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1 已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$，点$C$在线段$AB$的延长线上，且$AB:AC=3:5$，则$AC$的长为（
A.8 cm
B.12 cm
C.20 cm
D.4 cm
C
）A.8 cm
B.12 cm
C.20 cm
D.4 cm
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件提取关键信息：已知线段AB的长度为12cm，且AB与AC的比值为3:5，要求AC的长度。首先可以利用成比例线段的性质，将比例关系转化为等式，再代入已知线段长度求解；也可以先分析线段位置：点C在AB延长线上，因此AC长度必然大于AB=12cm，可先排除小于等于12cm的错误选项，缩小判断范围。
【解析】
已知$AB:AC=3:5$，根据比例的基本性质可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$
将$AB=12\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{12}{AC}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3AC=12×5=60$
解得：$AC=20\ \mathrm{cm}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题型，侧重考察比例性质的基础运用能力，解题时既可以通过列比例式计算求解，也可以结合线段的位置特征先排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件提取关键信息：已知线段AB的长度为12cm，且AB与AC的比值为3:5，要求AC的长度。首先可以利用成比例线段的性质，将比例关系转化为等式，再代入已知线段长度求解；也可以先分析线段位置：点C在AB延长线上，因此AC长度必然大于AB=12cm，可先排除小于等于12cm的错误选项，缩小判断范围。
【解析】
已知$AB:AC=3:5$，根据比例的基本性质可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$
将$AB=12\ \mathrm{cm}$代入上式：
$\frac{12}{AC}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$3AC=12×5=60$
解得：$AC=20\ \mathrm{cm}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题型，侧重考察比例性质的基础运用能力，解题时既可以通过列比例式计算求解，也可以结合线段的位置特征先排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2 [2025聊城茌平期中]已知线段$a=2\ \mathrm{cm},b=4.1\ \mathrm{cm},c=4\ \mathrm{cm},d=8.2\ \mathrm{cm}$,则下列说法正确的是 (
A.$d ,b ,a ,c$ 成比例线段
B.$a ,c ,b ,d$ 成比例线段
C.$a ,d ,b ,c$ 成比例线段
D.$a ,d ,c ,b$ 成比例线段
B
)A.$d ,b ,a ,c$ 成比例线段
B.$a ,c ,b ,d$ 成比例线段
C.$a ,d ,b ,c$ 成比例线段
D.$a ,d ,c ,b$ 成比例线段
答案
2. B
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先明确成比例线段的定义：按顺序排列的四条线段$m,n,p,q$，若满足前两条的比等于后两条的比（即$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$），则这四条线段成比例。为了避免小数除法计算出错，可利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式验证：只要判断$m· q$和$n· p$是否相等即可，相等则成比例，反之不成比例，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
已知$a=2\ \mathrm{cm},b=4.1\ \mathrm{cm},c=4\ \mathrm{cm},d=8.2\ \mathrm{cm}$，根据比例的基本性质，若按顺序的四条线段成比例，则外项之积等于内项之积，逐一验证选项：
选项A：若$d,b,a,c$成比例，需满足$d· c = b· a$。计算得$d· c=8.2×4=32.8$，$b· a=4.1×2=8.2$，$32.8≠8.2$，故A错误；
选项B：若$a,c,b,d$成比例，需满足$a· d = c· b$。计算得$a· d=2×8.2=16.4$，$c· b=4×4.1=16.4$，两者相等，即$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，故B正确；
选项C：若$a,d,b,c$成比例，需满足$a· c = d· b$。计算得$a· c=2×4=8$，$d· b=8.2×4.1=33.62$，$8≠33.62$，故C错误；
选项D：若$a,d,c,b$成比例，需满足$a· b = d· c$。计算得$a· b=2×4.1=8.2$，$d· c=8.2×4=32.8$，$8.2≠32.8$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的判断，需注意成比例线段是有顺序要求的，不可随意调换线段顺序；验证时将比例式转化为等积式计算，能降低小数计算的出错率。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否成比例，首先明确成比例线段的定义：按顺序排列的四条线段$m,n,p,q$，若满足前两条的比等于后两条的比（即$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$），则这四条线段成比例。为了避免小数除法计算出错，可利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式验证：只要判断$m· q$和$n· p$是否相等即可，相等则成比例，反之不成比例，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
