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1 已知 M 是线段 AB 延长线上一点,且 AM:BM=5:2,则 AB:BM 等于 (
A.3:2
B.2:3
C.3:5
D.5:2
A
)A.3:2
B.2:3
C.3:5
D.5:2
答案
1.A 【解析】因为 M 是线段 AB 延长线上一点，且 AM:BM=5:2，所以设 AM=5x,BM=2x，可得 AB=AM-BM=3x，所以 AB:BM=3:2，故选 A.
解析
【分析】
解题时首先要明确点的位置：M在线段AB的延长线上，因此三点顺序为A、B、M，可得线段关系AM=AB+BM，即AB=AM-BM。已知AM与BM的比值，可通过设参数的方法，将比例转化为具体的长度表达式，代入计算即可求出AB与BM的比值。
【解析】
∵ M是线段AB延长线上一点，
∴ 三点的排列顺序为A、B、M，满足AM = AB + BM，即AB = AM - BM。
已知AM:BM=5:2，设AM=5x（x＞0），则BM=2x，
∴ AB = AM - BM = 5x - 2x = 3x，
∴ AB:BM = 3x:2x = 3:2，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.线段和差计算 2.成比例线段
【点评】
本题是成比例线段的基础题型，解题的核心是先理清延长线上线段的和差关系，通过设参数将比例关系转化为可计算的长度，即可快速求解。注意不要混淆线段的位置关系，避免错误计算线段的和差。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确点的位置：M在线段AB的延长线上，因此三点顺序为A、B、M，可得线段关系AM=AB+BM，即AB=AM-BM。已知AM与BM的比值，可通过设参数的方法，将比例转化为具体的长度表达式，代入计算即可求出AB与BM的比值。
【解析】
∵ M是线段AB延长线上一点，
∴ 三点的排列顺序为A、B、M，满足AM = AB + BM，即AB = AM - BM。
已知AM:BM=5:2，设AM=5x（x＞0），则BM=2x，
∴ AB = AM - BM = 5x - 2x = 3x，
∴ AB:BM = 3x:2x = 3:2，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.线段和差计算 2.成比例线段
【点评】
本题是成比例线段的基础题型，解题的核心是先理清延长线上线段的和差关系，通过设参数将比例关系转化为可计算的长度，即可快速求解。注意不要混淆线段的位置关系，避免错误计算线段的和差。
【难度系数】
0.85
2[2026 安徽滁州期中]若线段$a = 8\ \mathrm{cm}, b = 4\ \mathrm{dm}$，则$\dfrac{b}{a} =$（
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$5$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
B
）A.$\dfrac{1}{5}$
B.$5$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
答案
2.B 【解析】$\because b=4\ \mathrm{dm}=40\ \mathrm{cm},\therefore \dfrac{b}{a}=\dfrac{40}{8}=5.$ 故选 B.
解析
【分析】
本题是求两条线段的比值，首先要明确：计算线段的比时，两条线段的单位必须统一。因此解题第一步先把两条线段的单位换算为一致，再将数值代入$\dfrac{b}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
解：先统一长度单位，因为$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，所以$b=4\ \mathrm{dm}=4×10\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{cm}$。
已知$a=8\ \mathrm{cm}$，代入得$\dfrac{b}{a}=\dfrac{40}{8}=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的比、长度单位换算、比值计算
【点评】
本题是基础题，易错点是忽略两条线段单位不统一，直接代入数值计算得到错误结果，解题时切记先统一单位再求比值。
【难度系数】
0.7
本题是求两条线段的比值，首先要明确：计算线段的比时，两条线段的单位必须统一。因此解题第一步先把两条线段的单位换算为一致，再将数值代入$\dfrac{b}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
解：先统一长度单位，因为$1\ \mathrm{dm}=10\ \mathrm{cm}$，所以$b=4\ \mathrm{dm}=4×10\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{cm}$。
已知$a=8\ \mathrm{cm}$，代入得$\dfrac{b}{a}=\dfrac{40}{8}=5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的比、长度单位换算、比值计算
【点评】
本题是基础题，易错点是忽略两条线段单位不统一，直接代入数值计算得到错误结果，解题时切记先统一单位再求比值。
【难度系数】
0.7
3 下列四组线段中,是成比例线段的一组是
（
A.3,6,4,7
B.5,6,7,8
C.2,4,6,8
D.10,15,8,12
（
D
）A.3,6,4,7
B.5,6,7,8
C.2,4,6,8
D.10,15,8,12
答案
3.D 【解析】判断四条线段是否成比例的方法:将四条线段的长度按照从小到大的顺序排列,(1)计算前边两条线段的长度的比值与后边两条线段的长度的比值是否相等;(2)最长线段与最短线段的长度的积与剩下两条线段的长度的积是否相等.
