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1 [2025 浙江温州质检,中]下列大小关系正确的是（
A.$\sqrt{2}＞2$
B.$2\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$
C.$-\frac{\sqrt{7}}{2}＜-\frac{3}{2}$
D.$8＜\sqrt{67}$
D
）A.$\sqrt{2}＞2$
B.$2\sqrt{3}＞3\sqrt{2}$
C.$-\frac{\sqrt{7}}{2}＜-\frac{3}{2}$
D.$8＜\sqrt{67}$
答案
1. D 【解析】因为$(\sqrt{2})^2=2,2^2=4$,所以$\sqrt{2}＜2$,故选项 A 错误,不符合题意; 因为$(2\sqrt{3})^2=12,(3\sqrt{2})^2=18$,所以$(2\sqrt{3})^2＜(3\sqrt{2})^2$,所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$,故选项 B 错误,不符合题意; 因为$(\frac{\sqrt{7}}{2})^2=\frac{7}{4},(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$,所以$(\frac{\sqrt{7}}{2})^2＜(\frac{3}{2})^2$,所以$\frac{\sqrt{7}}{2}＜\frac{3}{2}$,所以$-\frac{\sqrt{7}}{2}＞-\frac{3}{2}$,故选项 C 错误,不符合题意; 因为$8^2=64,(\sqrt{67})^2=67$,所以$8^2＜(\sqrt{67})^2$,所以$8＜\sqrt{67}$,故选项 D 正确,符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
本题考查含二次根式的实数大小比较，解题优先采用平方法：对于正数，平方越大则原数越大；对于负数，需先比较绝对值大小，绝对值越大的负数本身越小。解题时逐个验证选项，对每组数分别平方，将带根号的数转化为有理数后比较大小，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 计算得$(\sqrt{2})^2=2$，$2^2=4$，由$2＜4$可得$\sqrt{2}＜2$，该选项错误；
B. 分别平方得$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$，由$12＜18$可得$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$，该选项错误；
C. 先比较绝对值的平方：$(\frac{\sqrt{7}}{2})^2=\frac{7}{4}$，$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，由$\frac{7}{4}＜\frac{9}{4}$可得$\frac{\sqrt{7}}{2}＜\frac{3}{2}$，结合负数大小比较规则（绝对值大的数更小），得$-\frac{\sqrt{7}}{2}＞-\frac{3}{2}$，该选项错误；
D. 计算得$8^2=64$，$(\sqrt{67})^2=67$，由$64＜67$可得$8＜\sqrt{67}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式大小比较、实数大小比较、平方法比较大小
【点评】
本题属于二次根式大小比较的常规题型，核心考查平方法的应用，需注意负数比较大小时不等号方向的变化，熟练掌握该方法可快速求解同类大小比较问题。
【难度系数】
0.7
本题考查含二次根式的实数大小比较，解题优先采用平方法：对于正数，平方越大则原数越大；对于负数，需先比较绝对值大小，绝对值越大的负数本身越小。解题时逐个验证选项，对每组数分别平方，将带根号的数转化为有理数后比较大小，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 计算得$(\sqrt{2})^2=2$，$2^2=4$，由$2＜4$可得$\sqrt{2}＜2$，该选项错误；
B. 分别平方得$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$，由$12＜18$可得$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$，该选项错误；
C. 先比较绝对值的平方：$(\frac{\sqrt{7}}{2})^2=\frac{7}{4}$，$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，由$\frac{7}{4}＜\frac{9}{4}$可得$\frac{\sqrt{7}}{2}＜\frac{3}{2}$，结合负数大小比较规则（绝对值大的数更小），得$-\frac{\sqrt{7}}{2}＞-\frac{3}{2}$，该选项错误；
D. 计算得$8^2=64$，$(\sqrt{67})^2=67$，由$64＜67$可得$8＜\sqrt{67}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式大小比较、实数大小比较、平方法比较大小
【点评】
本题属于二次根式大小比较的常规题型，核心考查平方法的应用，需注意负数比较大小时不等号方向的变化，熟练掌握该方法可快速求解同类大小比较问题。
【难度系数】
0.7
2[2026 安徽安庆期末, 中]比较大小:$\sqrt{2}+\sqrt{6}$
＜
$\sqrt{3}+\sqrt{5}$(填“＞”“＜”或“=”).答案
2. ＜ 【解析】$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=8+2\sqrt{12}$,$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=8+2\sqrt{15}$. 因为$\sqrt{12}＜\sqrt{15}$,所以$2\sqrt{12}＜2\sqrt{15}$, 所以$8+2\sqrt{12}＜8+2\sqrt{15}$,所以$\sqrt{2}+\sqrt{6}＜\sqrt{3}+\sqrt{5}$. 故答案为＜.