已知$a=2\ \mathrm{cm},b=4.1\ \mathrm{cm},c=4\ \mathrm{cm},d=8.2\ \mathrm{cm}$，根据比例的基本性质，若按顺序的四条线段成比例，则外项之积等于内项之积，逐一验证选项：
选项A：若$d,b,a,c$成比例，需满足$d· c = b· a$。计算得$d· c=8.2×4=32.8$，$b· a=4.1×2=8.2$，$32.8≠8.2$，故A错误；
选项B：若$a,c,b,d$成比例，需满足$a· d = c· b$。计算得$a· d=2×8.2=16.4$，$c· b=4×4.1=16.4$，两者相等，即$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，故B正确；
选项C：若$a,d,b,c$成比例，需满足$a· c = d· b$。计算得$a· c=2×4=8$，$d· b=8.2×4.1=33.62$，$8≠33.62$，故C错误；
选项D：若$a,d,c,b$成比例，需满足$a· b = d· c$。计算得$a· b=2×4.1=8.2$，$d· c=8.2×4=32.8$，$8.2≠32.8$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的判断，需注意成比例线段是有顺序要求的，不可随意调换线段顺序；验证时将比例式转化为等积式计算，能降低小数计算的出错率。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 小宁在绘制校园平面图时，经测量得知校园内A，B两点间的距离为150米，他考虑画一条5厘米的线段来表示，那么小宁绘制的校园平面图的比例尺是
1:3 000
。答案
3. 1:3 000
解析
【分析】
解题首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比。解题第一步需要统一图上距离和实际距离的单位，将实际距离的单位由米换算为厘米，再代入比例尺的公式化简，最终得到前项为1的最简整数比即可。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1米=100厘米
∴150米=150×100=15000厘米
根据比例尺的计算公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$，代入数据得：
$\mathrm{比例尺}=5\mathrm{cm}:15000\mathrm{cm}=1:3000$
【答案】
$1:3000$
【知识点】
比例尺的计算、长度单位换算
【点评】
本题是比例尺的基础应用题，解题的关键是先统一单位，再根据比例尺的定义进行化简计算，做题时要注意避免因单位未统一直接计算导致的错误。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比。解题第一步需要统一图上距离和实际距离的单位，将实际距离的单位由米换算为厘米，再代入比例尺的公式化简，最终得到前项为1的最简整数比即可。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1米=100厘米
∴150米=150×100=15000厘米
根据比例尺的计算公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$，代入数据得：
$\mathrm{比例尺}=5\mathrm{cm}:15000\mathrm{cm}=1:3000$
【答案】
$1:3000$
【知识点】
比例尺的计算、长度单位换算
【点评】
本题是比例尺的基础应用题，解题的关键是先统一单位，再根据比例尺的定义进行化简计算，做题时要注意避免因单位未统一直接计算导致的错误。
【难度系数】
0.9
4 若$a,b,c,d$是成比例线段，其中$b=2\ \mathrm{cm}$，$c=3\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$，则线段$a$的长为
1
$\mathrm{cm}.$答案
4. 1
解析
【分析】
解决本题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d是成比例线段，需满足顺序对应的比例关系，即a:b = c:d，根据比例的基本性质可转化为乘积式ad=bc，将已知的b、c、d的数值代入该式，即可求出a的长度。
【解析】
∵a，b，c，d是成比例线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质交叉相乘得：$ad=bc$
将$b=2\ \mathrm{cm}$，$c=3\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$代入上式：
$a×6=2×3$
即$6a=6$
解得$a=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查成比例线段的概念，解题的关键是注意成比例线段是按给定顺序对应成比例，不要随意调换比例内各项的位置，代入数值简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d是成比例线段，需满足顺序对应的比例关系，即a:b = c:d，根据比例的基本性质可转化为乘积式ad=bc，将已知的b、c、d的数值代入该式，即可求出a的长度。
【解析】
∵a，b，c，d是成比例线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质交叉相乘得：$ad=bc$
将$b=2\ \mathrm{cm}$，$c=3\ \mathrm{cm}$，$d=6\ \mathrm{cm}$代入上式：
$a×6=2×3$
即$6a=6$
解得$a=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查成比例线段的概念，解题的关键是注意成比例线段是按给定顺序对应成比例，不要随意调换比例内各项的位置，代入数值简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.85
5 如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,$AB=3,AD=6.5,BF=2$.