A 3×7≠4×6,四条线段不成比例,不合题意
B 5×8≠6×7,四条线段不成比例,不合题意
C 2×8≠4×6,四条线段不成比例,不合题意
D 15×8=10×12,四条线段成比例,符合题意
A 3×7≠4×6,四条线段不成比例,不合题意
B 5×8≠6×7,四条线段不成比例,不合题意
C 2×8≠4×6,四条线段不成比例,不合题意
D 15×8=10×12,四条线段成比例,符合题意
解析
【分析】
要判断四组线段哪组是成比例线段，首先回忆成比例线段的判断方法：可利用比例的基本性质（若a:b=c:d，则ad=bc），将每组的四条线段按从小到大排序后，计算最短和最长线段的乘积、中间两条线段的乘积，若两个乘积相等，则四条线段成比例，这种方法比计算比值更简便，不易出错。接下来逐一对四个选项进行验证即可。
【解析】
判断四条线段是否成比例的方法：将四条线段长度从小到大排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段。
选项A：四条线段从小到大排序为3，4，6，7，最短×最长=3×7=21，中间两数乘积=4×6=24，21≠24，故不成比例，不符合题意；
选项B：四条线段从小到大排序为5，6，7，8，最短×最长=5×8=40，中间两数乘积=6×7=42，40≠42，故不成比例，不符合题意；
选项C：四条线段从小到大排序为2，4，6，8，最短×最长=2×8=16，中间两数乘积=4×6=24，16≠24，故不成比例，不符合题意；
选项D：四条线段从小到大排序为8，10，12，15，最短×最长=8×15=120，中间两数乘积=10×12=120，120=120，故四条线段成比例，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，核心考查对比例基本性质的运用，用乘积法验证比直接计算比值更高效，熟练掌握方法即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断四组线段哪组是成比例线段，首先回忆成比例线段的判断方法：可利用比例的基本性质（若a:b=c:d，则ad=bc），将每组的四条线段按从小到大排序后，计算最短和最长线段的乘积、中间两条线段的乘积，若两个乘积相等，则四条线段成比例，这种方法比计算比值更简便，不易出错。接下来逐一对四个选项进行验证即可。
【解析】
判断四条线段是否成比例的方法：将四条线段长度从小到大排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段。
选项A：四条线段从小到大排序为3，4，6，7，最短×最长=3×7=21，中间两数乘积=4×6=24，21≠24，故不成比例，不符合题意；
选项B：四条线段从小到大排序为5，6，7，8，最短×最长=5×8=40，中间两数乘积=6×7=42，40≠42，故不成比例，不符合题意；
选项C：四条线段从小到大排序为2，4，6，8，最短×最长=2×8=16，中间两数乘积=4×6=24，16≠24，故不成比例，不符合题意；
选项D：四条线段从小到大排序为8，10，12，15，最短×最长=8×15=120，中间两数乘积=10×12=120，120=120，故四条线段成比例，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，核心考查对比例基本性质的运用，用乘积法验证比直接计算比值更高效，熟练掌握方法即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4[2025安徽合肥质检]如果8,4,m,n是成比例线段,那么$\frac{m}{n}$的值为 (
A.$\frac{1}{32}$
B.32
C.2
D.$\frac{1}{2}$
C
)A.$\frac{1}{32}$
B.32
C.2
D.$\frac{1}{2}$
答案
4.C 【解析】因为 8,4,m,n 是成比例线段,所以 8:4=m:n,所以$\frac{m}{n}=2$. 故选 C.
