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11 盒子中装有形状、大小完全相同的3个球，球上分别标有数－1,1,2，从中随机取出1个球，其上的数记为k，放回后摇匀，再取出1个球，其上的数记为b，则函数$y=kx+b$的函数值随x的增大而增大的概率为 （
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{1}{16}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
）A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{1}{16}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
11. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先回忆一次函数的增减性规律，明确y随x增大而增大的核心条件是k＞0，b的取值不影响增减性；第二步，判断抽取方式是有放回抽样，计算所有等可能的总结果数；第三步，统计满足k＞0的结果数量；第四步，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算最终概率。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+b$，当$k＞0$时，函数值随$x$的增大而增大，$b$的取值不影响函数的增减性。
本次抽取为有放回抽取，第一次取$k$有3种等可能结果，第二次取$b$有3种等可能结果，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果。
满足$k＞0$的情况：$k$可取1、2，共2种选择，$b$可取任意数，共3种选择，因此符合条件的结果数为$2×3=6$种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质，列举法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题关键是准确掌握一次函数增减性的判断条件，再正确计算总事件和符合条件的事件数，注重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先回忆一次函数的增减性规律，明确y随x增大而增大的核心条件是k＞0，b的取值不影响增减性；第二步，判断抽取方式是有放回抽样，计算所有等可能的总结果数；第三步，统计满足k＞0的结果数量；第四步，根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算最终概率。
【解析】
解：对于一次函数$y=kx+b$，当$k＞0$时，函数值随$x$的增大而增大，$b$的取值不影响函数的增减性。
本次抽取为有放回抽取，第一次取$k$有3种等可能结果，第二次取$b$有3种等可能结果，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果。
满足$k＞0$的情况：$k$可取1、2，共2种选择，$b$可取任意数，共3种选择，因此符合条件的结果数为$2×3=6$种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质，列举法求概率
【点评】
本题是一次函数与概率的基础综合题，解题关键是准确掌握一次函数增减性的判断条件，再正确计算总事件和符合条件的事件数，注重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
12 [2025 安徽]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的砝码后，天平倾斜（如图）。现从质量分别为10 g，20 g，30 g，40 g的四个砝码中，随机选取两个放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
12. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确天平平衡的条件：左右两端总质量相等。右端已有70g砝码，左端原有20g砝码，因此先计算出左端需要新增的两个砝码总质量为70-20=50g。接下来按照古典概型的解题思路，先枚举出从4个砝码中任选2个的所有等可能情况，再统计其中总质量为50g的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
【解析】
1. 计算平衡时所需新增砝码总质量：
天平平衡时左右总质量相等，右端总质量为70g，左端原有20g，因此新增两个砝码的总质量需为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。
2. 枚举所有选两个砝码的等可能结果（不计选取顺序）：
从10g、20g、30g、40g中选两个，共有6种等可能结果：
①10g+20g=30g；②10g+30g=40g；③10g+40g=50g；
④20g+30g=50g；⑤20g+40g=60g；⑥30g+40g=70g。
3. 统计符合条件的情况：总质量为50g的情况有2种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
天平平衡原理，列举法，概率计算
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查概率求解，难度不高，解题的关键是先确定满足平衡的砝码质量和，枚举选取情况时注意做到不重不漏即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确天平平衡的条件：左右两端总质量相等。右端已有70g砝码，左端原有20g砝码，因此先计算出左端需要新增的两个砝码总质量为70-20=50g。接下来按照古典概型的解题思路，先枚举出从4个砝码中任选2个的所有等可能情况，再统计其中总质量为50g的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
【解析】
1. 计算平衡时所需新增砝码总质量：
