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11（易错题）有下列各组线段：①$a=2\ \mathrm{cm},b=6\ \mathrm{cm},c=4.5\ \mathrm{cm},d=13.5\ \mathrm{cm}$；②$a=7\ \mathrm{cm},b=4\ \mathrm{cm},c=d=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$；③$a=1.1\ \mathrm{cm},b=2.2\ \mathrm{cm},c=3.3\ \mathrm{cm},d=5.5\ \mathrm{cm}$；④$a=20\ \mathrm{mm},b=8\ \mathrm{m},c=28\ \mathrm{m},d=7\ \mathrm{cm}$。其中，能组成比例线段的是（
A.①③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
B
）A.①③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
11. B
【解析】① $\because 2×13.5=4.5×6$,$\therefore$ 四条线段成比例.
② $\because 4×7=2\sqrt{7}×2\sqrt{7}$,$\therefore$ 四条线段成比例. ③ $\because 1.1×5.5≠2.2×3.3$,$\therefore$ 四条线段不成比例. ④ $a=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m}$,$d=7\ \mathrm{cm}=0.07\ \mathrm{m}$,$b=8\ \mathrm{m}$,$c=28\ \mathrm{m}$. $\because 0.07×8=28×0.02$,$\therefore$ 四条线段成比例.综上所述,能组成比例线段的是①②④.
易错分析
11. 在判断成比例线段时,应先把四条线段的长按照大小顺序排列,再根据定义进行判断.
【解析】① $\because 2×13.5=4.5×6$,$\therefore$ 四条线段成比例.
② $\because 4×7=2\sqrt{7}×2\sqrt{7}$,$\therefore$ 四条线段成比例. ③ $\because 1.1×5.5≠2.2×3.3$,$\therefore$ 四条线段不成比例. ④ $a=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m}$,$d=7\ \mathrm{cm}=0.07\ \mathrm{m}$,$b=8\ \mathrm{m}$,$c=28\ \mathrm{m}$. $\because 0.07×8=28×0.02$,$\therefore$ 四条线段成比例.综上所述,能组成比例线段的是①②④.
易错分析
11. 在判断成比例线段时,应先把四条线段的长按照大小顺序排列,再根据定义进行判断.
解析
【分析】
要判断四组线段能否组成比例线段，首先回忆判断方法：第一步先统一所有线段的单位，第二步可利用比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例，接下来按这个方法逐一验证每组即可。
【解析】
判断成比例线段可利用“若四条线段中，最长与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例”的规律，注意先统一单位：
① 四条线段长度为2cm、4.5cm、6cm、13.5cm，计算得：$2×13.5=27$，$4.5×6=27$，即$2×13.5=4.5×6$，因此这四条线段成比例；
② 四条线段长度为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$、4cm、7cm，计算得：$4×7=28$，$2\sqrt{7}×2\sqrt{7}=4×7=28$，即$4×7=2\sqrt{7}×2\sqrt{7}$，因此这四条线段成比例；
③ 四条线段长度为1.1cm、2.2cm、3.3cm、5.5cm，计算得：$1.1×5.5=6.05$，$2.2×3.3=7.26$，$6.05≠7.26$，因此这四条线段不成比例；
④ 先统一单位：$a=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m}$，$d=7\ \mathrm{cm}=0.07\ \mathrm{m}$，四条线段长度为0.02m、0.07m、8m、28m，计算得：$0.02×28=0.56$，$0.07×8=0.56$，即$0.02×28=0.07×8$，因此这四条线段成比例。
综上，能组成比例线段的是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定，比例的基本性质，单位换算
【点评】
本题是成比例线段判定的常见易错题，易错点为判断前忘记统一单位，或未按大小排序直接随意搭配计算乘积导致判断失误，熟练运用比例的基本性质可快速提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
