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1 主题:正方形卡纸的裁切与拼接.
素材:大小不相等的两张正方形卡纸.
步骤1:将大正方形卡纸ABCD和小正方形卡纸BEFG按如图①所示的方式摆放(点G在BC上),用圆规在AB上截取AH=BE,连接DH,HF;步骤2:首先沿虚线DH,FH裁切卡纸,然后拼接成一个大正方形.
猜想与证明:
(1) △DAH与△HEF是否全等?请证明你的猜想.
迁移与应用:
(2) 若大正方形卡纸的边长是小正方形卡纸边长的两倍,将大正方形卡纸对折两次并展开后,按如图②所示的方式摆放(虚线为折痕).请你用无刻度的直尺在图②中画出两条裁切线,使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形.
素材:大小不相等的两张正方形卡纸.
步骤1:将大正方形卡纸ABCD和小正方形卡纸BEFG按如图①所示的方式摆放(点G在BC上),用圆规在AB上截取AH=BE,连接DH,HF;步骤2:首先沿虚线DH,FH裁切卡纸,然后拼接成一个大正方形.
猜想与证明:
(1) △DAH与△HEF是否全等?请证明你的猜想.
迁移与应用:
(2) 若大正方形卡纸的边长是小正方形卡纸边长的两倍,将大正方形卡纸对折两次并展开后,按如图②所示的方式摆放(虚线为折痕).请你用无刻度的直尺在图②中画出两条裁切线,使裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形.
答案
(1) $△ DAH$ 与$△ HEF$ 全等 $\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形$BEFG$ 都是正方形, $\therefore AD=AB, ∠ A=90°, BE=EF, ∠ E=90°. \because AH=BE, \therefore AH=EF, HB+BE=HB+AH$, 即 $EH=AB. \therefore AD=EH$. 在$△ DAH$ 和$△ HEF$ 中, $\begin{cases} AD=EH, \\ ∠ A=∠ E=90°, \\ AH=EF, \end{cases}$ $\therefore △ DAH ≌ △ HEF$
(2) 用无刻度的直尺画出线段$DH,FH$,再沿$DH,FH$ 进行裁切,则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，示意图见
解析
【分析】
(1) 要判断△DAH与△HEF是否全等，可结合已知条件选用全等三角形判定定理推导。已知两个图形是正方形，可得到边相等、内角为直角的性质，再结合题目给出的AH=BE的条件，推导两组对应边相等，且对应夹角均为90°，即可用SAS判定两个三角形全等。
(2) 可直接迁移第(1)问的剪拼思路：大正方形边长是小正方形的2倍，图②中H是大正方形底边中点，此时AH的长度恰好等于小正方形边长，和第(1)问的条件完全一致，因此参照第(1)问的裁切线绘制即可。
【解析】
(1) △DAH与△HEF全等，证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ A=90°$，$BE=EF$，$∠ E=90°$，
又
∵ $AH=BE$，
∴ $AH=EF$，且$HB+BE=HB+AH$，即$EH=AB$，
∴ $AD=EH$。
在$△ DAH$和$△ HEF$中：
$\begin{cases} AD=EH \\ ∠ A=∠ E=90° \\ AH=EF \end{cases}$
∴ $△ DAH ≌ △ HEF$（SAS）。
(2) 根据第(1)问的结论，图②中H为大正方形底边中点，$AH$长度等于小正方形边长，满足第(1)问的全等条件，因此用无刻度直尺连接$DH$、$FH$，这两条线段即为裁切线，沿两条线裁切后即可拼接成大正方形。
【答案】
(1) $△ DAH$ 与$△ HEF$ 全等 $\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形$BEFG$ 都是正方形, $\therefore AD=AB, ∠ A=90°, BE=EF, ∠ E=90°. \because AH=BE, \therefore AH=EF, HB+BE=HB+AH$, 即 $EH=AB. \therefore AD=EH$. 在$△ DAH$ 和$△ HEF$ 中, $\begin{cases} AD=EH, \\ ∠ A=∠ E=90°, \\ AH=EF, \end{cases}$ $\therefore △ DAH ≌ △ HEF$
