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9 有四张正面分别标有“平行四边形”“对角线相等”“对角线平分”“对角线垂直”的不透明卡片，它们除文字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记录好该卡片上的文字，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，则抽到的两张卡片上的文字恰好能使一个四边形为矩形的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
9. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先明确抽取规则，本次是有放回的两次抽取，所以需要先计算所有等可能的总结果数；第二步回忆矩形的判定定理，梳理哪两个条件组合可以判定一个四边形是矩形；第三步统计符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：四张卡片有放回地抽取两次，所有等可能的结果共有 $4×4=16$ 种。
根据矩形的判定定理，满足条件的两张卡片组合有：
1. 平行四边形 + 对角线相等，可判定为矩形，对应抽取结果为（平行四边形，对角线相等）、（对角线相等，平行四边形），共2种；
2. 对角线相等 + 对角线平分，可判定为矩形，对应抽取结果为（对角线相等，对角线平分）、（对角线平分，对角线相等），共2种。
因此符合条件的结果共有 $2+2=4$ 种。
故所求概率 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
矩形的判定；等可能事件概率计算；放回抽样
【点评】
本题是概率与几何判定的综合题，既考查对矩形判定定理的掌握程度，也考查有放回抽取类概率的计算方法，解题时要注意抽取的顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步先明确抽取规则，本次是有放回的两次抽取，所以需要先计算所有等可能的总结果数；第二步回忆矩形的判定定理，梳理哪两个条件组合可以判定一个四边形是矩形；第三步统计符合条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：四张卡片有放回地抽取两次，所有等可能的结果共有 $4×4=16$ 种。
根据矩形的判定定理，满足条件的两张卡片组合有：
1. 平行四边形 + 对角线相等，可判定为矩形，对应抽取结果为（平行四边形，对角线相等）、（对角线相等，平行四边形），共2种；
2. 对角线相等 + 对角线平分，可判定为矩形，对应抽取结果为（对角线相等，对角线平分）、（对角线平分，对角线相等），共2种。
因此符合条件的结果共有 $2+2=4$ 种。
故所求概率 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
矩形的判定；等可能事件概率计算；放回抽样
【点评】
本题是概率与几何判定的综合题，既考查对矩形判定定理的掌握程度，也考查有放回抽取类概率的计算方法，解题时要注意抽取的顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
10 如图,在$3×3$的方格纸中,点$A,B,C,D,E$分别位于格点上.
(1)从$A,D,E$三点中任意取一点,以所取的这一点及$B,C$为顶点画三角形,则所画三角形是直角三角形的概率为________;
(2)从$A,D,E$三点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及$B,C$为顶点画四边形,用画树状图或列表的方法求所画四边形是平行四边形的概率.
(1)从$A,D,E$三点中任意取一点,以所取的这一点及$B,C$为顶点画三角形,则所画三角形是直角三角形的概率为________;
(2)从$A,D,E$三点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及$B,C$为顶点画四边形,用画树状图或列表的方法求所画四边形是平行四边形的概率.
答案
10. (1) $\frac{2}{3}$ (2) 画树状图如图所示.
由图,可知共有6种等可能的结果,其中所画四边形是平行四边形的结果有2种,$\therefore$ 所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$解析
【分析】
(1) 首先明确从A、D、E三点任取一点共有3种等可能情况，再结合勾股定理及其逆定理，分别判断每个点与B、C组成的三角形是否为直角三角形，统计符合要求的情况数后用概率公式计算即可。
(2) 本题是不放回的两步概率试验，先通过树状图列出所有等可能的结果，再根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定规则，找出能和B、C组成平行四边形的两点组合，统计符合条件的结果数后代入概率公式求解。
【解析】
(1) 设每个小方格的边长为1，从A、D、E三点中任取一点，共3种等可能的结果：
① 取点A时，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，△ABC是直角三角形，符合要求；
② 取点D时，由勾股定理得$BD^2=1^2+1^2=2$，$CD^2=1^2+1^2=2$，$BC^2=2^2=4$，满足$BD^2+CD^2=BC^2$，故△BCD是直角三角形，符合要求；
③ 取点E时，由勾股定理得$BE^2=3^2+1^2=10$，$CE^2=1^2+1^2=2$，$BC^2=4$，$CE^2+BC^2≠BE^2$，故△BCE不是直角三角形，不符合要求。
综上，符合条件的结果共2种，所求概率为$\frac{2}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果：(A,D)、(A,E)、(D,A)、(D,E)、(E,A)、(E,D)。
当取点D和E时，DE与BC平行，且长度都为2，因此四边形BCED是平行四边形，对应符合条件的结果为(D,E)、(E,D)，共2种。
因此所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) 画树状图如图所示. 由图,可知共有6种等可能的结果,其中所画四边形是平行四边形的结果有2种,$\therefore$ 所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【知识点】
勾股定理逆定理，平行四边形判定，概率计算
【点评】
本题是概率与几何判定的综合题，既需要熟练掌握直角三角形、平行四边形的判定方法，也需要准确区分不放回试验的所有等可能结果，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确从A、D、E三点任取一点共有3种等可能情况，再结合勾股定理及其逆定理，分别判断每个点与B、C组成的三角形是否为直角三角形，统计符合要求的情况数后用概率公式计算即可。
(2) 本题是不放回的两步概率试验，先通过树状图列出所有等可能的结果，再根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定规则，找出能和B、C组成平行四边形的两点组合，统计符合条件的结果数后代入概率公式求解。
【解析】
(1) 设每个小方格的边长为1，从A、D、E三点中任取一点，共3种等可能的结果：
① 取点A时，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，△ABC是直角三角形，符合要求；
② 取点D时，由勾股定理得$BD^2=1^2+1^2=2$，$CD^2=1^2+1^2=2$，$BC^2=2^2=4$，满足$BD^2+CD^2=BC^2$，故△BCD是直角三角形，符合要求；
③ 取点E时，由勾股定理得$BE^2=3^2+1^2=10$，$CE^2=1^2+1^2=2$，$BC^2=4$，$CE^2+BC^2≠BE^2$，故△BCE不是直角三角形，不符合要求。
综上，符合条件的结果共2种，所求概率为$\frac{2}{3}$。
(2) 画树状图如下：
由树状图可得，共有6种等可能的结果：(A,D)、(A,E)、(D,A)、(D,E)、(E,A)、(E,D)。
当取点D和E时，DE与BC平行，且长度都为2，因此四边形BCED是平行四边形，对应符合条件的结果为(D,E)、(E,D)，共2种。
因此所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) 画树状图如图所示.