解析
【分析】
要比较两个正数$\sqrt{2}+\sqrt{6}$和$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的大小，直接计算近似值容易出现误差，我们可以利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，通过比较两个式子平方的大小推导原式的大小关系。计算平方时用完全平方公式展开化简，再比较剩余带根号部分的大小即可得出结论。
【解析】
因为$\sqrt{2}+\sqrt{6}＞0$，$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞0$，分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}$
$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$
因为被开方数越大，算术平方根越大，所以$\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，可得$2\sqrt{12}＜2\sqrt{15}$，因此$8+2\sqrt{12}＜8+2\sqrt{15}$，即$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2＜(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$。
结合正数平方越大原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+\sqrt{6}＜\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式比较大小；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式比较大小的典型题型，平方法是解决两个正二次根式和（差）比较大小的常用技巧，核心是将无理式的比较转化为更易计算的整式比较，降低运算难度，解题时需先判断式子的正负性，确保平方法适用。
【难度系数】
0.7
要比较两个正数$\sqrt{2}+\sqrt{6}$和$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的大小，直接计算近似值容易出现误差，我们可以利用“两个正数，平方越大则原数越大”的性质，通过比较两个式子平方的大小推导原式的大小关系。计算平方时用完全平方公式展开化简，再比较剩余带根号部分的大小即可得出结论。
【解析】
因为$\sqrt{2}+\sqrt{6}＞0$，$\sqrt{3}+\sqrt{5}＞0$，分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}$
$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$
因为被开方数越大，算术平方根越大，所以$\sqrt{12}＜\sqrt{15}$，可得$2\sqrt{12}＜2\sqrt{15}$，因此$8+2\sqrt{12}＜8+2\sqrt{15}$，即$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2＜(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$。
结合正数平方越大原数越大的性质，可得$\sqrt{2}+\sqrt{6}＜\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式比较大小；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式比较大小的典型题型，平方法是解决两个正二次根式和（差）比较大小的常用技巧，核心是将无理式的比较转化为更易计算的整式比较，降低运算难度，解题时需先判断式子的正负性，确保平方法适用。
【难度系数】
0.7
3[中]用作商法比较大小：$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$与$\frac{\sqrt{5}}{2}$。
答案
3.【解】$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}=\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$,所以$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
作商法比较大小的适用前提是两个待比较的数均为正数，本题中两个式子都是正数，满足作商法的使用条件。解题思路为：先计算两个数的商，再将商化简为便于和1比较的形式，若商＞1则被除数更大，若商=1则两数相等，若商＜1则除数更大。计算时先按照分式除法法则算出商，再将根号外的系数移到根号内，把商的分子转化为单个二次根式，和分母比较大小即可判断商与1的关系，最终得到两数的大小结论。
【解析】
解：
∵ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞0$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞0$，适用作商法比较大小，计算两数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$
将分子的系数移到根号内得：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2 × 7}=\sqrt{28}$
∴ 商可写为 $\frac{\sqrt{28}}{5}$
又
∵ $5=\sqrt{25}$，$\sqrt{28}＞\sqrt{25}$，即$\sqrt{28}＞5$
∴ $\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$
∴ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
作商法比较大小；二次根式化简；二次根式大小比较
【点评】
本题考查用作商法比较二次根式相关式子的大小，解题关键是明确作商法的适用前提，熟练掌握二次根式的化简方法，通过判断商和1的大小关系即可得到结论，是二次根式大小比较的基础方法类题目。
【难度系数】
0.7
作商法比较大小的适用前提是两个待比较的数均为正数，本题中两个式子都是正数，满足作商法的使用条件。解题思路为：先计算两个数的商，再将商化简为便于和1比较的形式，若商＞1则被除数更大，若商=1则两数相等，若商＜1则除数更大。计算时先按照分式除法法则算出商，再将根号外的系数移到根号内，把商的分子转化为单个二次根式，和分母比较大小即可判断商与1的关系，最终得到两数的大小结论。
【解析】
解：
∵ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞0$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞0$，适用作商法比较大小，计算两数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$
将分子的系数移到根号内得：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2 × 7}=\sqrt{28}$
∴ 商可写为 $\frac{\sqrt{28}}{5}$
又