(2) 用无刻度的直尺画出线段$DH,FH$,再沿$DH,FH$ 进行裁切,则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，示意图见
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；图形的剪拼
【点评】
本题将几何证明和实践操作结合，既考查了正方形性质、全等三角形判定的基础知识点，又要求学生能将证明得到的结论迁移应用到剪拼操作中，能有效提升几何直观和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△DAH与△HEF是否全等，可结合已知条件选用全等三角形判定定理推导。已知两个图形是正方形，可得到边相等、内角为直角的性质，再结合题目给出的AH=BE的条件，推导两组对应边相等，且对应夹角均为90°，即可用SAS判定两个三角形全等。
(2) 可直接迁移第(1)问的剪拼思路：大正方形边长是小正方形的2倍，图②中H是大正方形底边中点，此时AH的长度恰好等于小正方形边长，和第(1)问的条件完全一致，因此参照第(1)问的裁切线绘制即可。
【解析】
(1) △DAH与△HEF全等，证明过程如下：
∵ 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴ $AD=AB$，$∠ A=90°$，$BE=EF$，$∠ E=90°$，
又
∵ $AH=BE$，
∴ $AH=EF$，且$HB+BE=HB+AH$，即$EH=AB$，
∴ $AD=EH$。
在$△ DAH$和$△ HEF$中：
$\begin{cases} AD=EH \\ ∠ A=∠ E=90° \\ AH=EF \end{cases}$
∴ $△ DAH ≌ △ HEF$（SAS）。
(2) 根据第(1)问的结论，图②中H为大正方形底边中点，$AH$长度等于小正方形边长，满足第(1)问的全等条件，因此用无刻度直尺连接$DH$、$FH$，这两条线段即为裁切线，沿两条线裁切后即可拼接成大正方形。
【答案】
(1) $△ DAH$ 与$△ HEF$ 全等 $\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形$BEFG$ 都是正方形, $\therefore AD=AB, ∠ A=90°, BE=EF, ∠ E=90°. \because AH=BE, \therefore AH=EF, HB+BE=HB+AH$, 即 $EH=AB. \therefore AD=EH$. 在$△ DAH$ 和$△ HEF$ 中, $\begin{cases} AD=EH, \\ ∠ A=∠ E=90°, \\ AH=EF, \end{cases}$ $\therefore △ DAH ≌ △ HEF$
(2) 用无刻度的直尺画出线段$DH,FH$,再沿$DH,FH$ 进行裁切,则裁切后的卡纸可以拼接成一个大正方形，示意图见
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；图形的剪拼
【点评】
本题将几何证明和实践操作结合，既考查了正方形性质、全等三角形判定的基础知识点，又要求学生能将证明得到的结论迁移应用到剪拼操作中，能有效提升几何直观和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
2 生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量.如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠,将它们标记后放回直到充分混合后,用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠,其中有16只是被标记的,于是估算该区域田鼠的数量为 $40÷\frac{16}{80}=200$(只).
某研究小组考查了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成,结果如下表:
注:表中“A”表示鱼的年龄为0~1年,B表示鱼的年龄为2~3年,C表示鱼的年龄为4~5年,D表示鱼的年龄为6~7年.
(1) 若将年龄为D的鱼全部标记后并放回湖泊,充分混合后,捕捉120条鱼,其中被标记鱼有12条,则该湖泊里一共约有多少条鱼?
(2) 现捕获 A,B,C,D 年龄段的鱼各一条,从中任抓两条,请用列表或画树状图的方法,求抓到年龄为 A 和 C 的鱼的概率.
某研究小组考查了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成,结果如下表:
注:表中“A”表示鱼的年龄为0~1年,B表示鱼的年龄为2~3年,C表示鱼的年龄为4~5年,D表示鱼的年龄为6~7年.
