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7 小明和小亮两人用如图所示的转盘(转盘被分成四个面积相等的扇形)做游戏,两人各转动转盘一次,转盘停止后记下指针指向的数(当指针恰好指在分界线上时,重转一次).若两人转得的数之和为奇数,则小明胜;若两人转得的数之和为偶数,则小亮胜.这个游戏
不公平
(填“公平”或“不公平”).答案
7. 不公平
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需先计算小明、小亮分别获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。首先明确转盘上4个数字分别为0、1、2、-2，每个数字被转到的可能性相等，先统计两人各转一次的所有等可能结果，再分别统计和为奇数、和为偶数的结果数，最后计算二者概率比较即可。
【解析】
转盘被分为4个面积相等的扇形，对应数字为0、1、2、-2，因此转动一次转盘，转到每个数字的概率相等，均为$\frac{1}{4}$。
两人各转动一次转盘，所有等可能的结果总数为$4×4=16$种。
根据有理数加法的奇偶性规律：奇数+偶数=奇数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。
已知四个数中只有1是奇数，其余3个均为偶数：
1. 小明获胜（和为奇数）的情况：需一人转到1，另一人转到偶数，共有$1×3 + 3×1=6$种，因此小明获胜的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
2. 小亮获胜（和为偶数）的情况：包括两人都转1、两人都转偶数，共有$1×1 + 3×3=10$种，因此小亮获胜的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
因为$\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，两人获胜概率不相等，所以这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断，概率计算，有理数加法奇偶性
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题核心是明确游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，计算概率时要注意分类统计结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，需先计算小明、小亮分别获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，否则不公平。首先明确转盘上4个数字分别为0、1、2、-2，每个数字被转到的可能性相等，先统计两人各转一次的所有等可能结果，再分别统计和为奇数、和为偶数的结果数，最后计算二者概率比较即可。
【解析】
转盘被分为4个面积相等的扇形，对应数字为0、1、2、-2，因此转动一次转盘，转到每个数字的概率相等，均为$\frac{1}{4}$。
两人各转动一次转盘，所有等可能的结果总数为$4×4=16$种。
根据有理数加法的奇偶性规律：奇数+偶数=奇数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。
已知四个数中只有1是奇数，其余3个均为偶数：
1. 小明获胜（和为奇数）的情况：需一人转到1，另一人转到偶数，共有$1×3 + 3×1=6$种，因此小明获胜的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
2. 小亮获胜（和为偶数）的情况：包括两人都转1、两人都转偶数，共有$1×1 + 3×3=10$种，因此小亮获胜的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
因为$\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，两人获胜概率不相等，所以这个游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
游戏公平性判断，概率计算，有理数加法奇偶性
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题核心是明确游戏公平的本质是双方获胜的概率相等，计算概率时要注意分类统计结果，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
8 [2025保定期中]小宇和小辰做游戏:小宇将他去某处名山游玩时拍的两张照片打印了出来(如图所示的甲、乙两张照片),然后把这两张照片从中间剪断,分成四张形状相同的小照片,将其混合在一起洗匀,背面朝上放置在桌面上.小宇先从这四张照片中随机抽取一张(不放回),小辰接着再随机抽取一张(设四张小照片分别用A,a,B,b表示,其中A,a或B,b均能拼成一张完整的照片).
(1) 小宇抽取的照片是甲照片上半部分的概率是
(2) 若规定:抽取的两张小照片中,能拼成一张完整的照片,则小宇获胜;否则小辰获胜.你认为这个游戏公平吗?请你用列表或画树状图的方法说明.
(1) 小宇抽取的照片是甲照片上半部分的概率是
$\frac{1}{4}$
.(2) 若规定:抽取的两张小照片中,能拼成一张完整的照片,则小宇获胜;否则小辰获胜.你认为这个游戏公平吗?请你用列表或画树状图的方法说明.