天平平衡时左右总质量相等，右端总质量为70g，左端原有20g，因此新增两个砝码的总质量需为$70\mathrm{g}-20\mathrm{g}=50\mathrm{g}$。
2. 枚举所有选两个砝码的等可能结果（不计选取顺序）：
从10g、20g、30g、40g中选两个，共有6种等可能结果：
①10g+20g=30g；②10g+30g=40g；③10g+40g=50g；
④20g+30g=50g；⑤20g+40g=60g；⑥30g+40g=70g。
3. 统计符合条件的情况：总质量为50g的情况有2种。
4. 计算概率：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
天平平衡原理，列举法，概率计算
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查概率求解，难度不高，解题的关键是先确定满足平衡的砝码质量和，枚举选取情况时注意做到不重不漏即可。
【难度系数】
0.7
13 如图所示的两个转盘A,B分别被分成面积相等的几个扇形,转盘A的每个扇形区域分别标有数3,4,5,12,转盘B的每个扇形区域分别标有数13,3,4.两个转盘各转一次,指针落在扇形区域内(当指针恰好指在分界线上时,重转一次),得到的两个数与5能组成直角三角形的三边长的概率是
$\frac{1}{4}$
.答案
13. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题是结合勾股定理逆定理的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步确定总等可能结果数，两个转盘分别有4种、3种等可能结果，用乘法原理可得总结果数为4×3=12种；第二步根据勾股定理逆定理，分5为斜边、所得较大数为斜边两种情况，筛选出两个数与5能构成直角三角形三边长的符合条件结果；第三步用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
转盘A被分为4个面积相等的扇形，转一次有4种等可能结果（3、4、5、12）；转盘B被分为3个面积相等的扇形，转一次有3种等可能结果（3、4、13）。因此两个转盘各转一次，共有$4×3=12$种等可能的结果。
2. 筛选符合条件的结果：
根据勾股定理逆定理，若三个数$a、b、c$满足$a^2+b^2=c^2$，即可构成直角三角形三边长，逐一验证组合：
当A取3时，仅B取4时，$3^2+4^2=5^2$，3、4、5可构成直角三角形，符合要求；
当A取4时，仅B取3时，$3^2+4^2=5^2$，3、4、5可构成直角三角形，符合要求；
当A取5时，所有B的取值均不满足勾股定理逆定理，无符合要求的结果；
当A取12时，仅B取13时，$5^2+12^2=13^2$，5、12、13可构成直角三角形，符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种。
3. 计算概率：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率计算
2. 勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查概率计算和直角三角形的判定，解题时要注意两步等可能事件总结果数的计算，同时判定直角三角形时需分情况讨论斜边的可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是结合勾股定理逆定理的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步确定总等可能结果数，两个转盘分别有4种、3种等可能结果，用乘法原理可得总结果数为4×3=12种；第二步根据勾股定理逆定理，分5为斜边、所得较大数为斜边两种情况，筛选出两个数与5能构成直角三角形三边长的符合条件结果；第三步用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：
转盘A被分为4个面积相等的扇形，转一次有4种等可能结果（3、4、5、12）；转盘B被分为3个面积相等的扇形，转一次有3种等可能结果（3、4、13）。因此两个转盘各转一次，共有$4×3=12$种等可能的结果。
2. 筛选符合条件的结果：
根据勾股定理逆定理，若三个数$a、b、c$满足$a^2+b^2=c^2$，即可构成直角三角形三边长，逐一验证组合：
当A取3时，仅B取4时，$3^2+4^2=5^2$，3、4、5可构成直角三角形，符合要求；
当A取4时，仅B取3时，$3^2+4^2=5^2$，3、4、5可构成直角三角形，符合要求；
当A取5时，所有B的取值均不满足勾股定理逆定理，无符合要求的结果；
当A取12时，仅B取13时，$5^2+12^2=13^2$，5、12、13可构成直角三角形，符合要求。
综上，符合条件的结果共有3种。
3. 计算概率：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率计算
2. 勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查概率计算和直角三角形的判定，解题时要注意两步等可能事件总结果数的计算，同时判定直角三角形时需分情况讨论斜边的可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14 如图是两个可以自由转动的转盘A,B,转盘A中数字1所对扇形区域的圆心角为$90°$,转盘B被分成面积相等的三个扇形,依次转动转盘A,B,当转盘停止后,若指针指向的两个区域的数字之和大于5,则甲获胜;否则乙获胜;若指针落在分割线上,则需要重新转动转盘.
(1) 转动转盘B,指向的数字为3的概率是________.
(2) 试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平.若公平,请说明理由;若不公平,谁获胜的可能性较大?
(1) 转动转盘B,指向的数字为3的概率是________.
(2) 试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平.若公平,请说明理由;若不公平,谁获胜的可能性较大?
