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1[2026安徽合肥长丰期中]已知四条线段a，b,c,d是成比例线段，即$a:b=c:d$，下列说法错误的是（
A.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
B.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
C.$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$
D.$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
D
）A.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
B.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
C.$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$
D.$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
答案
1. D 【解析】
∵ $a:b=c:d,\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，选项A、B、C的变形均符合比例性质，选项D变形错误。
∵ $a:b=c:d,\therefore \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，选项A、B、C的变形均符合比例性质，选项D变形错误。
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先将题目给出的线段成比例的条件转化为分数形式的比例式，明确比例的核心性质：比例的两内项之积等于两外项之积。对每个选项的比例式，通过交叉相乘得到对应的乘积等式，和原比例式推导的乘积等式对比，不一致的即为错误选项。
【解析】
∵ 四条线段$a,b,c,d$是成比例线段，即$a:b=c:d$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，故A选项说法正确，不符合题意；
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得$ad=bc$。
对B选项：$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，交叉相乘得$ad=bc$，与原推导结果一致，说法正确，不符合题意；
对C选项：$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$，交叉相乘得$ad=bc$，与原推导结果一致，说法正确，不符合题意；
对D选项：$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$ac=bd$，与$ad=bc$不一致，说法错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例变形的正误判断，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘验证乘积等式是否一致即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先将题目给出的线段成比例的条件转化为分数形式的比例式，明确比例的核心性质：比例的两内项之积等于两外项之积。对每个选项的比例式，通过交叉相乘得到对应的乘积等式，和原比例式推导的乘积等式对比，不一致的即为错误选项。
【解析】
∵ 四条线段$a,b,c,d$是成比例线段，即$a:b=c:d$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，故A选项说法正确，不符合题意；
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得$ad=bc$。
对B选项：$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，交叉相乘得$ad=bc$，与原推导结果一致，说法正确，不符合题意；
对C选项：$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$，交叉相乘得$ad=bc$，与原推导结果一致，说法正确，不符合题意；
对D选项：$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$，交叉相乘得$ac=bd$，与$ad=bc$不一致，说法错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例变形的正误判断，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘验证乘积等式是否一致即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=3(3b+d-2f≠0)$，则$\frac{3a+c-2e}{3b+d-2f}$的值是（）
A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$3$
D.无法确定
A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$3$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
本题是已知多个比值相等求分式值的基础题，解题思路如下：首先根据比例的基本性质，由已知的等比关系将a、c、e分别用对应的分母b、d、f和公共比值3表示，再代入所求分式的分子，整理后可发现分子和分母存在倍数关系，结合题目给出的分母不为0的条件，约分即可得到结果；也可直接运用等比性质，只要分母的线性组合不为0，所求分式的比值就等于原公共比值。
【解析】
方法一：利用比例基本性质求解
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=3$
∴ $a=3b$，$c=3d$，$e=3f$
将上述关系代入所求分式的分子：
$3a+c-2e=3×3b + 3d - 2×3f =9b+3d-6f=3(3b+d-2f)$
又
∵ $3b+d-2f≠0$
∴ $\frac{3a+c-2e}{3b+d-2f}=\frac{3(3b+d-2f)}{3b+d-2f}=3$
方法二：利用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=3$，且$3b+d-2f≠0$
根据等比性质：若$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=…=\frac{x_n}{y_n}=k$，且$y_1+y_2+…+y_n≠0$，则$\frac{x_1+x_2+…+x_n}{y_1+y_2+…+y_n}=k$
可得$\frac{3a+c-2e}{3b+d-2f}=3$
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质、等比性质、分式约分
【点评】
本题考察比例性质的基础应用，解题核心是掌握比例式和等积式的转化，或明确等比性质的适用条件，只要注意分母不为0的前提，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
本题是已知多个比值相等求分式值的基础题，解题思路如下：首先根据比例的基本性质，由已知的等比关系将a、c、e分别用对应的分母b、d、f和公共比值3表示，再代入所求分式的分子，整理后可发现分子和分母存在倍数关系，结合题目给出的分母不为0的条件，约分即可得到结果；也可直接运用等比性质，只要分母的线性组合不为0，所求分式的比值就等于原公共比值。
【解析】
方法一：利用比例基本性质求解
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=3$
∴ $a=3b$，$c=3d$，$e=3f$
将上述关系代入所求分式的分子：
$3a+c-2e=3×3b + 3d - 2×3f =9b+3d-6f=3(3b+d-2f)$
又
∵ $3b+d-2f≠0$
∴ $\frac{3a+c-2e}{3b+d-2f}=\frac{3(3b+d-2f)}{3b+d-2f}=3$
方法二：利用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=3$，且$3b+d-2f≠0$
根据等比性质：若$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=…=\frac{x_n}{y_n}=k$，且$y_1+y_2+…+y_n≠0$，则$\frac{x_1+x_2+…+x_n}{y_1+y_2+…+y_n}=k$
可得$\frac{3a+c-2e}{3b+d-2f}=3$
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质、等比性质、分式约分
【点评】
本题考察比例性质的基础应用，解题核心是掌握比例式和等积式的转化，或明确等比性质的适用条件，只要注意分母不为0的前提，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
3(1)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，且$a+3b-2c=9$，则$a+b-c=$.