∵ $5=\sqrt{25}$，$\sqrt{28}＞\sqrt{25}$，即$\sqrt{28}＞5$
∴ $\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$
∴ $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
作商法比较大小；二次根式化简；二次根式大小比较
【点评】
本题考查用作商法比较二次根式相关式子的大小，解题关键是明确作商法的适用前提，熟练掌握二次根式的化简方法，通过判断商和1的大小关系即可得到结论，是二次根式大小比较的基础方法类题目。
【难度系数】
0.7
4[中]比较$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$与$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$的大小.
答案
4.【解】因为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{5})-\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{\sqrt{6}}＜0$,所以$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
另解
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}÷\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}＜1$,
所以$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
关键点拨
分子、分母同乘一个式子,将分子有理化为1是解题关键.
另解
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}÷\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}＜1$,
所以$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
关键点拨
分子、分母同乘一个式子,将分子有理化为1是解题关键.
解析
【分析】
比较两个正数形式的二次根式大小，可优先选择作差法或作商法：①作差法思路：先将两个式子相减，通分后对分子进行二次根式乘法运算、化简，根据差的正负判断大小：差大于0则被减数更大，差小于0则减数更大；②作商法思路：两个正数相除，若商大于1则被除数更大，商小于1则除数更大，计算时先将除法转化为乘法，化简后判断商和1的大小即可，两种方法都需要正确运用二次根式的运算规则。
【解析】
方法一（作差法）：
对两个式子作差通分计算：
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{5})-\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$
因为$\sqrt{6}＜\sqrt{10}$，所以分子$\sqrt{6}-\sqrt{10}＜0$，分母$\sqrt{6}＞0$，可得差小于0，因此$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。
方法二（作商法）：
两个式子均为正数，作商判断大小：
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}÷\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}$
因为$\sqrt{10}＞\sqrt{6}$，所以分子$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$小于分母$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$，商小于1，因此$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式大小比较，二次根式混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用方法，作差法和作商法是实数大小比较的基础方法，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，正确化简式子后判断差的正负或商与1的大小即可得到结果。
【难度系数】
0.6
比较两个正数形式的二次根式大小，可优先选择作差法或作商法：①作差法思路：先将两个式子相减，通分后对分子进行二次根式乘法运算、化简，根据差的正负判断大小：差大于0则被减数更大，差小于0则减数更大；②作商法思路：两个正数相除，若商大于1则被除数更大，商小于1则除数更大，计算时先将除法转化为乘法，化简后判断商和1的大小即可，两种方法都需要正确运用二次根式的运算规则。
【解析】
方法一（作差法）：
对两个式子作差通分计算：
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{5})-\sqrt{3}(2-\sqrt{2})}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$
因为$\sqrt{6}＜\sqrt{10}$，所以分子$\sqrt{6}-\sqrt{10}＜0$，分母$\sqrt{6}＞0$，可得差小于0，因此$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。
方法二（作商法）：
两个式子均为正数，作商判断大小：
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}÷\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}$
因为$\sqrt{10}＞\sqrt{6}$，所以分子$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$小于分母$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$，商小于1，因此$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}＜\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式大小比较，二次根式混合运算，作差法比较大小
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用方法，作差法和作商法是实数大小比较的基础方法，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，正确化简式子后判断差的正负或商与1的大小即可得到结果。
【难度系数】
0.6
5[2025广东深圳期中,中]通过估算,比较大小：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
＞
$\frac{1}{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)答案
5. ＞ 【解析】$\sqrt{5}-1\approx2.236-1＞1$,所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$,故答案为＞.