答案
8. (1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中抽取的两张小照片中,能拼成一张完整照片的结果有 4 种,$\therefore$ 小宇获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.$\therefore$ 小辰获胜的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$,$\therefore$ 这个游戏不公平
解析
【分析】
(1) 第一问为基础概率计算，首先明确总共有4种等可能的抽取结果，其中符合“抽取到甲照片上半部分”的结果仅1种，直接利用概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”即可求解。
(2) 判断游戏公平性的核心是对比双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，反之不公平。本题为不放回抽取，可通过树状图列出所有等可能的抽取结果，先统计能拼成完整照片的结果数，计算小宇获胜的概率，再推导小辰获胜的概率，对比二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 4张小照片形状相同，抽取时每张被抽到的可能性相等，其中甲照片上半部分仅有1张，因此小宇抽取的照片是甲照片上半部分的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 按照不放回抽取的规则绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共12种，其中两张照片能拼成完整照片的结果有4种，
$\therefore$ 小宇获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
小辰获胜的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$，两人获胜概率不相等，
$\therefore$ 该游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中抽取的两张小照片中,能拼成一张完整照片的结果有 4 种,$\therefore$ 小宇获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.$\therefore$ 小辰获胜的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$,$\therefore$ 这个游戏不公平
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题时需注意“不放回抽取”的条件，准确枚举所有等可能结果是计算概率的关键，判断游戏公平性的核心是对比参与双方获胜的概率是否相等。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为基础概率计算，首先明确总共有4种等可能的抽取结果，其中符合“抽取到甲照片上半部分”的结果仅1种，直接利用概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”即可求解。
(2) 判断游戏公平性的核心是对比双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，反之不公平。本题为不放回抽取，可通过树状图列出所有等可能的抽取结果，先统计能拼成完整照片的结果数，计算小宇获胜的概率，再推导小辰获胜的概率，对比二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 4张小照片形状相同，抽取时每张被抽到的可能性相等，其中甲照片上半部分仅有1张，因此小宇抽取的照片是甲照片上半部分的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 按照不放回抽取的规则绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共12种，其中两张照片能拼成完整照片的结果有4种，
$\therefore$ 小宇获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，
小辰获胜的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$，两人获胜概率不相等，
$\therefore$ 该游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 画树状图如图所示.
由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中抽取的两张小照片中,能拼成一张完整照片的结果有 4 种,$\therefore$ 小宇获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.$\therefore$ 小辰获胜的概率为$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.$\because \frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$,$\therefore$ 这个游戏不公平
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题时需注意“不放回抽取”的条件，准确枚举所有等可能结果是计算概率的关键，判断游戏公平性的核心是对比参与双方获胜的概率是否相等。
【难度系数】
0.7
9 一个不透明袋子中装有 4 个红球、3 个紫球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是