(2)已知$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$，则$\frac{a}{b}=$，$\frac{b}{b-a}=$，$\frac{b}{a+b}=$.
(2)已知$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$，则$\frac{a}{b}=$，$\frac{b}{b-a}=$，$\frac{b}{a+b}=$.
答案
10. 3
解析
【分析】
(1)对于连等的比例式，常用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，代入已知等式求出k的值，再代入待求式计算即可。
(2)先将已知的比例式变形，求出a与b的比值，再将a用含b的代数式表示，分别代入各个待求分式，约去b后就能得到结果，注意隐含条件b≠0。
【解析】
(1)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
将其代入$a+3b-2c=9$，得：
$2k + 3×3k - 2×4k = 9$
化简得$3k=9$，解得$k=3$。
因此$a+b-c=2k+3k-4k=k=3$。
(2)对$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$交叉相乘得$3(a+2b)=7b$，展开得$3a+6b=7b$，整理得$3a=b$，因此$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$。
把$b=3a$（$a≠0$）代入$\frac{b}{b-a}$得：$\frac{3a}{3a-a}=\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2}$；
把$b=3a$代入$\frac{b}{a+b}$得：$\frac{3a}{a+3a}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$3$；(2)$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$
【知识点】
比例的性质，参数法求值，分式化简
【点评】
本题考查比例性质的基础应用，设参数法是解决等比类问题的常用技巧，解题时注意利用比值关系消元，化简时注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1)对于连等的比例式，常用设参数k的方法，将a、b、c都用含k的代数式表示，代入已知等式求出k的值，再代入待求式计算即可。
(2)先将已知的比例式变形，求出a与b的比值，再将a用含b的代数式表示，分别代入各个待求分式，约去b后就能得到结果，注意隐含条件b≠0。
【解析】
(1)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
将其代入$a+3b-2c=9$，得：
$2k + 3×3k - 2×4k = 9$
化简得$3k=9$，解得$k=3$。
因此$a+b-c=2k+3k-4k=k=3$。
(2)对$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$交叉相乘得$3(a+2b)=7b$，展开得$3a+6b=7b$，整理得$3a=b$，因此$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$。
把$b=3a$（$a≠0$）代入$\frac{b}{b-a}$得：$\frac{3a}{3a-a}=\frac{3a}{2a}=\frac{3}{2}$；
把$b=3a$代入$\frac{b}{a+b}$得：$\frac{3a}{a+3a}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$3$；(2)$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$
【知识点】
比例的性质，参数法求值，分式化简
【点评】
本题考查比例性质的基础应用，设参数法是解决等比类问题的常用技巧，解题时注意利用比值关系消元，化简时注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
4 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}$，求：
(1)$\frac{3b-2a}{c}$的值；
(2)若$△ ABC$的周长为90，求$△ ABC$的面积。
(1)$\frac{3b-2a}{c}$的值；
(2)若$△ ABC$的周长为90，求$△ ABC$的面积。
答案
解：
(1) 设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k$（$k＞0$），
则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
将其代入$\frac{3b-2a}{c}$得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由题意得$a+b+c=90$，
将$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$代入得：
$5k+12k+13k=90$
$30k=90$
解得$k=3$。
因此$a=15$，$b=36$，$c=39$。
因为$a^2+b^2=15^2+36^2=1521$，$c^2=39^2=1521$，
所以$a^2+b^2=c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且$a,b$为直角边。
$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$
综上，(1)的值为$\boldsymbol{2}$；(2)$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{270}$。