解析
【分析】
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先可通过算术平方根的性质估算$\sqrt{5}$的取值范围，再推导$\sqrt{5}-1$和1的大小关系，即可得到两个分数的大小关系。
【解析】
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
不等式两边同时减1，得$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
不等式两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜1$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
也可通过近似值验证：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$\sqrt{5}-1\approx1.236＞1$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式相关的大小比较，解题核心是将无理数的大小比较转化为熟悉的有理数大小比较，也可采用作差法等其他方法求解，是比较大小类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先可通过算术平方根的性质估算$\sqrt{5}$的取值范围，再推导$\sqrt{5}-1$和1的大小关系，即可得到两个分数的大小关系。
【解析】
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
不等式两边同时减1，得$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
不等式两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜1$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
也可通过近似值验证：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$\sqrt{5}-1\approx1.236＞1$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式相关的大小比较，解题核心是将无理数的大小比较转化为熟悉的有理数大小比较，也可采用作差法等其他方法求解，是比较大小类的基础题型。
【难度系数】
0.7
6[2025浙江衢州期末，中] 通过估算比较大小：
$\frac{\sqrt{5}-2}{3}$
$\frac{\sqrt{5}-2}{3}$
＜
$\frac{1}{3}$；$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ ＞
1.（均填“＜”“＞”或“=”）答案
6. ＜ ＞ 【解析】因为$\sqrt{5}-2\approx2.236-2＜1$,所以$\frac{\sqrt{5}-2}{3}＜\frac{1}{3}$. 因为$\sqrt{2}+1\approx1.414+1＞2$,所以$\frac{\sqrt{2}+1}{2}＞1$,故答案为＜,＞.
解析
【分析】
要比较两个分数的大小，首先观察分母特征：第一组两个分数分母均为3，根据同分母分数大小比较规则，只需比较分子$\sqrt{5}-2$和1的大小即可；第二组可将1转化为$\frac{2}{2}$，此时两个分数分母均为2，只需比较分子$\sqrt{2}+1$和2的大小。判断含无理数的式子大小时，可通过估算无理数的近似值，或者利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质比较大小。
【解析】
1. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{3}$和$\frac{1}{3}$：
两个分数分母相同，仅需比较分子大小。
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}-2\approx2.236-2=0.236＜1$，
因此$\frac{\sqrt{5}-2}{3}＜\frac{1}{3}$。
2. 比较$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$和1：
将1变形为$\frac{2}{2}$，两个分数分母相同，仅需比较分子大小。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}+1\approx1.414+1=2.414＞2$，
因此$\frac{\sqrt{2}+1}{2}＞\frac{2}{2}=1$。
【答案】
＜；＞
【知识点】
1. 二次根式估值
2. 分数比较大小
【点评】
本题是二次根式比较大小的基础题型，解题核心是利用同分母分数比大小只需比较分子的规律，将复杂的分数比较转化为含无理数的式子大小判断，方法简单易懂，是二次根式模块的常考基础考点。