要判断四组线段能否组成比例线段，首先回忆判断方法：第一步先统一所有线段的单位，第二步可利用比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则四条线段成比例，反之则不成比例，接下来按这个方法逐一验证每组即可。
【解析】
判断成比例线段可利用“若四条线段中，最长与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例”的规律，注意先统一单位：
① 四条线段长度为2cm、4.5cm、6cm、13.5cm，计算得：$2×13.5=27$，$4.5×6=27$，即$2×13.5=4.5×6$，因此这四条线段成比例；
② 四条线段长度为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$、4cm、7cm，计算得：$4×7=28$，$2\sqrt{7}×2\sqrt{7}=4×7=28$，即$4×7=2\sqrt{7}×2\sqrt{7}$，因此这四条线段成比例；
③ 四条线段长度为1.1cm、2.2cm、3.3cm、5.5cm，计算得：$1.1×5.5=6.05$，$2.2×3.3=7.26$，$6.05≠7.26$，因此这四条线段不成比例；
④ 先统一单位：$a=20\ \mathrm{mm}=0.02\ \mathrm{m}$，$d=7\ \mathrm{cm}=0.07\ \mathrm{m}$，四条线段长度为0.02m、0.07m、8m、28m，计算得：$0.02×28=0.56$，$0.07×8=0.56$，即$0.02×28=0.07×8$，因此这四条线段成比例。
综上，能组成比例线段的是①②④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定，比例的基本性质，单位换算
【点评】
本题是成比例线段判定的常见易错题，易错点为判断前忘记统一单位，或未按大小排序直接随意搭配计算乘积导致判断失误，熟练运用比例的基本性质可快速提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
12 如图，正五边形 FGHMN ∽ 正五边形 ABCDE. 若 AB:FG=2:3,则下列结论正确的是（
A.$2DE=3MN$
B.$3DE=2MN$
C.$3∠ A=2∠ F$
D.$2∠ A=3∠ F$
B
）A.$2DE=3MN$
B.$3DE=2MN$
C.$3∠ A=2∠ F$
D.$2∠ A=3∠ F$
答案
12. B
解析
【分析】
解题时需结合相似多边形的性质分析：首先，相似多边形对应角相等，正五边形的各内角都相等，因此可直接判断角相关的选项是否正确；其次，相似多边形对应边成比例，结合已知的对应边比值AB:FG=2:3，推导DE和MN的比例关系即可得到正确结论，注意不要混淆相似比的前后对应关系。
【解析】
∵正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，
根据相似多边形的性质：
1. 对应角相等，可得$∠ A=∠ F$，因此选项C、D错误；
2. 对应边成比例，可得$\frac{AB}{FG}=\frac{DE}{MN}$。
已知$AB:FG=2:3$，即$\frac{AB}{FG}=\frac{2}{3}$，
代入得$\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3DE=2MN$，故选项A错误，B正确。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，正多边形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是基础的相似多边形性质应用题，解题的核心是牢记相似多边形对应角相等、对应边成比例的特点，同时结合正多边形各边、各角分别相等的性质，即可快速排除错误选项得到答案，做题时需注意对应边的比例前后项要对应一致。
【难度系数】
0.8
解题时需结合相似多边形的性质分析：首先，相似多边形对应角相等，正五边形的各内角都相等，因此可直接判断角相关的选项是否正确；其次，相似多边形对应边成比例，结合已知的对应边比值AB:FG=2:3，推导DE和MN的比例关系即可得到正确结论，注意不要混淆相似比的前后对应关系。
【解析】
∵正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，
根据相似多边形的性质：
1. 对应角相等，可得$∠ A=∠ F$，因此选项C、D错误；
2. 对应边成比例，可得$\frac{AB}{FG}=\frac{DE}{MN}$。
已知$AB:FG=2:3$，即$\frac{AB}{FG}=\frac{2}{3}$，
代入得$\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3DE=2MN$，故选项A错误，B正确。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，正多边形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是基础的相似多边形性质应用题，解题的核心是牢记相似多边形对应角相等、对应边成比例的特点，同时结合正多边形各边、各角分别相等的性质，即可快速排除错误选项得到答案，做题时需注意对应边的比例前后项要对应一致。