(1) 设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k$（$k＞0$），
则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
将其代入$\frac{3b-2a}{c}$得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$
(2) 由题意得$a+b+c=90$，
将$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$代入得：
$5k+12k+13k=90$
$30k=90$
解得$k=3$。
因此$a=15$，$b=36$，$c=39$。
因为$a^2+b^2=15^2+36^2=1521$，$c^2=39^2=1521$，
所以$a^2+b^2=c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且$a,b$为直角边。
$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$
综上，(1)的值为$\boldsymbol{2}$；(2)$△ ABC$的面积为$\boldsymbol{270}$。
解析
【分析】
遇到连比形式的等式，我们可以采用参数法求解：设公共比值为参数$k$（$k＞0$，因为三角形边长为正数），就能将$a、b、c$三边均用含$k$的代数式表示。第(1)问直接将用$k$表示的三边代入待求式，化简后$k$可约去，直接得到结果；第(2)问先结合周长条件求出$k$的取值，得到三边的具体长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，最后选择对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k$（$k＞0$），则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
将上述表达式代入$\frac{3b-2a}{c}$得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$。
(2) 由题意得$△ ABC$的周长$a+b+c=90$，
将$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$代入周长公式得：$5k+12k+13k=90$，
合并同类项得$30k=90$，解得$k=3$。
因此三边分别为：$a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
验证三边关系：$a^2+b^2=15^2+36^2=225+1296=1521$，$c^2=39^2=1521$，
可得$a^2+b^2=c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且$a、b$为两条直角边。
则$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{270}$
【知识点】
比例的性质；勾股定理逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是比例与三角形知识结合的基础综合题，解题核心是通过参数法将连比转化为含同一参数的代数式，简化计算过程，同时需要熟练掌握用勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
遇到连比形式的等式，我们可以采用参数法求解：设公共比值为参数$k$（$k＞0$，因为三角形边长为正数），就能将$a、b、c$三边均用含$k$的代数式表示。第(1)问直接将用$k$表示的三边代入待求式，化简后$k$可约去，直接得到结果；第(2)问先结合周长条件求出$k$的取值，得到三边的具体长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形形状，最后选择对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k$（$k＞0$），则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
将上述表达式代入$\frac{3b-2a}{c}$得：
$\frac{3b-2a}{c}=\frac{3×12k - 2×5k}{13k}=\frac{36k-10k}{13k}=\frac{26k}{13k}=2$。
(2) 由题意得$△ ABC$的周长$a+b+c=90$，
将$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$代入周长公式得：$5k+12k+13k=90$，
合并同类项得$30k=90$，解得$k=3$。
因此三边分别为：$a=5×3=15$，$b=12×3=36$，$c=13×3=39$。
验证三边关系：$a^2+b^2=15^2+36^2=225+1296=1521$，$c^2=39^2=1521$，
可得$a^2+b^2=c^2$，即$△ ABC$是直角三角形，且$a、b$为两条直角边。
则$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15×36=270$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{270}$
【知识点】
比例的性质；勾股定理逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是比例与三角形知识结合的基础综合题，解题核心是通过参数法将连比转化为含同一参数的代数式，简化计算过程，同时需要熟练掌握用勾股定理逆定理判断直角三角形的方法。
【难度系数】
0.7
5 在比例尺为$1:50\ 000$的地图上量得甲、乙两地的距离为10 cm，则甲、乙两地的实际距离是（）
A.500 km
B.50 km
C.5 km
D.0.5 km
A.500 km
B.50 km
C.5 km
D.0.5 km
