1[2026安徽宣城质检]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,点E在AB上,EF//AD交CD于点F,若AE:AB=1:3,则FC:DC等于 ()

A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.3:2

(第1题图)
(第2题图)

∵ AE:AB=1:3,
∴ EB:AB=2:3.
∵ 在四边形ABCD中,AD//BC,EF//AD,
∴ AD//BC//EF,
∴ FC:DC=EB:AB=2:3. 故选 C.

【分析】
首先观察题干给出的平行条件：AD//BC，EF//AD，可先依据平行线的传递性得出三条直线互相平行；再结合已知的AE:AB=1:3，先求出EB与AB的比值，最后根据平行线分线段成比例定理，被平行线所截的两条线段AB、CD上的对应线段比值相等，即可求出FC:DC的比值。
【解析】
已知AE:AB=1:3，因此EB = AB - AE，可得EB:AB=(3-1):3=2:3。
∵ 四边形ABCD中AD//BC，且EF//AD，
∴ 根据平行线的传递性可得AD//BC//EF，
根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截AB、CD两条线段，所得的对应线段成比例，因此FC:DC=EB:AB=2:3。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行线的传递性
【点评】
本题是基础应用题，重点考察平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是先推导得到三条互相平行的直线，再结合已知比例关系推导对应线段的比例，熟练掌握定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2[2026上海嘉定区期末]如图,两条不平行的直线$l_1$与直线$l_2$相交于点$O$,四条平行线分别交直线$l_1$于点$A,B,C,D$,分别交直线$l_2$于点$A_1,B_1,C_1,D_1$,则有$AA_1// BB_1// CC_1// DD_1$,如果$A_1O=3,OB_1=B_1C_1=2,C_1D_1=4$,那么线段之差最大的是（）

A.$BD-AB$
B.$OC-OA$
C.$OC-CD$
D.$CD-OB$

∵ $AA_1// BB_1$, $A_1O = 3$, $OB_1 = 2$,
∴ $\frac{OA}{OB}=\frac{OA_1}{OB_1}=\frac{3}{2}$, 则令 $OA = 3k, OB = 2k$. 同理可得, $BC = 2k, CD = 4k$,
∴ $BD - AB = k$, $OC - OA = k$, $OC - CD = 0$, $CD - OB = 2k$, 显然 $2k$ 最大, 则线段之差最大的是 $CD-OB$. 故选 D.

【分析】
首先观察图形，发现一组平行线被两条相交直线所截，可运用平行线分线段成比例定理得到两条直线上对应线段的比例关系。首先根据$l_2$上已知的线段长度，得出$l_1$上各线段的比例，设参数表示$l_1$上的各段线段长度，再分别计算四个选项的线段差值，比较大小即可得出答案。
【解析】
∵ $AA_1// BB_1// CC_1// DD_1$，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{OA}{OA_1}=\frac{OB}{OB_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$
已知$A_1O=3,OB_1=B_1C_1=2,C_1D_1=4$，因此$OA:OB:BC:CD=3:2:2:4$。
设$OA=3k$（$k＞0$），则$OB=2k$，$BC=2k$，$CD=4k$，$OC=OB+BC=4k$。
分别计算各选项：
A. $BD-AB=(BC+CD)-(OA+OB)=(2k+4k)-(3k+2k)=k$
B. $OC-OA=4k-3k=k$
C. $OC-CD=4k-4k=0$
D. $CD-OB=4k-2k=2k$
比较得$2k＞k＞0$，因此差值最大的是$CD-OB$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是通过定理得到两条截线上的线段比例关系，采用设参数的方法简化计算，避免直接求线段长度的麻烦，能很好地考查学生对定理的掌握程度和简单计算能力。
【难度系数】
0.7

3[2026广东深圳期末]透视是一种绘画技巧,通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感. 如图是运用透视法绘制的一个图案,已知$AB // CD // EF$, $\frac{AC}{CE} = \frac{3}{2}$, 则$\frac{BD}{DF}$的值为.

∵ $AB// CD// EF$,
∴ $\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$.
∵ $\frac{AC}{CE}=\frac{3}{2}$,
∴ $\frac{BD}{DF}=\frac{3}{2}$, 故答案为$\frac{3}{2}$.

【分析】
首先观察题目给出的条件，已知AB、CD、EF三条直线互相平行，这三条平行线同时截了两条直线（分别是经过E、C、A的直线和经过F、D、B的直线），此时可联想到平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。我们只需要找到与所求$\frac{BD}{DF}$对应的线段比值，代入已知的$\frac{AC}{CE}=\frac{3}{2}$即可求出结果。
【解析】
∵ $AB// CD// EF$，
∴ 根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
∵ $\frac{AC}{CE}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{BD}{DF}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合绘画中的透视技巧设题，考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的关键是准确识别被平行线截得的对应线段，题型比较基础。
【难度系数】
0.8

4 如图,在$6×6$的正方形网格中,连接小正方形中两个顶点A,B,线段AB与网格线的其中两个交点为M,N,那么$AM:MN:NB=$ ()


A.$1:3:4$
B.$1:2:3$
C.$1:3:2$
D.$1:2:4$

如图.
∵ $CM// DN// BE$,
∴ $AM:MN:BN=AC:CD:DE=1:3:2$. 故选 C.