(1) 求$\frac{CD}{BC},\frac{EF}{CF},\frac{BF}{AB}$的值;
(2) 写出$AB,BC,CF,CD,EF,BF$这六条线段中的成比例线段(写出一组即可).
(1) 求$\frac{CD}{BC},\frac{EF}{CF},\frac{BF}{AB}$的值;
(2) 写出$AB,BC,CF,CD,EF,BF$这六条线段中的成比例线段(写出一组即可).
答案
5. (1) $\because$ 四边形$ABCD$与四边形$ABFE$都是矩形,$AB=3$,$AD=6.5$,$\therefore CD=EF=AB=3$,$BC=AD=6.5$. $\because BF=2$,$\therefore CF=BC-BF=6.5-2=4.5$. $\therefore \frac{CD}{BC}=\frac{3}{6.5}=\frac{6}{13}$,$\frac{EF}{CF}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$,$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$
(2) 答案不唯一,如$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$
(2) 答案不唯一,如$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$
解析
【分析】
(1) 要计算三个线段的比值，首先需利用矩形对边相等的性质确定各已知对应线段的长度：矩形ABCD中CD=AB、BC=AD，矩形ABFE中EF=AB，再结合CF=BC-BF算出CF的长度，最后将各线段长度代入比值化简即可。
(2) 成比例线段是指两组线段的比值相等，只需观察第(1)问算出的比值，找出比值相等的两组线段即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD和四边形ABFE都是矩形，矩形对边相等，
∴ $CD=AB=3$，$BC=AD=6.5$，$EF=AB=3$，
又
∵ $BF=2$，
∴ $CF=BC-BF=6.5-2=4.5$，
分别计算比值：
$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{6.5}=\frac{6}{13}$，
$\frac{EF}{CF}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$，
$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$。
(2) 成比例线段要求两组线段比值相等，由(1)的计算结果可找到一组成比例线段（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\frac{CD}{BC}=\frac{6}{13}$，$\frac{EF}{CF}=\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$；
(2) 示例：$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$（答案不唯一）
【知识点】
矩形的性质；线段的比；成比例线段
【点评】
本题属于基础题，解题关键是先利用矩形性质求出各未知线段的长度，再通过计算比值判断成比例线段，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算三个线段的比值，首先需利用矩形对边相等的性质确定各已知对应线段的长度：矩形ABCD中CD=AB、BC=AD，矩形ABFE中EF=AB，再结合CF=BC-BF算出CF的长度，最后将各线段长度代入比值化简即可。
(2) 成比例线段是指两组线段的比值相等，只需观察第(1)问算出的比值，找出比值相等的两组线段即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD和四边形ABFE都是矩形，矩形对边相等，
∴ $CD=AB=3$，$BC=AD=6.5$，$EF=AB=3$，
又
∵ $BF=2$，
∴ $CF=BC-BF=6.5-2=4.5$，
分别计算比值：
$\frac{CD}{BC}=\frac{3}{6.5}=\frac{6}{13}$，
$\frac{EF}{CF}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}$，
$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$。
(2) 成比例线段要求两组线段比值相等，由(1)的计算结果可找到一组成比例线段（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\frac{CD}{BC}=\frac{6}{13}$，$\frac{EF}{CF}=\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$；
(2) 示例：$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$（答案不唯一）
【知识点】
矩形的性质；线段的比；成比例线段
【点评】
本题属于基础题，解题关键是先利用矩形性质求出各未知线段的长度，再通过计算比值判断成比例线段，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6 [2025永州期末]已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，则下列变形不正确的是（
A.$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$
B.$2a=3b$
C.$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$
D.$3a=2b$
D
）A.$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$
B.$2a=3b$
