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1 小颖有一套文学名著分为上册、中册、下册，随机将它们叠放在一起，则从上到下的顺序恰好是“上册、中册、下册”的概率为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
C
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先判断三本书的所有排列顺序都是等可能出现的，接下来先求出所有可能的排列结果总数，再求出恰好为“上册、中册、下册”的结果数，最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先列举3本书所有可能的从上到下的排列顺序：
①上册、中册、下册；②上册、下册、中册；
③中册、上册、下册；④中册、下册、上册；
⑤下册、上册、中册；⑥下册、中册、上册。
共有6种等可能的结果，其中顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，掌握古典概型的概率计算方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先判断三本书的所有排列顺序都是等可能出现的，接下来先求出所有可能的排列结果总数，再求出恰好为“上册、中册、下册”的结果数，最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先列举3本书所有可能的从上到下的排列顺序：
①上册、中册、下册；②上册、下册、中册；
③中册、上册、下册；④中册、下册、上册；
⑤下册、上册、中册；⑥下册、中册、上册。
共有6种等可能的结果，其中顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果只有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，掌握古典概型的概率计算方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
2 [2025 齐齐哈尔]假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
2. D
解析
【分析】
要计算2只雏鸟都是雄鸟的概率，首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率均为$\frac{1}{2}$，且两枚卵的孵化结果互不影响。我们可以通过列举所有等可能的孵化结果，找出符合“2只都是雄鸟”的结果数，再根据等可能事件概率公式计算；也可以利用分步概率的思路，将两个独立事件的概率相乘得到结果。
【解析】
方法一：列举法
两枚鸟卵孵化的所有等可能结果为：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种，其中满足“2只雏鸟都是雄鸟”的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{1}{4}$。
方法二：分步概率计算
每枚鸟卵孵化出雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，两枚卵的孵化结果相互独立，因此2只都是雄鸟的概率为两次孵化出雄鸟概率的乘积，即$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率、列举法求概率、独立事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，考查对简单概率计算方法的掌握，只要能正确梳理所有等可能情况，或理解独立事件概率的计算逻辑，就能快速得出答案，属于概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要计算2只雏鸟都是雄鸟的概率，首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率均为$\frac{1}{2}$，且两枚卵的孵化结果互不影响。我们可以通过列举所有等可能的孵化结果，找出符合“2只都是雄鸟”的结果数，再根据等可能事件概率公式计算；也可以利用分步概率的思路，将两个独立事件的概率相乘得到结果。
【解析】
方法一：列举法
两枚鸟卵孵化的所有等可能结果为：（雌，雌）、（雌，雄）、（雄，雌）、（雄，雄），共4种，其中满足“2只雏鸟都是雄鸟”的结果只有1种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{1}{4}$。
方法二：分步概率计算
每枚鸟卵孵化出雄鸟的概率为$\frac{1}{2}$，两枚卵的孵化结果相互独立，因此2只都是雄鸟的概率为两次孵化出雄鸟概率的乘积，即$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率、列举法求概率、独立事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，考查对简单概率计算方法的掌握，只要能正确梳理所有等可能情况，或理解独立事件概率的计算逻辑，就能快速得出答案，属于概率模块的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3 [2025成都]从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
3. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路如下：首先明确从三个数中任取两个分别作为a、b，a、b是有序的，需列出所有等可能的取值组合；再根据一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0（本题所给三个数均不为0，无需额外排除），二是判别式Δ=b²-4ac≥0（本题中c=1，即b²≥4a），筛选出符合条件的组合；最后用符合条件的组合数除以总组合数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能结果，共6种：
$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共3种，故所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意a和b为有序取值，避免错算总情况数，同时要牢记一元二次方程有实根的两个隐含条件：二次项系数不为0、判别式非负。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路如下：首先明确从三个数中任取两个分别作为a、b，a、b是有序的，需列出所有等可能的取值组合；再根据一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0（本题所给三个数均不为0，无需额外排除），二是判别式Δ=b²-4ac≥0（本题中c=1，即b²≥4a），筛选出符合条件的组合；最后用符合条件的组合数除以总组合数，即可得到所求概率。
【解析】
首先列出从-1,1,2中任取两个数分别作为a、b的所有等可能结果，共6种：
$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$，逐个验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 - 4×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 - 4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共3种，故所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意a和b为有序取值，避免错算总情况数，同时要牢记一元二次方程有实根的两个隐含条件：二次项系数不为0、判别式非负。
【难度系数】
0.6
4 [2025福建]在分别写有－1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，则这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
4. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路可分为三步：第一步，明确抽样规则是不放回抽取两张卡片，先列举出所有等可能的抽取结果；第二步，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），找出符合条件的抽取结果；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终结果。