黄
色。答案
9. 黄
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近。所以第一步先观察折线统计图，确定频率最终稳定的数值；第二步计算袋子中每种颜色的球被摸出的概率；第三步将稳定频率和各概率对比，最接近的概率对应的颜色就是答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$个。
分别计算摸出每种颜色球的概率：
摸出红球的概率：$P(\mathrm{红})=\frac{4}{10}=0.4$
摸出紫球的概率：$P(\mathrm{紫})=\frac{3}{10}=0.3$
摸出黄球的概率：$P(\mathrm{黄})=\frac{2}{10}=0.2$
摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿})=\frac{1}{10}=0.1$
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该种球出现的频率逐渐稳定在0.2左右，和摸出黄球的概率一致，因此该球最有可能是黄色。
【答案】
黄
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，折线统计图
【点评】
本题是基础应用题，核心考查频率与概率的关系，只要掌握大量重复试验下频率稳定于概率的规律，结合简单的概率计算就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近。所以第一步先观察折线统计图，确定频率最终稳定的数值；第二步计算袋子中每种颜色的球被摸出的概率；第三步将稳定频率和各概率对比，最接近的概率对应的颜色就是答案。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$个。
分别计算摸出每种颜色球的概率：
摸出红球的概率：$P(\mathrm{红})=\frac{4}{10}=0.4$
摸出紫球的概率：$P(\mathrm{紫})=\frac{3}{10}=0.3$
摸出黄球的概率：$P(\mathrm{黄})=\frac{2}{10}=0.2$
摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿})=\frac{1}{10}=0.1$
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该种球出现的频率逐渐稳定在0.2左右，和摸出黄球的概率一致，因此该球最有可能是黄色。
【答案】
黄
【知识点】
用频率估计概率，概率计算，折线统计图
【点评】
本题是基础应用题，核心考查频率与概率的关系，只要掌握大量重复试验下频率稳定于概率的规律，结合简单的概率计算就能快速求解。
【难度系数】
0.8
10 一个不透明的口袋中装有1个白色、1个红色和若干个黄色的乒乓球(这些乒乓球除颜色外其余都相同),为了估计黄色乒乓球的个数,进行了摸球试验,本次试验的部分数据如下表:
摸球次数 | 15 | 80 | 180 | 600 | 1 000
摸到白色乒乓球的次数 | 5 | 21 | 39 | 150 | 250
摸到白色乒乓球的频率（结果精确到0.01） | 0.33 | 0.26 | 0.22 | 0.25 |
(1) 完成表格中所缺的部分；
(2) 试估计摸到白色乒乓球的概率及黄色乒乓球的个数；
(3) 求连续摸球2次(不放回)的结果是1红1黄的概率。
摸球次数 | 15 | 80 | 180 | 600 | 1 000
摸到白色乒乓球的次数 | 5 | 21 | 39 | 150 | 250
摸到白色乒乓球的频率（结果精确到0.01） | 0.33 | 0.26 | 0.22 | 0.25 |
(1) 完成表格中所缺的部分；
(2) 试估计摸到白色乒乓球的概率及黄色乒乓球的个数；
(3) 求连续摸球2次(不放回)的结果是1红1黄的概率。
答案
10. (1) 0.25
(2) 由题表,可估计摸到白色乒乓球的概率为0.25,$\therefore$ 共有乒乓球$1÷ 0.25=4$(个).$\therefore$ 估计黄色乒乓球的个数为$4-1-1=2$
(3) 将2个黄球分别记作黄$_1$,黄$_2$.列表如下：
| 第1个球\第2个球 | 白 | 红 | 黄$_1$ | 黄$_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | \ | (白,红) | (白,黄$_1$) | (白,黄$_2$) |
| 红 | (红,白) | \ | (红,黄$_1$) | (红,黄$_2$) |
| 黄$_1$ | (黄$_1$,白) | (黄$_1$,红) | \ | (黄$_1$,黄$_2$) |
| 黄$_2$ | (黄$_2$,白) | (黄$_2$,红) | (黄$_2$,黄$_1$) | \ |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中“1 红 1 黄”的结果有4种,$\therefore P(\mathrm{1红1黄})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
(2) 由题表,可估计摸到白色乒乓球的概率为0.25,$\therefore$ 共有乒乓球$1÷ 0.25=4$(个).$\therefore$ 估计黄色乒乓球的个数为$4-1-1=2$
(3) 将2个黄球分别记作黄$_1$,黄$_2$.列表如下：
| 第1个球\第2个球 | 白 | 红 | 黄$_1$ | 黄$_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | \ | (白,红) | (白,黄$_1$) | (白,黄$_2$) |
| 红 | (红,白) | \ | (红,黄$_1$) | (红,黄$_2$) |
| 黄$_1$ | (黄$_1$,白) | (黄$_1$,红) | \ | (黄$_1$,黄$_2$) |