C.$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$
D.$3a=2b$
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查比例的变形问题，解题核心是运用比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积（即交叉相乘相等）。解题时先根据已知比例式推导得到等积式，再逐一验证各选项的变形是否符合推导结果，选出错误的选项即可。
【解析】
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$2a=3b$。
对各选项逐一判断：
A选项：将$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$交叉相乘，得$2a=3b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
B选项：$2a=3b$与推导结果完全一致，变形正确，不符合题意；
C选项：将$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$交叉相乘，得$3b=2a$即$2a=3b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
D选项：$3a=2b$与推导结果$2a=3b$不符，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握比例交叉相乘相等的性质，通过验证等积式是否一致即可快速判断变形是否正确，解题时注意看清题干要求选择“不正确”的选项，避免因粗心看错题目丢分。
【难度系数】
0.9
本题考查比例的变形问题，解题核心是运用比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积（即交叉相乘相等）。解题时先根据已知比例式推导得到等积式，再逐一验证各选项的变形是否符合推导结果，选出错误的选项即可。
【解析】
已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$，根据比例的基本性质，交叉相乘可得：
$2a=3b$。
对各选项逐一判断：
A选项：将$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$交叉相乘，得$2a=3b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
B选项：$2a=3b$与推导结果完全一致，变形正确，不符合题意；
C选项：将$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$交叉相乘，得$3b=2a$即$2a=3b$，与推导结果一致，变形正确，不符合题意；
D选项：$3a=2b$与推导结果$2a=3b$不符，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握比例交叉相乘相等的性质，通过验证等积式是否一致即可快速判断变形是否正确，解题时注意看清题干要求选择“不正确”的选项，避免因粗心看错题目丢分。
【难度系数】
0.9
7 已知$3x-4y=0(y≠0)$.有下列变形:①$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$;②$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$;③$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$;④$\frac{3}{y}=\frac{4}{x}$;⑤$3x=4y$.其中,正确的是
①②④⑤
(填序号).答案
7. ①②④⑤
解析
【分析】
首先从已知等式$3x-4y=0(y≠0)$入手，先通过移项得到基础等式$3x=4y$，同时可推出$x≠0$（若$x=0$则$y=0$，与$y≠0$的条件矛盾）。再依据比例的基本性质“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个待判断的比例式交叉相乘，对比所得结果是否与$3x=4y$一致，同时确认分母均不为0，即可判断变形是否正确。
【解析】
已知$3x-4y=0(y≠0)$，第一步移项可得$3x=4y$，因此⑤正确；
接下来逐个验证其余变形：
1. 对于①$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$：根据比例的基本性质交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，且$y≠0$，分母有意义，故①正确；
2. 对于②$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$：交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，故②正确；
3. 对于③$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$：交叉相乘得$4x=3y$，与$3x=4y$不符，故③错误；
4. 对于④$\frac{3}{y}=\frac{4}{x}$：由$3x=4y$且$y≠0$可知$x≠0$，分母均有意义，交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，故④正确。
综上，正确的变形为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题重点考查比例基本性质的应用，解题时需注意结合已知条件确认比例式的分母不为0，避免忽略隐含条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8
首先从已知等式$3x-4y=0(y≠0)$入手，先通过移项得到基础等式$3x=4y$，同时可推出$x≠0$（若$x=0$则$y=0$，与$y≠0$的条件矛盾）。再依据比例的基本性质“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个待判断的比例式交叉相乘，对比所得结果是否与$3x=4y$一致，同时确认分母均不为0，即可判断变形是否正确。