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆比例尺的定义：比例尺等于图上距离与实际距离的比。我们可以先根据比例尺的关系设实际距离为未知数，列比例式求解得到以厘米为单位的实际距离，再将单位换算为千米，对应选出正确选项即可，解题过程中要注意单位换算的进率，避免换算错误。
【解析】
根据比例尺的公式：$\frac{图上距离}{实际距离}=比例尺$。
设甲、乙两地的实际距离为$x$ cm，已知比例尺为$1:50000$，图上距离为10 cm，代入公式得：
$\frac{1}{50000}=\frac{10}{x}$
根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解得$x=10×50000=500000$ cm。
进行单位换算：$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，因此$500000\mathrm{cm}=500000÷100000=5\mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的应用、比例的性质、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例尺相关的计算，解题的易错点为单位换算环节，做题时要注意统一单位后再换算，避免失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆比例尺的定义：比例尺等于图上距离与实际距离的比。我们可以先根据比例尺的关系设实际距离为未知数，列比例式求解得到以厘米为单位的实际距离，再将单位换算为千米，对应选出正确选项即可，解题过程中要注意单位换算的进率，避免换算错误。
【解析】
根据比例尺的公式：$\frac{图上距离}{实际距离}=比例尺$。
设甲、乙两地的实际距离为$x$ cm，已知比例尺为$1:50000$，图上距离为10 cm，代入公式得：
$\frac{1}{50000}=\frac{10}{x}$
根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解得$x=10×50000=500000$ cm。
进行单位换算：$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，因此$500000\mathrm{cm}=500000÷100000=5\mathrm{km}$。
【答案】
C
【知识点】
比例尺的应用、比例的性质、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例尺相关的计算，解题的易错点为单位换算环节，做题时要注意统一单位后再换算，避免失误丢分。
【难度系数】
0.8
6[2026安徽六安期中]古希腊艺术家认为当人的头顶至肚脐的长度(上半身的长度)与肚脐至足底的长度(下半身的长度)的比值为“黄金分割数”时，人的身材是最优美的.一位女士身高为154 cm，她上半身的长度为62 cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加.她应选择的高跟鞋的鞋跟高约为(精确到1 cm)()
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
C
解析
【分析】
首先明确黄金分割的比值约为0.618，本题中女士穿上高跟鞋后，上半身长度不变，仅下半身长度增加，要使上半身与下半身的比值等于黄金分割比，我们可以设鞋跟高度为未知数，根据比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
该女士原有下半身长度为：$154 - 62 = 92\ \mathrm{cm}$。
设她应选择的高跟鞋鞋跟高为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意，穿上高跟鞋后上半身与下半身的比值等于黄金分割比，可列方程：
$\frac{62}{92+x}\approx0.618$
解方程得：
$92+x\approx62÷0.618\approx100.32$
$x\approx100.32 - 92\approx8.32\approx8\ \mathrm{cm}$
所以应选鞋跟高约8cm的高跟鞋。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；比例的应用
【点评】
本题结合生活实际考查黄金分割的相关应用，解题的关键是找准不变量（上半身长度）和变化量（下半身长度），根据黄金分割的比例关系列方程计算即可，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
首先明确黄金分割的比值约为0.618，本题中女士穿上高跟鞋后，上半身长度不变，仅下半身长度增加，要使上半身与下半身的比值等于黄金分割比，我们可以设鞋跟高度为未知数，根据比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
该女士原有下半身长度为：$154 - 62 = 92\ \mathrm{cm}$。
设她应选择的高跟鞋鞋跟高为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意，穿上高跟鞋后上半身与下半身的比值等于黄金分割比，可列方程：
$\frac{62}{92+x}\approx0.618$
解方程得：
$92+x\approx62÷0.618\approx100.32$
$x\approx100.32 - 92\approx8.32\approx8\ \mathrm{cm}$
所以应选鞋跟高约8cm的高跟鞋。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割；比例的应用
【点评】
本题结合生活实际考查黄金分割的相关应用，解题的关键是找准不变量（上半身长度）和变化量（下半身长度），根据黄金分割的比例关系列方程计算即可，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