【难度系数】
0.7
要比较两个分数的大小，首先观察分母特征：第一组两个分数分母均为3，根据同分母分数大小比较规则，只需比较分子$\sqrt{5}-2$和1的大小即可；第二组可将1转化为$\frac{2}{2}$，此时两个分数分母均为2，只需比较分子$\sqrt{2}+1$和2的大小。判断含无理数的式子大小时，可通过估算无理数的近似值，或者利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质比较大小。
【解析】
1. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{3}$和$\frac{1}{3}$：
两个分数分母相同，仅需比较分子大小。
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$\sqrt{5}-2\approx2.236-2=0.236＜1$，
因此$\frac{\sqrt{5}-2}{3}＜\frac{1}{3}$。
2. 比较$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$和1：
将1变形为$\frac{2}{2}$，两个分数分母相同，仅需比较分子大小。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}+1\approx1.414+1=2.414＞2$，
因此$\frac{\sqrt{2}+1}{2}＞\frac{2}{2}=1$。
【答案】
＜；＞
【知识点】
1. 二次根式估值
2. 分数比较大小
【点评】
本题是二次根式比较大小的基础题型，解题核心是利用同分母分数比大小只需比较分子的规律，将复杂的分数比较转化为含无理数的式子大小判断，方法简单易懂，是二次根式模块的常考基础考点。
【难度系数】
0.7
7[2025浙江宁波质检,中]比较$\sqrt{37}-2$与$\sqrt{3}+2$的大小.
答案
7.【解】因为$6＜\sqrt{37}＜7$,所以$\sqrt{37}-2＞4$. 又因为$1＜\sqrt{3}＜2$,所以$\sqrt{3}+2＜4$,所以$\sqrt{37}-2＞\sqrt{3}+2$.
解析
【分析】
要比较两个带二次根式的式子的大小，可采用中间量法：先分别估算式子中无理数的取值范围，再推导两个式子的取值范围，找到合适的中间值（本题中间值为4），通过对比两个式子和中间值的大小，即可得出两个式子的大小关系。
【解析】
解：
∵$6^2=36$，$7^2=49$，$36＜37＜49$，
∴$6＜\sqrt{37}＜7$，
不等式两边同时减2，得$4＜\sqrt{37}-2＜5$，即$\sqrt{37}-2＞4$。
又
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜3＜4$，
∴$1＜\sqrt{3}＜2$，
不等式两边同时加2，得$3＜\sqrt{3}+2＜4$，即$\sqrt{3}+2＜4$。
∵$\sqrt{37}-2＞4$，$\sqrt{3}+2＜4$，
∴$\sqrt{37}-2＞\sqrt{3}+2$。
【答案】
$\sqrt{37}-2 ＞ \sqrt{3}+2$
【知识点】
无理数的估算；二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，核心考查中间量比较法，解题关键是准确估算无理数的整数范围，找到合适的中间量作为比较的桥梁，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.7
要比较两个带二次根式的式子的大小，可采用中间量法：先分别估算式子中无理数的取值范围，再推导两个式子的取值范围，找到合适的中间值（本题中间值为4），通过对比两个式子和中间值的大小，即可得出两个式子的大小关系。
【解析】
解：
∵$6^2=36$，$7^2=49$，$36＜37＜49$，
∴$6＜\sqrt{37}＜7$，
不等式两边同时减2，得$4＜\sqrt{37}-2＜5$，即$\sqrt{37}-2＞4$。
又
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$1＜3＜4$，
∴$1＜\sqrt{3}＜2$，
不等式两边同时加2，得$3＜\sqrt{3}+2＜4$，即$\sqrt{3}+2＜4$。
∵$\sqrt{37}-2＞4$，$\sqrt{3}+2＜4$，
∴$\sqrt{37}-2＞\sqrt{3}+2$。
【答案】
$\sqrt{37}-2 ＞ \sqrt{3}+2$
【知识点】
无理数的估算；二次根式大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，核心考查中间量比较法，解题关键是准确估算无理数的整数范围，找到合适的中间量作为比较的桥梁，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.7
8[2025江苏苏州调研,较难]比较$\sqrt{623}-1$与$\sqrt{531}+1$的大小.