【解析】
解：采用列举法列出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果（不考虑抽取顺序）：
①抽取-1和1；②抽取-1和2；③抽取1和2，共3种等可能的结果。
根据相反数的定义，只有-1和1互为相反数，因此符合条件的结果只有1种。
由概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片的数互为相反数})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算 2. 相反数定义 3. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查基础概率的计算方法，解题的关键是准确列举所有不放回抽取的等可能结果，同时牢记相反数的概念，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路可分为三步：第一步，明确抽样规则是不放回抽取两张卡片，先列举出所有等可能的抽取结果；第二步，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），找出符合条件的抽取结果；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终结果。
【解析】
解：采用列举法列出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果（不考虑抽取顺序）：
①抽取-1和1；②抽取-1和2；③抽取1和2，共3种等可能的结果。
根据相反数的定义，只有-1和1互为相反数，因此符合条件的结果只有1种。
由概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片的数互为相反数})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率计算 2. 相反数定义 3. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查基础概率的计算方法，解题的关键是准确列举所有不放回抽取的等可能结果，同时牢记相反数的概念，避免出现计数错误。
【难度系数】
0.8
5一个盒子中装有两个红球、一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸出的球的颜色能配成紫色（红色与蓝色能配成紫色）的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
5. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题为有放回的两步随机摸球问题，可通过列举法计算概率。解题思路：首先明确两次摸球相互独立，所有结果等可能，先计算两次摸球的总等可能结果数，再找出能配成紫色（即两次摸球为一红一蓝，包含先红后蓝、先蓝后红两种情况）的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，盒子中共有4个球，摸出球后放回再摸第二次，因此两次摸球的所有等可能结果总数为：$4 × 4 = 16$种。
能配成紫色的情况为两次摸出一红一蓝，分两类：
1. 第一次摸红球，第二次摸蓝球：红球共2个，蓝球共1个，该类结果有 $2 × 1 = 2$种；
2. 第一次摸蓝球，第二次摸红球：蓝球共1个，红球共2个，该类结果有 $1 × 2 = 2$种。
因此符合条件的结果共有 $2 + 2 = 4$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{配成紫色})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
放回事件概率计算，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题的易错点是容易漏掉“先蓝后红”的情况，导致计算结果偏小，做题时要注意分类列举所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题为有放回的两步随机摸球问题，可通过列举法计算概率。解题思路：首先明确两次摸球相互独立，所有结果等可能，先计算两次摸球的总等可能结果数，再找出能配成紫色（即两次摸球为一红一蓝，包含先红后蓝、先蓝后红两种情况）的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
解：由题意可知，盒子中共有4个球，摸出球后放回再摸第二次，因此两次摸球的所有等可能结果总数为：$4 × 4 = 16$种。
能配成紫色的情况为两次摸出一红一蓝，分两类：
1. 第一次摸红球，第二次摸蓝球：红球共2个，蓝球共1个，该类结果有 $2 × 1 = 2$种；
2. 第一次摸蓝球，第二次摸红球：蓝球共1个，红球共2个，该类结果有 $1 × 2 = 2$种。
因此符合条件的结果共有 $2 + 2 = 4$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{配成紫色})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
放回事件概率计算，列举法求概率，概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题的易错点是容易漏掉“先蓝后红”的情况，导致计算结果偏小，做题时要注意分类列举所有符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6 [2025 长春]长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名.如图，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A，B，C三个出口中随机选择一个出口驶出.求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率.
答案
6. 列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知,共有 9 种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有 3 种,$\therefore$ 甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知,共有 9 种等可能的结果,其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有 3 种,$\therefore$ 甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两车选择出口是相互独立的，每辆车都有A、B、C共3种选择，总共有有限种等可能的结果，适合用列表法列举所有情况；接下来找出甲、乙选择同一出口的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
通过列表法列举甲、乙两车选择出口的所有可能结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种，因此甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式求解，掌握列表法或树状图法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两车选择出口是相互独立的，每辆车都有A、B、C共3种选择，总共有有限种等可能的结果，适合用列表法列举所有情况；接下来找出甲、乙选择同一出口的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
通过列表法列举甲、乙两车选择出口的所有可能结果：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种，因此甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是通过列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，再结合概率公式求解，掌握列表法或树状图法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