7 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴含着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作$GH ⊥ AD$，交AD的延长线于点H，则图中矩形是黄金矩形的是（）
A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个矩形是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定标准：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因此我们需要计算各选项矩形的邻边长度，再求比值与黄金比对比即可。为了简化计算，可设正方形ABCD的边长为2（中点分边长为1，避免分数运算），先利用勾股定理求出半径FD的长度，进而得到CG的长度，最后逐一验证各选项的邻边比值即可。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$2$，
$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，
$\therefore FC=\frac{1}{2}BC=1$，$CD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ FCD$中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because$以$F$为圆心，$FD$为半径画弧交$BC$的延长线于$G$，
$\therefore FG=FD=\sqrt{5}$，
$\therefore CG=FG-FC=\sqrt{5}-1$。
逐一分析选项：
A. 矩形$ABFE$的邻边为$2$和$1$，宽长比为$\frac{1}{2}$，不符合黄金比；
B. 矩形$EFCD$的邻边为$2$和$1$，宽长比为$\frac{1}{2}$，不符合黄金比；
C. 矩形$EFGH$的邻边为$2$和$\sqrt{5}$，宽长比为$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，不符合黄金比；
D. 矩形$DCGH$的宽为$CG=\sqrt{5}-1$，长为$CD=2$，宽长比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合几何作图场景考查黄金矩形的判定，解题时可通过设置合适的参数简化计算过程，结合勾股定理求出未知线段长度后，比对黄金比即可得出结论，注重对基础概念和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
要判断哪个矩形是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定标准：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因此我们需要计算各选项矩形的邻边长度，再求比值与黄金比对比即可。为了简化计算，可设正方形ABCD的边长为2（中点分边长为1，避免分数运算），先利用勾股定理求出半径FD的长度，进而得到CG的长度，最后逐一验证各选项的邻边比值即可。
【解析】
设正方形$ABCD$的边长为$2$，
$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，
$\therefore FC=\frac{1}{2}BC=1$，$CD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ FCD$中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because$以$F$为圆心，$FD$为半径画弧交$BC$的延长线于$G$，
$\therefore FG=FD=\sqrt{5}$，
$\therefore CG=FG-FC=\sqrt{5}-1$。
逐一分析选项：
A. 矩形$ABFE$的邻边为$2$和$1$，宽长比为$\frac{1}{2}$，不符合黄金比；
B. 矩形$EFCD$的邻边为$2$和$1$，宽长比为$\frac{1}{2}$，不符合黄金比；
C. 矩形$EFGH$的邻边为$2$和$\sqrt{5}$，宽长比为$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，不符合黄金比；
D. 矩形$DCGH$的宽为$CG=\sqrt{5}-1$，长为$CD=2$，宽长比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合几何作图场景考查黄金矩形的判定，解题时可通过设置合适的参数简化计算过程，结合勾股定理求出未知线段长度后，比对黄金比即可得出结论，注重对基础概念和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
8[2026安徽合肥校级期中]“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观。若正方形“黄金格”的边长为10 cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为
刷易错…………小心有坑~
$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$
。刷易错…………小心有坑~
答案
AB的两个黄金分割点,AB=10 cm,
∴ $AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$,
∴ $CD=AC+BD-AB=5(\sqrt{5}-1)+5(\sqrt{5}-1)-10=(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$,
∴ 四个黄金分割点组成的正方形的边长为$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$.