【难度系数】
0.8
13 若比例式$\dfrac{m}{x}=\dfrac{x}{n}$成立，则称$x$是$m,n$的比例中项.当$m=16,n=1$时，$x=$
$\pm4$
.答案
13. $\pm4$
解析
【分析】
首先明确题目给出了比例中项的定义，解题时第一步根据比例的基本性质（内项积等于外项积），将给定的比例式转化为等积式，得到x和m、n的数量关系；第二步把已知的m、n的数值代入等积式，算出x²的值；第三步根据平方根的定义求解x，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要遗漏负根。
【解析】
解：根据比例中项的定义，由$\dfrac{m}{x}=\dfrac{x}{n}$，结合比例的基本性质交叉相乘可得：
$x^2 = m· n$
将$m=16$，$n=1$代入上式，得：
$x^2 = 16×1=16$
对等式两边开平方，得：
$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
比例中项；比例的基本性质；平方根运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练运用比例的基本性质将比例式转化为等积式，易错点是求解平方根时只保留正根，忽略负数根，解题时需注意正数的平方根有两个。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出了比例中项的定义，解题时第一步根据比例的基本性质（内项积等于外项积），将给定的比例式转化为等积式，得到x和m、n的数量关系；第二步把已知的m、n的数值代入等积式，算出x²的值；第三步根据平方根的定义求解x，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要遗漏负根。
【解析】
解：根据比例中项的定义，由$\dfrac{m}{x}=\dfrac{x}{n}$，结合比例的基本性质交叉相乘可得：
$x^2 = m· n$
将$m=16$，$n=1$代入上式，得：
$x^2 = 16×1=16$
对等式两边开平方，得：
$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
比例中项；比例的基本性质；平方根运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练运用比例的基本性质将比例式转化为等积式，易错点是求解平方根时只保留正根，忽略负数根，解题时需注意正数的平方根有两个。
【难度系数】
0.7
14 新考向 开放性问题 已知三个数$1,2,\sqrt{5}$，请你再添上一个数，使这四个数能构成一个比例式，则这个数可以是
答案不唯一,如$2\sqrt{5}$
。答案
14. 答案不唯一,如$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要运用比例的基本性质：在比例式中，两个外项的积等于两个内项的积。设需要添加的数为x，四个数构成比例式时，x可以分别和已知的三个数中的任意一个作为同组的外项（或内项），其余两个数作为另一组的内项（或外项），通过列方程计算即可求出x的可能值，任选一个符合要求的即可。
【解析】
设添加的这个数为$ x $，根据比例的基本性质，分情况讨论：
若将$ x $和$ 1 $作为比例的外项，$ 2 $和$ \sqrt{5} $作为比例的内项，则有：
$ x × 1 = 2 × \sqrt{5} $
解得$ x = 2\sqrt{5} $
此时构成的比例式为$ 1:2 = \sqrt{5}:2\sqrt{5} $，符合要求。
（注：还可得到另外两个符合条件的数$ \frac{\sqrt{5}}{2} $、$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $，任选其一即可）
【答案】
答案不唯一，如$ 2\sqrt{5} $
【知识点】
比例的基本性质；比例式的定义
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对比例基本性质的灵活运用，解题时要注意分情况讨论，所得的数只要能让四个数满足比例式的要求都正确。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要运用比例的基本性质：在比例式中，两个外项的积等于两个内项的积。设需要添加的数为x，四个数构成比例式时，x可以分别和已知的三个数中的任意一个作为同组的外项（或内项），其余两个数作为另一组的内项（或外项），通过列方程计算即可求出x的可能值，任选一个符合要求的即可。
【解析】
设添加的这个数为$ x $，根据比例的基本性质，分情况讨论：
若将$ x $和$ 1 $作为比例的外项，$ 2 $和$ \sqrt{5} $作为比例的内项，则有：
$ x × 1 = 2 × \sqrt{5} $
解得$ x = 2\sqrt{5} $
此时构成的比例式为$ 1:2 = \sqrt{5}:2\sqrt{5} $，符合要求。
（注：还可得到另外两个符合条件的数$ \frac{\sqrt{5}}{2} $、$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $，任选其一即可）