答案
14. (1) $\frac{1}{3}$
(2) 将转盘A 4等分,使得指向每个区域的可能性均等,列表如下：
| 转盘A\转盘B | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,3) | (1,4) | (1,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中指针指向的两个区域的数字之和大于 5 的结果有 7 种,$\therefore$ 甲获胜的概率为$\frac{7}{12}$,则乙获胜的概率为$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$.$\because \frac{7}{12}＞\frac{5}{12}$,$\therefore$ 这个游戏不公平,且甲获胜的可能性较大
(2) 将转盘A 4等分,使得指向每个区域的可能性均等,列表如下：
| 转盘A\转盘B | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,3) | (1,4) | (1,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
由表可知,共有 12 种等可能的结果,其中指针指向的两个区域的数字之和大于 5 的结果有 7 种,$\therefore$ 甲获胜的概率为$\frac{7}{12}$,则乙获胜的概率为$1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$.$\because \frac{7}{12}＞\frac{5}{12}$,$\therefore$ 这个游戏不公平,且甲获胜的可能性较大
解析
【分析】
(1) 转盘B被分成面积相等的三个扇形，指向每个数字的可能性相同，根据简单概率公式直接计算即可。
(2) 首先处理转盘A：数字1对应圆心角90°，占整个圆的$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，数字2对应圆心角270°，占整个圆的$\frac{3}{4}$，可将转盘A平均分为4个等可能的区域：1个区域为1，3个区域为2。再通过列表法列出两个转盘搭配的所有等可能结果，统计数字之和大于5的结果数，分别计算甲、乙获胜的概率，比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 转盘B共3个面积相等的扇形，指向数字3的情况有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 把转盘A平均分成4等份，其中1份对应数字1，3份对应数字2，此时转动转盘A指向每一份的可能性均等，列表如下：
| 转盘A\转盘B | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,3) | (1,4) | (1,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中数字之和大于5的结果有7种。
$\therefore$ 甲获胜的概率$P(甲)=\frac{7}{12}$，
乙获胜的概率$P(乙)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$，
$\because \frac{7}{12}＞\frac{5}{12}$，$\therefore$ 游戏不公平，甲获胜的可能性更大。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 游戏不公平，甲获胜的可能性较大。
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的核心是先将面积不等的转盘区域转化为等可能的计数单元，再通过列表法不重不漏地列举所有等可能结果，计算双方获胜概率后比较即可。
【难度系数】
0.7
(1) 转盘B被分成面积相等的三个扇形，指向每个数字的可能性相同，根据简单概率公式直接计算即可。
(2) 首先处理转盘A：数字1对应圆心角90°，占整个圆的$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$，数字2对应圆心角270°，占整个圆的$\frac{3}{4}$，可将转盘A平均分为4个等可能的区域：1个区域为1，3个区域为2。再通过列表法列出两个转盘搭配的所有等可能结果，统计数字之和大于5的结果数，分别计算甲、乙获胜的概率，比较概率大小即可判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 转盘B共3个面积相等的扇形，指向数字3的情况有1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 把转盘A平均分成4等份，其中1份对应数字1，3份对应数字2，此时转动转盘A指向每一份的可能性均等，列表如下：
| 转盘A\转盘B | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,3) | (1,4) | (1,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
| 2 | (2,3) | (2,4) | (2,5) |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中数字之和大于5的结果有7种。
$\therefore$ 甲获胜的概率$P(甲)=\frac{7}{12}$，
乙获胜的概率$P(乙)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$，
$\because \frac{7}{12}＞\frac{5}{12}$，$\therefore$ 游戏不公平，甲获胜的可能性更大。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 游戏不公平，甲获胜的可能性较大。
【知识点】
简单概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的核心是先将面积不等的转盘区域转化为等可能的计数单元，再通过列表法不重不漏地列举所有等可能结果，计算双方获胜概率后比较即可。
【难度系数】
0.7
15 某中学组织了社团活动，并将八(2)班学生参加学校社团的情况(每名学生只能参加其中一项:A. 剪纸社团;B. 泥塑社团;C. 陶笛社团;D. 书法社团;E. 合唱社团)绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
(1) 该班共有学生
(2) 扇形统计图中，$m=$
(3) 小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团的几名学生都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2名参加学校组织的书法大赛.请用画树状图或列表的方法，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
(1) 该班共有学生
50
名，并补全条形统计图.(2) 扇形统计图中，$m=$
20
，$n=$10
，参加剪纸社团对应扇形的圆心角度数为$144°$
.(3) 小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团的几名学生都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2名参加学校组织的书法大赛.请用画树状图或列表的方法，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率.