答案
8.【解】$\sqrt{623}-1＜\sqrt{625}-1=25-1=24$,$\sqrt{531}+1＞\sqrt{529}+1=23+1=24$,所以$\sqrt{623}-1＜\sqrt{531}+1$.
解析
【分析】
要比较两个带二次根式的式子的大小，直接计算近似值、作差或作平方运算都比较繁琐，可采用中间量法解题：先找到与两个根号内的数最接近的完全平方数，通过放缩分别估算两个式子的取值范围，再以共同的中间值为桥梁传递大小关系，就能快速得到结果。
【解析】
∵ $623 ＜ 625$，
∴ $\sqrt{623} ＜ \sqrt{625} = 25$，则$\sqrt{623} - 1 ＜ 25 - 1 = 24$；
又
∵ $531 ＞ 529$，
∴ $\sqrt{531} ＞ \sqrt{529} = 23$，则$\sqrt{531} + 1 ＞ 23 + 1 = 24$；
因此$\sqrt{623} - 1 ＜ 24 ＜ \sqrt{531} + 1$，可得$\sqrt{623} - 1 ＜ \sqrt{531} + 1$。
【答案】
$\sqrt{623}-1 ＜ \sqrt{531}+1$
【知识点】
无理数估算、放缩法、二次根式比较大小
【点评】
本题是二次根式比较大小的典型题型，核心技巧是利用相邻的完全平方数对无理数进行放缩，通过中间量传递大小关系，避免了复杂计算，能够有效考查无理数范围的估算能力和比较大小方法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
要比较两个带二次根式的式子的大小，直接计算近似值、作差或作平方运算都比较繁琐，可采用中间量法解题：先找到与两个根号内的数最接近的完全平方数，通过放缩分别估算两个式子的取值范围，再以共同的中间值为桥梁传递大小关系，就能快速得到结果。
【解析】
∵ $623 ＜ 625$，
∴ $\sqrt{623} ＜ \sqrt{625} = 25$，则$\sqrt{623} - 1 ＜ 25 - 1 = 24$；
又
∵ $531 ＞ 529$，
∴ $\sqrt{531} ＞ \sqrt{529} = 23$，则$\sqrt{531} + 1 ＞ 23 + 1 = 24$；
因此$\sqrt{623} - 1 ＜ 24 ＜ \sqrt{531} + 1$，可得$\sqrt{623} - 1 ＜ \sqrt{531} + 1$。
【答案】
$\sqrt{623}-1 ＜ \sqrt{531}+1$
【知识点】
无理数估算、放缩法、二次根式比较大小
【点评】
本题是二次根式比较大小的典型题型，核心技巧是利用相邻的完全平方数对无理数进行放缩，通过中间量传递大小关系，避免了复杂计算，能够有效考查无理数范围的估算能力和比较大小方法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
9 [2025 北京朝阳区质检,中]比较$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$与$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$的大小.
答案
9.【解】$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$,$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{7}$. 因为$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}＜\frac{7\sqrt{2}}{7}$,所以$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}＜\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$.