【答案】
答案不唯一，如$ 2\sqrt{5} $
【知识点】
比例的基本性质；比例式的定义
【点评】
本题为开放性试题，重点考查对比例基本性质的灵活运用，解题时要注意分情况讨论，所得的数只要能让四个数满足比例式的要求都正确。
【难度系数】
0.7
15 新考向 探究题 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使AD落在边CD上，点A落在点H处，折痕为DE；使BC落在边CD上，点B落在点G处，折痕为CF。若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为
$\sqrt{2}+1$
。答案
15. $\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用折叠的性质得到相等线段：折叠后对应边相等，可得DH=AD=1，CG=BC=1；2. 设CD的长为x，用含x的式子表示出小矩形HEFG的邻边长度：竖直边HE等于原矩形宽AD=1，水平边HG=CD-DH-CG=x-2；3. 根据相似多边形对应边成比例的性质列方程，注意两个矩形的长宽对应关系，原矩形长为x、宽为1，小矩形长为1、宽为x-2，据此列比例式求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
解：设CD的长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，$ AD=1 $，
∴ $ BC=AD=1 $，$ ∠ A=∠ B=90° $。
由折叠的性质可得：$ DH=AD=1 $，$ CG=BC=1 $，且$ HE⊥ CD $，$ GF⊥ CD $，
∴ 四边形HEFG是矩形，$ HE=AD=1 $，$ HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2 $。
∵ 矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴ 两个矩形邻边的比相等，即$ \frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG} $，
代入数值得：$ \frac{x}{1}=\frac{1}{x-2} $，
整理得$ x^2-2x-1=0 $，
解得$ x_1=1+\sqrt{2} $，$ x_2=1-\sqrt{2} $（线段长度为正，舍去）。
【答案】
$ \sqrt{2}+1 $
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合折叠变换考查相似多边形的应用，解题的关键是准确利用折叠性质表示出小矩形的边长，找准相似矩形的对应边列比例式，同时要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先利用折叠的性质得到相等线段：折叠后对应边相等，可得DH=AD=1，CG=BC=1；2. 设CD的长为x，用含x的式子表示出小矩形HEFG的邻边长度：竖直边HE等于原矩形宽AD=1，水平边HG=CD-DH-CG=x-2；3. 根据相似多边形对应边成比例的性质列方程，注意两个矩形的长宽对应关系，原矩形长为x、宽为1，小矩形长为1、宽为x-2，据此列比例式求解，最后舍去不符合实际意义的负根即可。
【解析】
解：设CD的长为$ x $。
∵ 四边形ABCD是矩形，$ AD=1 $，
∴ $ BC=AD=1 $，$ ∠ A=∠ B=90° $。
由折叠的性质可得：$ DH=AD=1 $，$ CG=BC=1 $，且$ HE⊥ CD $，$ GF⊥ CD $，
∴ 四边形HEFG是矩形，$ HE=AD=1 $，$ HG=CD-DH-CG=x-1-1=x-2 $。
∵ 矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴ 两个矩形邻边的比相等，即$ \frac{CD}{AD}=\frac{HE}{HG} $，
代入数值得：$ \frac{x}{1}=\frac{1}{x-2} $，
整理得$ x^2-2x-1=0 $，
解得$ x_1=1+\sqrt{2} $，$ x_2=1-\sqrt{2} $（线段长度为正，舍去）。
【答案】
$ \sqrt{2}+1 $
【知识点】
折叠的性质，相似多边形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合折叠变换考查相似多边形的应用，解题的关键是准确利用折叠性质表示出小矩形的边长，找准相似矩形的对应边列比例式，同时要注意结合实际意义对一元二次方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.65
16 如图,在$□ ABCD$中,$DE ⊥ AB$于点$E$,$BF ⊥ AD$,交$AD$的延长线于点$F$.
(1) $AB$,$BC$,$BF$,$DE$这四条线段能否成比例?若不能,请说明理由;若能,请写出比例式.
(2) 若$AB=10$,$DE=2.5$,$BF=5$,求$BC$的长.
(1) $AB$,$BC$,$BF$,$DE$这四条线段能否成比例?若不能,请说明理由;若能,请写出比例式.
(2) 若$AB=10$,$DE=2.5$,$BF=5$,求$BC$的长.
