【分析】
观察已知的x、y为共轭二次根式，直接代入待求式计算过程繁琐，因此优先考虑先计算简便易得的x+y与xy的值；同时可判断x、y均为正数，因此可将待求的$\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}$化简为用x+y和xy表示的形式，最后整体代入数值计算即可，能大幅降低运算难度。
【解析】
解：已知$x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}, y=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$，
先计算$x+y$：
$x+y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\frac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$，
再利用平方差公式计算$xy$：
$xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}=\frac{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}{4}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$，
因为$x＞0,y＞0$，对待求式化简：
$\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$，
将$x+y=\sqrt{7}$，$xy=\frac{1}{2}$代入得：
原式$=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\sqrt{7×2}=\sqrt{14}$。
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的混合运算，整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，解题核心是利用共轭根式的特点先求出x+y与xy的值，再将待求式合理变形后整体代入计算，避免了直接代入的繁琐运算，是二次根式求值类题的常用解题思路。
【难度系数】
0.6

5[2025广东深圳调研,中]数学课上,同学们对王老师黑板上的题很感兴趣,他们答案都不同,且众说纷纭.题目如下:化简:$\sqrt{\dfrac{a}{bc}}+\sqrt{\dfrac{b}{ca}}+\sqrt{\dfrac{c}{ab}}$.
①小浩说:当$a,b,c$皆为正数时,化简结果为$\dfrac{a+b+c}{abc}\sqrt{abc}$;②小特说:当$a,b,c$皆为负数时,化简结果为$\dfrac{b-c-a}{abc}\sqrt{abc}$;③小凌说:当$a＜0,b＞0,c＜0$时,化简结果为$\dfrac{b-a-c}{abc}\sqrt{abc}$;④小斯说:当$a＞0,b＜0,c＜0$时,化简结果为$\dfrac{a-c-b}{abc}\sqrt{abc}$.以上同学的说法正确的是(填序号).

①当 $a,b,c$ 皆为正数时, 原式 $=\sqrt{\frac{a^2}{abc}}+\sqrt{\frac{b^2}{abc}}+\sqrt{\frac{c^2}{abc}}=\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{c}{\sqrt{abc}}=\frac{a+b+c}{abc}\sqrt{abc}$, 故①正确. ②当 $a,b,c$ 皆为负数时, $\frac{a}{bc}＜0$, 所以 $\sqrt{\frac{a}{bc}}$ 无意义, 故②错误. ③当 $a＜0,b＞0,c＜0$ 时, 原式 $=\sqrt{\frac{a^2}{abc}}+\sqrt{\frac{b^2}{abc}}+\sqrt{\frac{c^2}{abc}}=\frac{-a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b-a-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b-a-c}{abc}\sqrt{abc}$, 故③正确. ④当 $a＞0,b＜0,c＜0$ 时, 原式 $=\sqrt{\frac{a^2}{abc}}+\sqrt{\frac{b^2}{abc}}+\sqrt{\frac{c^2}{abc}}=\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{-b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{a-b-c}{\sqrt{abc}}=\frac{a-b-c}{abc}\sqrt{abc}$, 故④正确. 综上, ①③④正确. 故答案为①③④.

【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，再利用二次根式的性质$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（$x≥0,y＞0$）和$\sqrt{x^2}=|x|$进行化简：第一步先对每个待化简的二次根式进行通分变形，将被开方数的分母统一为$abc$；第二步根据题目给出的$a,b,c$的正负性，先判断被开方数是否非负，排除无意义的情况；第三步去绝对值符号，合并同类二次根式；第四步将分母有理化，把结果和四位同学的结论比对即可判断正误。
【解析】
我们分四种情况逐一分析：
1. 当$a,b,c$皆为正数时：
原式可变形为$\sqrt{\frac{a^2}{abc}}+\sqrt{\frac{b^2}{abc}}+\sqrt{\frac{c^2}{abc}}$，因为$a,b,c$均为正，所以$\sqrt{a^2}=a,\sqrt{b^2}=b,\sqrt{c^2}=c$，化简得$\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{c}{\sqrt{abc}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}$，分母有理化后得$\frac{a+b+c}{abc}\sqrt{abc}$，故①正确。
2. 当$a,b,c$皆为负数时：
$bc=(-)×(-)=+$，则$\frac{a}{bc}=\frac{(-)}{+}＜0$，二次根式被开方数为负数，无意义，故②错误。
3. 当$a＜0,b＞0,c＜0$时：
$abc=(-)×(+)×(-)=+＞0$，被开方数均为正，有意义。此时$\sqrt{a^2}=|a|=-a,\sqrt{b^2}=b,\sqrt{c^2}=|c|=-c$，原式化简为$\frac{-a}{\sqrt{abc}}+\frac{b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{b-a-c}{\sqrt{abc}}$，分母有理化后得$\frac{b-a-c}{abc}\sqrt{abc}$，故③正确。
4. 当$a＞0,b＜0,c＜0$时：
$abc=(+)×(-)×(-)=+＞0$，被开方数均为正，有意义。此时$\sqrt{a^2}=a,\sqrt{b^2}=|b|=-b,\sqrt{c^2}=|c|=-c$，原式化简为$\frac{a}{\sqrt{abc}}+\frac{-b}{\sqrt{abc}}+\frac{-c}{\sqrt{abc}}=\frac{a-b-c}{\sqrt{abc}}$，分母有理化后得$\frac{a-b-c}{abc}\sqrt{abc}$，故④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题考查二次根式的分类化简问题，解题的易错点在于容易忽略二次根式有意义的前提，以及去绝对值时符号判断错误，需要结合给定的字母正负性逐步推导，不要盲目套公式。
【难度系数】
0.6

6[2025 山东济南质检,中]阅读下面的计算过程:
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1×(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{1×(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2$。
请解答下列问题.
(1)根据上面的规律,请直接写出计算结果:
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=$.(n≥1,且n为正整数)
(2)利用上面的解法,请化简:$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$.
(3)你能化简$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$(n≥1,且n为正整数)吗?若能,请写出化简过程.

(1) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. 故答案为 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
(2) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1=10-1=9$.
(3) 能. $\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{1×(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.

【分析】
解题思路如下：
1. 解答第(1)问：观察给出的计算示例，均是利用平方差公式对分母有理化，即给分子分母同乘分母的共轭二次根式，消去分母中的根号。对于$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，给分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母可化为$(n+1)-n=1$，即可直接得出结果。
2. 解答第(2)问：利用第(1)问得出的规律，把每一项分式拆成两个二次根式的差，会发现相邻两项的中间部分可以相互抵消，仅剩下首尾两项，代入计算即可。
3. 解答第(3)问：和第(1)问原理一致，只是分母的符号是减号，因此给分子分母同乘$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$，再利用平方差公式化简即可。
【解析】
(1) 根据分母有理化的方法：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1×(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$。
(2) 利用(1)的规律拆分每一项后抵消计算：
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+…+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$
$=\sqrt{100}-1=10-1=9$。
(3) 能化简，过程如下：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} = \frac{1×(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$。
【答案】
(1) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2) $9$
(3) 能，化简结果为$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题属于规律探究类的二次根式运算题，核心考查分母有理化的方法，裂项相消的思路是简化第二问求和运算的关键，能够锻炼学生的规律观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7