(1) 若将年龄为D的鱼全部标记后并放回湖泊,充分混合后,捕捉120条鱼,其中被标记鱼有12条,则该湖泊里一共约有多少条鱼?
(2) 现捕获 A,B,C,D 年龄段的鱼各一条,从中任抓两条,请用列表或画树状图的方法,求抓到年龄为 A 和 C 的鱼的概率.
答案
(1) 设该湖泊里一共约有 $m$ 条鱼. 由题意,得$\frac{m}{94}=\frac{120}{12}$,解得$m=940. \therefore$ 该湖泊里一共约有 940 条鱼
(2) 画树状图如图所示. 由图可知,共有 12 种等可能的结果,其中抓到年龄为 A 和 C 的鱼的结果有 2 种, $\therefore$ 抓到年龄为 A 和 C 的鱼的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，树状图见
解析
【分析】
(1) 本小题运用标记重捕法的核心比例关系解题：标记个体占种群总数量的比例，等于重捕个体中标记个体占重捕总数量的比例。本题中D年龄段共94条鱼全部被标记，重捕120条里有12条标记鱼，设总鱼数为未知数，按照上述比例列等式即可求解。
(2) 本小题考查等可能事件的概率计算，解题思路为：首先明确是从4条不同年龄段的鱼中不放回抽取2条，通过树状图列举出所有等可能的结果，再统计出符合“抽到A和C”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设该湖泊里一共约有$m$条鱼。
根据标记重捕法的比例规律可得：
$\frac{\mathrm{标记总数量}}{\mathrm{种群总数量}}=\frac{\mathrm{重捕中标记数量}}{\mathrm{重捕总数量}}$
代入数据得$\frac{94}{m}=\frac{12}{120}$
交叉相乘求解得：$12m=94×120$，即$m=940$。
(2) 按照题意绘制树状图如下：
观察树状图可知，抽取2条鱼共有12种等可能的结果，其中刚好抓到年龄为A和C的鱼的结果共2种（分别为先抽A再抽C、先抽C再抽A）。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抓到A和C})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
(1) 该湖泊里一共约有940条鱼；
(2) 抓到年龄为A和C的鱼的概率为$\frac{1}{6}$，树状图见
【知识点】
标记重捕法应用，树状图法，概率计算
【点评】
本题结合跨学科的实际情境命题，既考查了比例方程的基础应用，又考查了用树状图列举等可能结果、计算概率的基本方法，贴合实际应用场景，能锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本小题运用标记重捕法的核心比例关系解题：标记个体占种群总数量的比例，等于重捕个体中标记个体占重捕总数量的比例。本题中D年龄段共94条鱼全部被标记，重捕120条里有12条标记鱼，设总鱼数为未知数，按照上述比例列等式即可求解。
(2) 本小题考查等可能事件的概率计算，解题思路为：首先明确是从4条不同年龄段的鱼中不放回抽取2条，通过树状图列举出所有等可能的结果，再统计出符合“抽到A和C”的结果数，最后根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设该湖泊里一共约有$m$条鱼。
根据标记重捕法的比例规律可得：
$\frac{\mathrm{标记总数量}}{\mathrm{种群总数量}}=\frac{\mathrm{重捕中标记数量}}{\mathrm{重捕总数量}}$
代入数据得$\frac{94}{m}=\frac{12}{120}$
交叉相乘求解得：$12m=94×120$，即$m=940$。
(2) 按照题意绘制树状图如下：
观察树状图可知，抽取2条鱼共有12种等可能的结果，其中刚好抓到年龄为A和C的鱼的结果共2种（分别为先抽A再抽C、先抽C再抽A）。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抓到A和C})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
(1) 该湖泊里一共约有940条鱼；
(2) 抓到年龄为A和C的鱼的概率为$\frac{1}{6}$，树状图见
【知识点】
标记重捕法应用，树状图法，概率计算
【点评】
本题结合跨学科的实际情境命题，既考查了比例方程的基础应用，又考查了用树状图列举等可能结果、计算概率的基本方法，贴合实际应用场景，能锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