解析
【分析】
要比较两个含二次根式的分式的大小，直接计算近似值容易产生误差，我们可以利用八年级所学的分母有理化方法，先消去两个分式分母中的根号，转化为更简洁的形式再比较。具体思路为：第一步，分别对两个分式做分母有理化，利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（形如$a+\sqrt{b}$的有理化因式为$a-\sqrt{b}$），消去分母的根号；第二步，将化简后的两个数转化为同分母形式，根据“分母相同，分子大的数更大”的规则比较分子大小，即可得出两个原式的大小关系。
【解析】
先对第一个分式分母有理化：
$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$
分母利用平方差公式计算：$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$
分子展开计算：$(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}+1$
因此$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$。
再对第二个分式分母有理化：
$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
分母利用平方差公式计算：$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
分子展开计算：$(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
因此$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{7}$。
比较两个同分母分数的分子：$2\sqrt{2}+1＜7\sqrt{2}$，因此$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}＜\frac{7\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} ＜ \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式大小比较
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型习题，核心解题思路是通过分母有理化将形式复杂的含二次根式的分式转化为便于比较的简化形式，解题过程中需要熟练运用平方差公式，注意分子展开计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.6
要比较两个含二次根式的分式的大小，直接计算近似值容易产生误差，我们可以利用八年级所学的分母有理化方法，先消去两个分式分母中的根号，转化为更简洁的形式再比较。具体思路为：第一步，分别对两个分式做分母有理化，利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的有理化因式（形如$a+\sqrt{b}$的有理化因式为$a-\sqrt{b}$），消去分母的根号；第二步，将化简后的两个数转化为同分母形式，根据“分母相同，分子大的数更大”的规则比较分子大小，即可得出两个原式的大小关系。
【解析】
先对第一个分式分母有理化：
$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$
分母利用平方差公式计算：$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$
分子展开计算：$(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}+1$
因此$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{7}$。
再对第二个分式分母有理化：
$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
分母利用平方差公式计算：$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
分子展开计算：$(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
因此$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}}{7}$。
比较两个同分母分数的分子：$2\sqrt{2}+1＜7\sqrt{2}$，因此$\frac{2\sqrt{2}+1}{7}＜\frac{7\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
$\frac{1+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} ＜ \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式大小比较
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型习题，核心解题思路是通过分母有理化将形式复杂的含二次根式的分式转化为便于比较的简化形式，解题过程中需要熟练运用平方差公式，注意分子展开计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.6
10 [2025 河南郑州期末,中]比较$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}$与$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}$的大小.
答案
10.【解】因为$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3\sqrt{2}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\frac{1}{6\sqrt{6}+3\sqrt{22}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}$,$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}=\frac{1}{6\sqrt{6}+2\sqrt{51}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$,$\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}＞\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$, 所以$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}＞\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}$.
解析
【分析】
要比较两个分子均为两个二次根式的差的二次根式的大小，直接计算近似值误差大且计算繁琐，可采用分子有理化的思路：利用平方差公式，给两个分数的分子、分母同时乘分子的有理化因式，将两个式子的分子都转化为1；此时两个分数分子相同，只需比较分母的大小，根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”的规律，就能得出两个原式的大小关系。
【解析】
先对第一个式子进行分子有理化：
$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{11})(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3\sqrt{2}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\frac{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{11})^2}{3\sqrt{2}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\frac{12-11}{6\sqrt{6}+3\sqrt{22}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{3^2×22}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}$
再对第二个式子进行分子有理化：
$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{17})(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}{2\sqrt{3}(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}=\frac{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{17})^2}{2\sqrt{3}(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}=\frac{18-17}{6\sqrt{6}+2\sqrt{51}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{2^2×51}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$
因为$6\sqrt{6}+\sqrt{198}＜6\sqrt{6}+\sqrt{204}$，分子相同的正分数分母越小值越大，因此$\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}＞\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}＞\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}$
【知识点】
分子有理化，二次根式化简，分数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型中档题，分子有理化是解决“分子为两个二次根式作差”类大小比较问题的常用技巧，通过将分子转化为相同常数，大幅降低了比较的难度，该方法在二次根式化简、求值类题型中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要比较两个分子均为两个二次根式的差的二次根式的大小，直接计算近似值误差大且计算繁琐，可采用分子有理化的思路：利用平方差公式，给两个分数的分子、分母同时乘分子的有理化因式，将两个式子的分子都转化为1；此时两个分数分子相同，只需比较分母的大小，根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”的规律，就能得出两个原式的大小关系。
【解析】
先对第一个式子进行分子有理化：
$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{11})(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}{3\sqrt{2}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\frac{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{11})^2}{3\sqrt{2}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}=\frac{12-11}{6\sqrt{6}+3\sqrt{22}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{3^2×22}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}$
再对第二个式子进行分子有理化：
$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}=\frac{(3\sqrt{2}-\sqrt{17})(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}{2\sqrt{3}(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}=\frac{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{17})^2}{2\sqrt{3}(3\sqrt{2}+\sqrt{17})}=\frac{18-17}{6\sqrt{6}+2\sqrt{51}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{2^2×51}}=\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$
因为$6\sqrt{6}+\sqrt{198}＜6\sqrt{6}+\sqrt{204}$，分子相同的正分数分母越小值越大，因此$\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{198}}＞\frac{1}{6\sqrt{6}+\sqrt{204}}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}{3\sqrt{2}}＞\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}$
【知识点】
分子有理化，二次根式化简，分数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型中档题，分子有理化是解决“分子为两个二次根式作差”类大小比较问题的常用技巧，通过将分子转化为相同常数，大幅降低了比较的难度，该方法在二次根式化简、求值类题型中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
11 [2025 四川成都期末, 中]比较$\sqrt{2009} - \sqrt{2008}$与$\sqrt{2008} - \sqrt{2007}$的大小.