【解析】
已知$3x-4y=0(y≠0)$，第一步移项可得$3x=4y$，因此⑤正确；
接下来逐个验证其余变形：
1. 对于①$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$：根据比例的基本性质交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，且$y≠0$，分母有意义，故①正确；
2. 对于②$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$：交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，故②正确；
3. 对于③$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$：交叉相乘得$4x=3y$，与$3x=4y$不符，故③错误；
4. 对于④$\frac{3}{y}=\frac{4}{x}$：由$3x=4y$且$y≠0$可知$x≠0$，分母均有意义，交叉相乘得$3x=4y$，与已知结论一致，故④正确。
综上，正确的变形为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
比例的基本性质、等式的基本性质
【点评】
本题重点考查比例基本性质的应用，解题时需注意结合已知条件确认比例式的分母不为0，避免忽略隐含条件导致判断错误。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 如图,在一个长为8 cm、宽为4 cm的大矩形中截去一个小矩形,使得留下的矩形(图中涂色部分)与原矩形相似,则留下的矩形的面积是 (
A.2 cm²
B.4 cm²
C.8 cm²
D.16 cm²
(第8题) (第9题) (第10题)
C
)A.2 cm²
B.4 cm²
C.8 cm²
D.16 cm²
(第8题) (第9题) (第10题)答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先明确原矩形的长和宽分别为8cm、4cm，留下的涂色矩形的一条边等于原矩形的宽4cm，设另一条边长为x cm，接下来根据相似的性质列出比例式，求解得到x的值后，再用矩形面积公式计算即可得到答案，解题时需要注意找准两个矩形的对应边，避免比例关系列反。
【解析】
设留下的矩形的较短边长为x cm。
已知原矩形长为8 cm，宽为4 cm，因为留下的矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{8}{4}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$8x=16$
解得：$x=2$
则留下的矩形的面积为：$4×2=8\ \mathrm{cm^2}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形性质，成比例线段，矩形面积计算
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，核心是找准相似图形的对应边，正确列出比例式求解，是对相似基础概念的巩固考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先明确原矩形的长和宽分别为8cm、4cm，留下的涂色矩形的一条边等于原矩形的宽4cm，设另一条边长为x cm，接下来根据相似的性质列出比例式，求解得到x的值后，再用矩形面积公式计算即可得到答案，解题时需要注意找准两个矩形的对应边，避免比例关系列反。
【解析】
设留下的矩形的较短边长为x cm。
已知原矩形长为8 cm，宽为4 cm，因为留下的矩形与原矩形相似，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{8}{4}=\frac{4}{x}$
交叉相乘得：$8x=16$
解得：$x=2$
则留下的矩形的面积为：$4×2=8\ \mathrm{cm^2}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形性质，成比例线段，矩形面积计算
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，核心是找准相似图形的对应边，正确列出比例式求解，是对相似基础概念的巩固考查。
【难度系数】
0.7
9 教材变式题 如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，连接PE，PF，BC，DC，则四边形AEPF与四边形ABCD
是
（填“是”或“不是”）相似多边形。答案
9. 是
解析
【分析】
要判断两个多边形是否相似，需同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。本题可先利用三角形中位线定理得出线段的位置与数量关系，再分别推导两个四边形的对应角关系、对应边的比值，最后对照相似多边形的判定条件判断即可。
【解析】
∵E是AB中点，P是AC中点，F是AD中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线，
∴PE//BC，$PE=\frac{1}{2}BC$，PF//DC，$PF=\frac{1}{2}DC$，
∴∠AEP=∠B，∠APE=∠ACB，∠AFP=∠D，∠APF=∠ACD，
∴∠EPF=∠APE+∠APF=∠ACB+∠ACD=∠BCD，又∠EAF=∠BAD（公共角），
∴四边形AEPF与四边形ABCD的对应角分别相等；
又
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{PE}{BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{PF}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴四边形AEPF与四边形ABCD的对应边成比例，且相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似多边形的定义，可知两个四边形是相似多边形。