答案
15. (1) 50 补全条形统计图如图①所示
(2) 20 10 $144°$
(3) 把小鹏和小兵分别记为 a,b,其他 3 名学生分别记为 c,d,e,画树状图如图②所示.
由图②,可知共有 20 种等可能的结果,其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有 2 种,$\therefore$ 恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：观察两幅统计图，C社团有5人，对应扇形统计图的占比为10%，利用“部分量÷对应占比=总量”即可求出总人数，再用总人数减去其余已知社团的人数得到D社团人数，就能补全条形统计图。
第(2)问：分别用B、D社团的人数除以总人数得到对应占比，即可求出m、n的值；剪纸社团是A社团，用360°乘A社团人数占总人数的占比，就能得到对应扇形的圆心角度数。
第(3)问：先明确书法社团总人数，将5名学生标记后用树状图列出所有选2人的等可能结果，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，根据概率公式计算概率即可。
【解析】
(1) 已知C社团有5人，占总人数的10%，因此该班总人数为：$5÷10\%=50$（名）
D社团的人数为：$50-20-10-5-10=5$（名），据此可补全条形统计图。
(2) B社团人数为10，占总人数的百分比为：$\frac{10}{50}×100\%=20\%$，因此$m=20$；
D社团人数为5，占总人数的百分比为：$\frac{5}{50}×100\%=10\%$，因此$n=10$；
剪纸社团为A社团，对应扇形的圆心角度数为：$360°×\frac{20}{50}=144°$。
(3) 书法社团共有5名学生，将小鹏记为a，小兵记为b，其余3名学生记为c、d、e。
画树状图可知，从5人中选2人参加比赛，共有20种等可能的结果，其中恰好选中小鹏和小兵的结果有2种。
根据概率公式，恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为：$P=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) $50$，补全条形统计图如图①所示
(2) $20$；$10$；$144°$
(3) 把小鹏和小兵分别记为a,b,其他3名学生分别记为c,d,e,画树状图如图②所示.
由图②,可知共有20种等可能的结果,其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种,$\therefore$ 恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
【知识点】
统计图表综合应用，扇形圆心角计算，树状图法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查了从条形统计图和扇形统计图中提取有效信息的能力，以及用枚举法计算概率的方法，解题时总人数的推导是后续计算的基础，求概率时需保证所有列举的结果是等可能的，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：观察两幅统计图，C社团有5人，对应扇形统计图的占比为10%，利用“部分量÷对应占比=总量”即可求出总人数，再用总人数减去其余已知社团的人数得到D社团人数，就能补全条形统计图。
第(2)问：分别用B、D社团的人数除以总人数得到对应占比，即可求出m、n的值；剪纸社团是A社团，用360°乘A社团人数占总人数的占比，就能得到对应扇形的圆心角度数。
第(3)问：先明确书法社团总人数，将5名学生标记后用树状图列出所有选2人的等可能结果，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，根据概率公式计算概率即可。
【解析】
(1) 已知C社团有5人，占总人数的10%，因此该班总人数为：$5÷10\%=50$（名）
D社团的人数为：$50-20-10-5-10=5$（名），据此可补全条形统计图。
(2) B社团人数为10，占总人数的百分比为：$\frac{10}{50}×100\%=20\%$，因此$m=20$；
D社团人数为5，占总人数的百分比为：$\frac{5}{50}×100\%=10\%$，因此$n=10$；
剪纸社团为A社团，对应扇形的圆心角度数为：$360°×\frac{20}{50}=144°$。
(3) 书法社团共有5名学生，将小鹏记为a，小兵记为b，其余3名学生记为c、d、e。
画树状图可知，从5人中选2人参加比赛，共有20种等可能的结果，其中恰好选中小鹏和小兵的结果有2种。
根据概率公式，恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为：$P=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。
【答案】
(1) $50$，补全条形统计图如图①所示
(2) $20$；$10$；$144°$
(3) 把小鹏和小兵分别记为a,b,其他3名学生分别记为c,d,e,画树状图如图②所示.
由图②,可知共有20种等可能的结果,其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种,$\therefore$ 恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为$\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
【知识点】
统计图表综合应用，扇形圆心角计算，树状图法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查了从条形统计图和扇形统计图中提取有效信息的能力，以及用枚举法计算概率的方法，解题时总人数的推导是后续计算的基础，求概率时需保证所有列举的结果是等可能的，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