答案
11.【解】因为$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}=\sqrt{2009}+\sqrt{2008}$,$\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}=\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$,$\sqrt{2009}+\sqrt{2008}＞\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$, 所以$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}＞\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}$, 所以$\sqrt{2009}-\sqrt{2008}＜\sqrt{2008}-\sqrt{2007}$.
解析
【分析】要比较两个均为二次根式差的式子的大小，直接估算数值误差大且计算繁琐，观察发现两个式子中被开方数都相差1，可采用倒数比较法：对于正数a、b，若$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，则$a＜b$。首先对两个式子分别求倒数，再通过分母有理化将倒数转化为二次根式相加的形式，比较倒数的大小后，即可反推原式的大小。
【解析】首先判断两个式子均为正数，分别对两式求倒数并做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}=\frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}{(\sqrt{2009}-\sqrt{2008})(\sqrt{2009}+\sqrt{2008})}=\frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}{2009-2008}=\sqrt{2009}+\sqrt{2008}$
同理可得：
$\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}=\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$
比较两个倒数的大小：$\sqrt{2009}+\sqrt{2008}＞\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$，即$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}＞\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}$
因为两个原式都是正数，正数的倒数越大，原数越小，因此可得原式的大小关系。
【答案】$\sqrt{2009}-\sqrt{2008}＜\sqrt{2008}-\sqrt{2007}$
【知识点】二次根式比较大小，分母有理化，倒数比较法
【点评】本题是二次根式大小比较的典型题型，当遇到被开方数差为定值的两个二次根式作差的比较问题时，直接计算难度大，采用倒数法结合分母有理化可快速简化运算，是二次根式大小比较的常用技巧。
【难度系数】0.6
【解析】首先判断两个式子均为正数，分别对两式求倒数并做分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}=\frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}{(\sqrt{2009}-\sqrt{2008})(\sqrt{2009}+\sqrt{2008})}=\frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}{2009-2008}=\sqrt{2009}+\sqrt{2008}$
同理可得：
$\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}=\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$
比较两个倒数的大小：$\sqrt{2009}+\sqrt{2008}＞\sqrt{2008}+\sqrt{2007}$，即$\frac{1}{\sqrt{2009}-\sqrt{2008}}＞\frac{1}{\sqrt{2008}-\sqrt{2007}}$
因为两个原式都是正数，正数的倒数越大，原数越小，因此可得原式的大小关系。
【答案】$\sqrt{2009}-\sqrt{2008}＜\sqrt{2008}-\sqrt{2007}$
【知识点】二次根式比较大小，分母有理化，倒数比较法
【点评】本题是二次根式大小比较的典型题型，当遇到被开方数差为定值的两个二次根式作差的比较问题时，直接计算难度大，采用倒数法结合分母有理化可快速简化运算，是二次根式大小比较的常用技巧。
【难度系数】0.6