【答案】
是
【知识点】
三角形中位线定理，相似多边形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握相似多边形的判定要求，结合中位线的性质推导边角的对应关系即可得出结论，注意判定相似多边形时对应角相等、对应边成比例两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
要判断两个多边形是否相似，需同时满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例。本题可先利用三角形中位线定理得出线段的位置与数量关系，再分别推导两个四边形的对应角关系、对应边的比值，最后对照相似多边形的判定条件判断即可。
【解析】
∵E是AB中点，P是AC中点，F是AD中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线，
∴PE//BC，$PE=\frac{1}{2}BC$，PF//DC，$PF=\frac{1}{2}DC$，
∴∠AEP=∠B，∠APE=∠ACB，∠AFP=∠D，∠APF=∠ACD，
∴∠EPF=∠APE+∠APF=∠ACB+∠ACD=∠BCD，又∠EAF=∠BAD（公共角），
∴四边形AEPF与四边形ABCD的对应角分别相等；
又
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{PE}{BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{PF}{DC}=\frac{1}{2}$，
∴四边形AEPF与四边形ABCD的对应边成比例，且相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似多边形的定义，可知两个四边形是相似多边形。
【答案】
是
【知识点】
三角形中位线定理，相似多边形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握相似多边形的判定要求，结合中位线的性质推导边角的对应关系即可得出结论，注意判定相似多边形时对应角相等、对应边成比例两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
10 如图,装裱一幅宽 40 cm、长 60 cm 的矩形画作,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画作相似,装裱上去的部分的上下的宽都为15 cm.若装裱上去的左右部分的宽都为x cm,则大矩形与原矩形画作的相似比为
$\frac{3}{2}$
.答案
10. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应边的比值即为相似比。第一步先确定两个矩形的对应边长：原画作是长60cm、宽40cm的矩形；装裱后大矩形的上下各加15cm，因此大矩形的长为原长加两个15cm，左右各加x cm，因此大矩形的宽为原宽加两个x cm。第二步根据相似的性质列比例式，对应边的比相等，即可求出相似比，注意相似比是大矩形与原矩形的对应边的比，不要弄反顺序。
【解析】
解：原矩形画作的长为60cm，宽为40cm。
装裱后大矩形的长为：$60 + 15×2 = 90\ \mathrm{cm}$，大矩形的宽为$(40 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
∵大矩形与原矩形画作相似，
∴两者对应边的比相等，即$\frac{\mathrm{大矩形的长}}{\mathrm{原矩形的长}} = \frac{\mathrm{大矩形的宽}}{\mathrm{原矩形的宽}}$。
代入数据得相似比为：$\frac{90}{60} = \frac{3}{2}$，验证：代入比例式可解得$x=10$，$\frac{40+2×10}{40}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}$，比例成立。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，成比例线段
【点评】
本题考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到两个矩形的对应边长，明确相似比的先后顺序，避免因对应边找错或者顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应边的比值即为相似比。第一步先确定两个矩形的对应边长：原画作是长60cm、宽40cm的矩形；装裱后大矩形的上下各加15cm，因此大矩形的长为原长加两个15cm，左右各加x cm，因此大矩形的宽为原宽加两个x cm。第二步根据相似的性质列比例式，对应边的比相等，即可求出相似比，注意相似比是大矩形与原矩形的对应边的比，不要弄反顺序。
【解析】
解：原矩形画作的长为60cm，宽为40cm。
装裱后大矩形的长为：$60 + 15×2 = 90\ \mathrm{cm}$，大矩形的宽为$(40 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
∵大矩形与原矩形画作相似，
∴两者对应边的比相等，即$\frac{\mathrm{大矩形的长}}{\mathrm{原矩形的长}} = \frac{\mathrm{大矩形的宽}}{\mathrm{原矩形的宽}}$。
代入数据得相似比为：$\frac{90}{60} = \frac{3}{2}$，验证：代入比例式可解得$x=10$，$\frac{40+2×10}{40}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}$，比例成立。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，成比例线段
【点评】
本题考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确找到两个矩形的对应边长，明确相似比的先后顺序，避免因对应边找错或者顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.7