| 黄$_2$ | (黄$_2$,白) | (黄$_2$,红) | (黄$_2$,黄$_1$) | \ |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中“1 红 1 黄”的结果有4种,$\therefore P(\mathrm{1红1黄})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
(1) 摸到白球的频率计算公式为“摸到白色乒乓球的次数÷摸球总次数”，代入1000次试验的对应数据计算即可补全表格；
(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的变化趋势可估计摸到白球的概率，再结合白球数量用“白球个数÷摸到白球的概率”求出总球数，减去已知的白、红球个数即可得到黄球的估计数量；
(3) 求不放回摸两次的概率，可采用列表法列举所有等可能的结果，筛选出“1红1黄”的结果数后，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 摸球1000次时，摸到白色乒乓球的频率为$\frac{250}{1000}=0.25$，因此表格空缺处填0.25；
(2) 观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.25附近，因此估计摸到白色乒乓球的概率为0.25。
已知口袋中有1个白球，因此乒乓球总个数为$1÷0.25=4$（个），
则黄色乒乓球的个数为$4-1-1=2$（个）；
(3) 将2个黄球分别记作黄$_1$、黄$_2$，不放回摸两次的所有可能结果列表如下：
| 第1个球\第2个球 | 白 | 红 | 黄$_1$ | 黄$_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | \ | (白,红) | (白,黄$_1$) | (白,黄$_2$) |
| 红 | (红,白) | \ | (红,黄$_1$) | (红,黄$_2$) |
| 黄$_1$ | (黄$_1$,白) | (黄$_1$,红) | \ | (黄$_1$,黄$_2$) |
| 黄$_2$ | (黄$_2$,白) | (黄$_2$,红) | (黄$_2$,黄$_1$) | \ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中结果为1红1黄的有4种，
因此$P(\mathrm{1红1黄})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{0.25}$
(2) 估计摸到白色乒乓球的概率为$\boxed{0.25}$，黄色乒乓球的个数为$\boxed{2}$个
(3) $\boxed{\frac{1}{3}}$
【知识点】
用频率估计概率，列表法求概率，概率计算
【点评】
本题是概率相关知识的综合应用题，先通过大量重复试验的频率估计事件概率，再结合概率公式求解未知量，最后用列举法计算不放回试验的概率，掌握概率的基础概念和列举法求概率的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 摸到白球的频率计算公式为“摸到白色乒乓球的次数÷摸球总次数”，代入1000次试验的对应数据计算即可补全表格；
(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的变化趋势可估计摸到白球的概率，再结合白球数量用“白球个数÷摸到白球的概率”求出总球数，减去已知的白、红球个数即可得到黄球的估计数量；
(3) 求不放回摸两次的概率，可采用列表法列举所有等可能的结果，筛选出“1红1黄”的结果数后，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 摸球1000次时，摸到白色乒乓球的频率为$\frac{250}{1000}=0.25$，因此表格空缺处填0.25；
(2) 观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.25附近，因此估计摸到白色乒乓球的概率为0.25。
已知口袋中有1个白球，因此乒乓球总个数为$1÷0.25=4$（个），
则黄色乒乓球的个数为$4-1-1=2$（个）；
(3) 将2个黄球分别记作黄$_1$、黄$_2$，不放回摸两次的所有可能结果列表如下：
| 第1个球\第2个球 | 白 | 红 | 黄$_1$ | 黄$_2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | \ | (白,红) | (白,黄$_1$) | (白,黄$_2$) |
| 红 | (红,白) | \ | (红,黄$_1$) | (红,黄$_2$) |
| 黄$_1$ | (黄$_1$,白) | (黄$_1$,红) | \ | (黄$_1$,黄$_2$) |
| 黄$_2$ | (黄$_2$,白) | (黄$_2$,红) | (黄$_2$,黄$_1$) | \ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中结果为1红1黄的有4种，
因此$P(\mathrm{1红1黄})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{0.25}$
(2) 估计摸到白色乒乓球的概率为$\boxed{0.25}$，黄色乒乓球的个数为$\boxed{2}$个
(3) $\boxed{\frac{1}{3}}$
【知识点】
用频率估计概率，列表法求概率，概率计算
【点评】
本题是概率相关知识的综合应用题，先通过大量重复试验的频率估计事件概率，再结合概率公式求解未知量，最后用列举法计算不放回试验的概率，掌握概率的基础概念和列举法求概率的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