故答案为$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：若点P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，则$MP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}MN$。观察图形可知，四个黄金分割点组成的正方形的边长，等于竖直方向线段AB上两个黄金分割点C、D之间的距离。我们先根据黄金分割的比例求出AC、BD的长度，再利用线段和差关系求出CD的长度即可。
【解析】
已知正方形边长为10 cm，即线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，点C、D是AB的两个黄金分割点，且AC、BD均为较长线段。
根据黄金分割的定义，得：
$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
观察线段AB的组成可得：$AC+BD=AB+CD$，因此：
$CD=AC+BD-AB$
代入数值计算：
$CD=5(\sqrt{5}-1)+5(\sqrt{5}-1)-10$
$=5\sqrt{5}-5+5\sqrt{5}-5-10$
$=(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$
即四个黄金分割点组成的正方形的边长为$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算，正方形的性质
【点评】
本题将数学知识与传统书法结构规则结合，考查黄金分割的实际应用，解题的关键是准确识别黄金分割点对应的线段比例，再结合线段的和差关系计算目标线段长度，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确黄金分割的定义：若点P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，则$MP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}MN$。观察图形可知，四个黄金分割点组成的正方形的边长，等于竖直方向线段AB上两个黄金分割点C、D之间的距离。我们先根据黄金分割的比例求出AC、BD的长度，再利用线段和差关系求出CD的长度即可。
【解析】
已知正方形边长为10 cm，即线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，点C、D是AB的两个黄金分割点，且AC、BD均为较长线段。
根据黄金分割的定义，得：
$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
观察线段AB的组成可得：$AC+BD=AB+CD$，因此：
$CD=AC+BD-AB$
代入数值计算：
$CD=5(\sqrt{5}-1)+5(\sqrt{5}-1)-10$
$=5\sqrt{5}-5+5\sqrt{5}-5-10$
$=(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$
即四个黄金分割点组成的正方形的边长为$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(10\sqrt{5}-20)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算，正方形的性质
【点评】
本题将数学知识与传统书法结构规则结合，考查黄金分割的实际应用，解题的关键是准确识别黄金分割点对应的线段比例，再结合线段的和差关系计算目标线段长度，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
9 若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$,则$k=$
$\frac{1}{2}$或$-1$
.答案
9. $\frac{1}{2}$或$-1$ 【解析】当$a+b+c=0$时,$a=-(b+c)$,则$k=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1$;当$a+b+c≠0$时,根据等比性质可以得到$k=\frac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{1}{2}$,则$k=\frac{1}{2}$或$-1$.
易错警示
在利用等比性质时,要注意分母的和不等于0,本题没有说明 $a+b+c≠0$,所以应分情况讨论.
易错警示
在利用等比性质时,要注意分母的和不等于0,本题没有说明 $a+b+c≠0$,所以应分情况讨论.
解析
【分析】
观察题目给出的连等比例式，求k的值可优先考虑运用比例的等比性质求解，但等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，本题未给出$a+b+c≠0$的条件，因此需要分两种情况讨论：第一种是$a+b+c≠0$时，直接运用等比性质计算k；第二种是$a+b+c=0$时，将其中一个字母用另外两个字母的和表示，代入比例式化简求出k，即可得到所有可能的k值，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c=0$时，可得$a=-(b+c)$，代入$k=\frac{a}{b+c}$得：
$k=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1$（此时$b+c≠0$，否则原比例式无意义）
综上，k的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-1$
【知识点】
1. 等比性质 2. 分类讨论思想 3. 分式化简
【点评】
本题重点考查等比性质的应用，解题的核心是明确等比性质要求分母的和不为0的前提，若题目未给出该限制条件，必须分情况讨论，否则容易遗漏$k=-1$的情况造成漏解，做题时要注意全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
观察题目给出的连等比例式，求k的值可优先考虑运用比例的等比性质求解，但等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，本题未给出$a+b+c≠0$的条件，因此需要分两种情况讨论：第一种是$a+b+c≠0$时，直接运用等比性质计算k；第二种是$a+b+c=0$时，将其中一个字母用另外两个字母的和表示，代入比例式化简求出k，即可得到所有可能的k值，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{a+b+c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$
② 当$a+b+c=0$时，可得$a=-(b+c)$，代入$k=\frac{a}{b+c}$得：
$k=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1$（此时$b+c≠0$，否则原比例式无意义）
综上，k的值为$\frac{1}{2}$或$-1$。
【答案】
$\frac{1}{2}$或$-1$
【知识点】
1. 等比性质 2. 分类讨论思想 3. 分式化简
【点评】
本题重点考查等比性质的应用，解题的核心是明确等比性质要求分母的和不为0的前提，若题目未给出该限制条件，必须分情况讨论，否则容易遗漏$k=-1$的情况造成漏解，做题时要注意全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