答案
16. (1) 能 $\because$ 在$□ ABCD$中,$BC=AD$,$DE⊥ AB$,$BF⊥ AD$,
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$. $\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}$. 又$\because BC=AD$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$. $\therefore AB,BC,BF,DE$这四条线段能成比例,比例式为$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$
(2) 由(1),得$\frac{10}{BC}=\frac{5}{2.5}$. $\therefore BC=5$
$\therefore S_{□ ABCD}=AB· DE=AD· BF$. $\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}$. 又$\because BC=AD$,$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$. $\therefore AB,BC,BF,DE$这四条线段能成比例,比例式为$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$
(2) 由(1),得$\frac{10}{BC}=\frac{5}{2.5}$. $\therefore BC=5$
解析
【分析】
（1）要判断AB、BC、BF、DE是否成比例，可借助平行四边形面积的两种计算方法推导：平行四边形面积=底×对应高，以AB为底时高为DE，以AD为底时高为BF，结合平行四边形对边相等（BC=AD），即可得到四条线段的比例关系。（2）将已知线段长度代入（1）得到的比例式，解比例即可求出BC的长。
【解析】
（1）这四条线段能成比例，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD，
∵ DE⊥AB，BF⊥AD，
∴ $S_{□ABCD}=AB·DE=AD·BF$，
∴ $AB·DE=BC·BF$，
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$，即AB、BC、BF、DE四条线段成比例。
（2）把AB=10，DE=2.5，BF=5代入$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$，得：
$\frac{10}{BC}=\frac{5}{2.5}$
解得：$BC=5$
【答案】
(1) 能，比例式为$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$；(2) $BC=5$
【知识点】
平行四边形的性质，成比例线段，平行四边形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用平行四边形面积的两种表示方法建立等式，从而推导线段的比例关系，既考查对平行四边形性质的掌握，也考查对成比例线段概念的理解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断AB、BC、BF、DE是否成比例，可借助平行四边形面积的两种计算方法推导：平行四边形面积=底×对应高，以AB为底时高为DE，以AD为底时高为BF，结合平行四边形对边相等（BC=AD），即可得到四条线段的比例关系。（2）将已知线段长度代入（1）得到的比例式，解比例即可求出BC的长。
【解析】
（1）这四条线段能成比例，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD，
∵ DE⊥AB，BF⊥AD，
∴ $S_{□ABCD}=AB·DE=AD·BF$，
∴ $AB·DE=BC·BF$，
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$，即AB、BC、BF、DE四条线段成比例。
（2）把AB=10，DE=2.5，BF=5代入$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$，得：
$\frac{10}{BC}=\frac{5}{2.5}$
解得：$BC=5$
【答案】
(1) 能，比例式为$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$；(2) $BC=5$
【知识点】
平行四边形的性质，成比例线段，平行四边形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用平行四边形面积的两种表示方法建立等式，从而推导线段的比例关系，既考查对平行四边形性质的掌握，也考查对成比例线段概念的理解。
【难度系数】
0.7
17 如图,将一张长与宽的比为$\sqrt{2}:1$的矩形纸片ABCD依次不断对折,可以得到矩形纸片BCFE,AEML,GMFH,LGPN.
(1) 矩形ABCD,BCFE,AEML,GMFH,LGPN的长与宽的比改变了吗? 请说明理由.
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段吗? 试写出2组.
(1) 矩形ABCD,BCFE,AEML,GMFH,LGPN的长与宽的比改变了吗? 请说明理由.
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段吗? 试写出2组.
答案
17. (1) 没有改变 理由:设矩形$ABCD$的宽为$a$,长为$\sqrt{2}a$,则易得$BC=a$,$BE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,$ME=MF=\frac{a}{2}$,$HF=LG=\frac{\sqrt{2}}{4}a$,$LN=\frac{a}{4}$. $\therefore BC:BE=a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$,$AE:ME=\frac{\sqrt{2}}{2}a:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$,$MF:HF=\frac{a}{2}:\frac{\sqrt{2}}{4}a=\sqrt{2}:1$,$LG:LN=\frac{\sqrt{2}}{4}a:\frac{a}{4}=\sqrt{2}:1$. $\therefore$ 矩形$ABCD$,$BCFE$,$AEML$,$GMFH$,$LGPN$的长与宽的比没有改变.