【分析】
要计算斜线段AB上AM、MN、NB的比值，直接计算各段斜线段长度较为复杂，可利用平行线分线段成比例定理转化问题：首先观察到网格中的竖直网格线互相平行，过点A作垂直于水平网格线的直线AE，与各竖直网格线、底部水平网格线分别交于C、D、E，此时平行的竖直网格线截AB和AE两条直线，对应线段成比例，只需计算竖直方向上AC、CD、DE的长度比，即可得到AM:MN:NB的比值。
【解析】
过点A作AE垂直于水平网格线，交竖直网格线于点C、D，交最下方水平网格线于点E。
由网格的特征可得：CM、DN、BE均为竖直方向的线段，因此$CM// DN// BE$。
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得$AM:MN:NB=AC:CD:DE$。
数网格可知，AC的长度为1个单位，CD的长度为3个单位，DE的长度为2个单位，因此$AC:CD:DE=1:3:2$，即$AM:MN:NB=1:3:2$。
【答案】
C

【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理在网格中的典型应用，解题关键是借助网格中天然的平行线段，将斜向的线段比例转化为方便计数的竖直方向线段比例，解题时要注意对应线段的匹配关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7

5[2025安徽滁州期中]如图,某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图,若图中的两条虚线互相平行,则点P表示的数是 ()


A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\dfrac{10}{3}$
D.5

设点 P 表示的数为 x, 则由两条虚线互相平行可得 $\frac{x}{10}=\frac{2-1}{4-1}$, 解得 $x=\frac{10}{3}$,
∴ 点 P 表示的数为$\frac{10}{3}$. 故选 C.

【分析】
本题可结合平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，数轴原点与斜直尺的0刻度重合，两条虚线平行，满足平行线分线段成比例的适用条件。我们可以设点P表示的数为x，找到数轴、斜直尺上两组对应线段的长度，根据“平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”列出比例式，求解即可得到点P表示的数。
【解析】
设点P表示的数为x。
∵图中的两条虚线互相平行，根据平行线分线段成比例定理，两条平行虚线截数轴和斜直尺所得的对应线段成比例，
∴可得比例式：$\frac{x}{10}=\frac{2}{6}$
解得：$x=\frac{10}{3}$
即点P表示的数为$\frac{10}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、数轴的应用、比例计算
【点评】
本题是几何定理结合数轴的应用型题目，解题核心是准确找到对应线段，列出正确的比例式，侧重考查对定理的理解和灵活运用能力，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

6如图，$DE// BC$，$EF// CG$，$AD:AB=1:3$，$AE=3$.
(1)求$EC$的值；
(2)求证：$AD· AG=AF· AB$.

刷易错…………小心有坑~

(1)解: $\because DE// BC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
$\because AD:AB=1:3,AE=3,\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$, 解得 $AC=9$,
$\therefore EC=AC-AE=9-3=6$.
(2)证明: $\because EF// CG,\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$.
又 $\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$,
$\therefore AD· AG=AF· AB$.

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用。对于(1)问，已知$DE// BC$，可根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，得到$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入已知的线段比和$AE$的长度即可求出$AC$的长度，再用$AC$减去$AE$即可得到$EC$的长。对于(2)问，要证明等积式，通常先将其转化为比例式，即需证$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，结合(1)中的比例关系，再由$EF// CG$得到$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，通过等量代换得到所需比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1) 解：$\because DE// BC$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
$\because AD:AB=1:3$，$AE=3$，$\therefore \frac{3}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=9$，
$\therefore EC=AC-AE=9-3=6$。
(2) 证明：$\because EF// CG$，$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$。
又$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$AD· AG=AF· AB$，原式得证。
【答案】
(1) $EC=6$；(2) 证明成立。
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题型，解题的核心是结合平行线找到对应线段的比例关系，证明等积式时先转化为比例式再利用等量代换推导的方法是这类题的常用思路，掌握基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

7△ABC中，AB=6，AC=9，点P是直线AB上一点，且AP=2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为。

如图(1),当点 P 在边 AB 上时, $\because AB=6,AC=9,AP=2$, $\therefore BP=AB-AP=6-2=4$. $\because PM// BC$, $\therefore \frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$, 即 $\frac{4}{6}=\frac{CM}{9}$, $\therefore CM=6$.

如图(2),当点 P 在边 BA 的延长线上时, $\because AB=6,AC=9,AP=2$, $\therefore BP=AB+AP=6+2=8$. $\because PM// BC$, $\therefore \frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$, 即 $\frac{8}{6}=\frac{CM}{9}$, $\therefore CM=12$. 综上,CM 的长为 6 或 12. 故答案为 6 或 12.

【分析】
题目中点P在直线AB上，因此存在两种位置情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上，需分类讨论求解。两种情况均满足PM//BC，可利用平行于三角形一边的直线截两边（或两边延长线）对应线段成比例的性质，列出比例式计算MC的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在边AB上时：
已知AB=6，AP=2，因此$BP=AB-AP=6-2=4$。
$\because PM// BC$，由平行线分线段成比例推论可得$\frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$，
代入AC=9，得$\frac{4}{6}=\frac{CM}{9}$，解得$CM=6$。

2. 当点P在边BA的延长线上时：
已知AB=6，AP=2，因此$BP=AB+AP=6+2=8$。
$\because PM// BC$，由平行线分线段成比例推论可得$\frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$，
代入AC=9，得$\frac{8}{6}=\frac{CM}{9}$，解得$CM=12$。
综上，MC的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
平行线分线段成比例，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点P在直线AB上”的条件，仅考虑点P在线段AB上的情况导致漏解，解题时需仔细审题，明确点的位置范围，结合几何性质分类求解。
【难度系数】
0.6