由图,可知共有6种等可能的结果,其中所画四边形是平行四边形的结果有2种,$\therefore$ 所画四边形是平行四边形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$【知识点】
勾股定理逆定理，平行四边形判定，概率计算
【点评】
本题是概率与几何判定的综合题，既需要熟练掌握直角三角形、平行四边形的判定方法，也需要准确区分不放回试验的所有等可能结果，考查了综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
11 [2025 广元]某校八年级学生报名参加某研学基地的A,B,C,D,E五类研学项目(每名学生必须填报一项,且只能填报一项).为了解学生的报名情况,随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计,并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:
（1）抽取的学生人数是
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数；
（3）若甲、乙两名学生分别从A,B,C三类研学项目中选择一类填报(他们填报任意一类研学项目的可能性相同),请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人填报同一研学项目的概率.
（1）抽取的学生人数是
50
,扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是$72°$
,补全条形统计图；（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数；
（3）若甲、乙两名学生分别从A,B,C三类研学项目中选择一类填报(他们填报任意一类研学项目的可能性相同),请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人填报同一研学项目的概率.
答案
11. (1) 50 $72°$ 补全条形统计图如图所示
(2) $400×\frac{10}{50}=80$(名),$\therefore$ 估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有80名 (3) 列表如下：| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人填报同一研学项目的结果有3种,$\therefore$ 甲、乙两人填报同一研学项目的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
首先，解题的突破口是结合条形统计图中B类的人数和扇形统计图中B类的占比，求出抽取的总人数，这是解决后续问题的基础。①第一问：总人数=B类人数÷B类对应占比，再用总人数减去已知四类的人数得到C类人数，即可补全条形统计图；D类对应圆心角=（D类人数÷总人数）×360°。②第二问：利用样本估计总体的思想，用总人数乘样本中C类人数的占比，即可得到全校填报C类的人数估计值。③第三问：用列表法列出甲、乙两人选择的所有等可能结果，再找出两人填报同一项目的结果数，利用概率公式计算即可。
【解析】
（1）由条形图可知B类有16人，扇形图显示B类占32%，因此抽取的学生总人数为：$16÷32\%=50$（人）。
C类的人数为：$50-8-16-10-6=10$（人），据此补全条形统计图。
D类所对应扇形的圆心角度数为：$\frac{10}{50}×360°=72°$。
（2）样本中填报C类的占比为$\frac{10}{50}$，因此该校400名八年级学生中填报C类的人数估计为：$400×\frac{10}{50}=80$（名）。
（3）列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一研学项目的结果有3种，因此所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 50；$72°$；补全条形统计图如图所示
(2) 估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有80名
(3) 甲、乙两人填报同一研学项目的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
条形与扇形统计图；用样本估计总体；列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合题型，考查了学生对统计图表的信息读取能力、数据运算处理能力以及概率计算的基础应用，是考试中的常见考法，需要学生熟练掌握统计和概率的基础方法。
【难度系数】
0.7
首先，解题的突破口是结合条形统计图中B类的人数和扇形统计图中B类的占比，求出抽取的总人数，这是解决后续问题的基础。①第一问：总人数=B类人数÷B类对应占比，再用总人数减去已知四类的人数得到C类人数，即可补全条形统计图；D类对应圆心角=（D类人数÷总人数）×360°。②第二问：利用样本估计总体的思想，用总人数乘样本中C类人数的占比，即可得到全校填报C类的人数估计值。③第三问：用列表法列出甲、乙两人选择的所有等可能结果，再找出两人填报同一项目的结果数，利用概率公式计算即可。
【解析】
（1）由条形图可知B类有16人，扇形图显示B类占32%，因此抽取的学生总人数为：$16÷32\%=50$（人）。
C类的人数为：$50-8-16-10-6=10$（人），据此补全条形统计图。
D类所对应扇形的圆心角度数为：$\frac{10}{50}×360°=72°$。
（2）样本中填报C类的占比为$\frac{10}{50}$，因此该校400名八年级学生中填报C类的人数估计为：$400×\frac{10}{50}=80$（名）。
（3）列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一研学项目的结果有3种，因此所求概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 50；$72°$；补全条形统计图如图所示
(2) 估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有80名
(3) 甲、乙两人填报同一研学项目的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
条形与扇形统计图；用样本估计总体；列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合题型，考查了学生对统计图表的信息读取能力、数据运算处理能力以及概率计算的基础应用，是考试中的常见考法，需要学生熟练掌握统计和概率的基础方法。
【难度系数】
0.7