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段 答案不唯一,如$BC:BE=AE:ME$,$MF:HF=LG:LN$
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段 答案不唯一,如$BC:BE=AE:ME$,$MF:HF=LG:LN$
解析
【分析】
对于第(1)问，要判断对折后矩形的长与宽的比是否改变，可先根据原矩形的长宽比设参数表示原长和宽，再结合对折后对应边长度减半的规律，依次求出各矩形的长和宽，计算比值后与原比值对比即可得出结论。对于第(2)问，由第(1)问可知所有矩形的长宽比均相等，选取两组对应边的比相等的组合，即可得到成比例的线段。
【解析】
(1) 长与宽的比没有改变，理由如下：
设矩形$ABCD$的宽为$a$，由题意得它的长为$\sqrt{2}a$。
结合对折的性质可得：$BC=a$，$BE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$ME=MF=\frac{a}{2}$，$HF=LG=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$LN=\frac{a}{4}$。
分别计算各矩形的长宽比：
$BC:BE=a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$，
$AE:ME=\frac{\sqrt{2}}{2}a:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$，
$MF:HF=\frac{a}{2}:\frac{\sqrt{2}}{4}a=\sqrt{2}:1$，
$LG:LN=\frac{\sqrt{2}}{4}a:\frac{a}{4}=\sqrt{2}:1$。
因此所有矩形的长与宽的比均为$\sqrt{2}:1$，没有改变。
(2) 这些矩形中存在成比例的线段，只要比值为$\sqrt{2}:1$的两组线段都符合要求。
【答案】
(1) 没有改变 理由:设矩形$ABCD$的宽为$a$,长为$\sqrt{2}a$,则易得$BC=a$,$BE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,$ME=MF=\frac{a}{2}$,$HF=LG=\frac{\sqrt{2}}{4}a$,$LN=\frac{a}{4}$. $\therefore BC:BE=a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$,$AE:ME=\frac{\sqrt{2}}{2}a:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$,$MF:HF=\frac{a}{2}:\frac{\sqrt{2}}{4}a=\sqrt{2}:1$,$LG:LN=\frac{\sqrt{2}}{4}a:\frac{a}{4}=\sqrt{2}:1$. $\therefore$ 矩形$ABCD$,$BCFE$,$AEML$,$GMFH$,$LGPN$的长与宽的比没有改变.
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段 答案不唯一,如$BC:BE=AE:ME$,$MF:HF=LG:LN$
【知识点】
成比例线段，矩形的性质，比的化简
【点评】
本题结合矩形对折的操作，考查成比例线段的判断，通过设参数表示各边长度的方法，能直观简化比值计算过程，解题时需注意区分各矩形长和宽的对应关系，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，要判断对折后矩形的长与宽的比是否改变，可先根据原矩形的长宽比设参数表示原长和宽，再结合对折后对应边长度减半的规律，依次求出各矩形的长和宽，计算比值后与原比值对比即可得出结论。对于第(2)问，由第(1)问可知所有矩形的长宽比均相等，选取两组对应边的比相等的组合，即可得到成比例的线段。
【解析】
(1) 长与宽的比没有改变，理由如下：
设矩形$ABCD$的宽为$a$，由题意得它的长为$\sqrt{2}a$。
结合对折的性质可得：$BC=a$，$BE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$ME=MF=\frac{a}{2}$，$HF=LG=\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$LN=\frac{a}{4}$。
分别计算各矩形的长宽比：
$BC:BE=a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$，
$AE:ME=\frac{\sqrt{2}}{2}a:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$，
$MF:HF=\frac{a}{2}:\frac{\sqrt{2}}{4}a=\sqrt{2}:1$，
$LG:LN=\frac{\sqrt{2}}{4}a:\frac{a}{4}=\sqrt{2}:1$。
因此所有矩形的长与宽的比均为$\sqrt{2}:1$，没有改变。
(2) 这些矩形中存在成比例的线段，只要比值为$\sqrt{2}:1$的两组线段都符合要求。
【答案】
(1) 没有改变 理由:设矩形$ABCD$的宽为$a$,长为$\sqrt{2}a$,则易得$BC=a$,$BE=AE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,$ME=MF=\frac{a}{2}$,$HF=LG=\frac{\sqrt{2}}{4}a$,$LN=\frac{a}{4}$. $\therefore BC:BE=a:\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}:1$,$AE:ME=\frac{\sqrt{2}}{2}a:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$,$MF:HF=\frac{a}{2}:\frac{\sqrt{2}}{4}a=\sqrt{2}:1$,$LG:LN=\frac{\sqrt{2}}{4}a:\frac{a}{4}=\sqrt{2}:1$. $\therefore$ 矩形$ABCD$,$BCFE$,$AEML$,$GMFH$,$LGPN$的长与宽的比没有改变.
(2) 在这些矩形中,有成比例的线段 答案不唯一,如$BC:BE=AE:ME$,$MF:HF=LG:LN$
【知识点】
成比例线段，矩形的性质，比的化简
【点评】
本题结合矩形对折的操作，考查成比例线段的判断，通过设参数表示各边长度的方法，能直观简化比值计算过程，解题时需注意区分各矩形长和宽的对应关系，避免比值计算出错。
【难度系数】
0.7