解析
【分析】
解题的核心是掌握成比例线段的有序性：若四条线段按a,b,c,d的顺序为成比例线段，则满足a:b=c:d。本题已经给出四条成比例线段的顺序为8,4,m,n，只需按顺序列出比例式，再化简即可求出$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
∵8，4，m，n是成比例线段，
∴根据成比例线段的定义可得$8:4 = m:n$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{8}{4}=2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，易错点是忽略成比例线段的顺序，随意调换线段的位置导致列式错误，只要牢记成比例线段的有序性即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握成比例线段的有序性：若四条线段按a,b,c,d的顺序为成比例线段，则满足a:b=c:d。本题已经给出四条成比例线段的顺序为8,4,m,n，只需按顺序列出比例式，再化简即可求出$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
∵8，4，m，n是成比例线段，
∴根据成比例线段的定义可得$8:4 = m:n$，
∴$\frac{m}{n}=\frac{8}{4}=2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，易错点是忽略成比例线段的顺序，随意调换线段的位置导致列式错误，只要牢记成比例线段的有序性即可正确解答。
【难度系数】
0.8
5 如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处.若四边形EFDC与矩形ABCD的长与宽所组成的四条线段EF,FD,AD,AB是成比例线段,则AD的长为
$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
.答案
5.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ 【解析】由折叠可得 AF=AB.
∵ 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 的长与宽所组成的四条线段 EF,FD,AD,AB 是成比例线段,$\therefore \dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AD}{AB}.$
∵ 四边形 ABCD,四边形 EFDC 是矩形,$\therefore EF=CD,AB=CD,\therefore EF=AB.$
∵ AD=AF+FD,AB=AF=EF=1,$\therefore AD=1+FD,\therefore \dfrac{1}{FD}=\dfrac{1+FD}{1},$$\therefore FD^2+FD=1$, 解得$FD=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值已舍去),$\therefore AD=1+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$. 故答案为$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$.
∵ 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 的长与宽所组成的四条线段 EF,FD,AD,AB 是成比例线段,$\therefore \dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AD}{AB}.$
∵ 四边形 ABCD,四边形 EFDC 是矩形,$\therefore EF=CD,AB=CD,\therefore EF=AB.$
∵ AD=AF+FD,AB=AF=EF=1,$\therefore AD=1+FD,\therefore \dfrac{1}{FD}=\dfrac{1+FD}{1},$$\therefore FD^2+FD=1$, 解得$FD=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值已舍去),$\therefore AD=1+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$. 故答案为$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到对应边相等，即AF=AB、EF=AB，再结合矩形的性质可知AD=AF+FD，可将AD用FD表示；接下来根据成比例线段的定义列出比例式，代入已知边的长度得到关于FD的一元二次方程，求解方程并舍去不符合实际的负根，最后计算AD的长度即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AF=AB$，$EF=AB$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=AF+FD$，
又
∵ $EF=CD$，
∴ $EF=AB=1$。
已知$EF,FD,AD,AB$是成比例线段，根据成比例线段的定义可得：
$\dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AD}{AB}$
设$FD=x$，则$AD=AF+FD=1+x$，代入上式得：
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1+x}{1}$
整理得：$x^2+x-1=0$
解得：$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
∵ 线段长度为正数，
∴ $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去）
∴ $AD=1+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，成比例线段，矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，解题的核心是通过折叠性质找到各边的数量关系，再结合成比例线段的定义列方程求解，求解后要注意结合线段长度的实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质得到对应边相等，即AF=AB、EF=AB，再结合矩形的性质可知AD=AF+FD，可将AD用FD表示；接下来根据成比例线段的定义列出比例式，代入已知边的长度得到关于FD的一元二次方程，求解方程并舍去不符合实际的负根，最后计算AD的长度即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AF=AB$，$EF=AB$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD$，$AD=AF+FD$，
又
∵ $EF=CD$，
∴ $EF=AB=1$。
已知$EF,FD,AD,AB$是成比例线段，根据成比例线段的定义可得：
$\dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AD}{AB}$
设$FD=x$，则$AD=AF+FD=1+x$，代入上式得：
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1+x}{1}$
整理得：$x^2+x-1=0$
解得：$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
∵ 线段长度为正数，
∴ $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$（负值舍去）
∴ $AD=1+\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质，成比例线段，矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础综合题，解题的核心是通过折叠性质找到各边的数量关系，再结合成比例线段的定义列方程求解，求解后要注意结合线段长度的实际意义舍去不合理解。
【难度系数】
0.6
6 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,已知$AC=3$,$BC=4$.
(1)线段$AD$,$CD$,$CD$,$BD$是不是成比例线段?写出你的理由.
(2)在这个图形中,能否再找出其他成比例的四条线段?如果能,请至少写出两组.
(1)线段$AD$,$CD$,$CD$,$BD$是不是成比例线段?写出你的理由.
(2)在这个图形中,能否再找出其他成比例的四条线段?如果能,请至少写出两组.
答案
6.【解】(1)AD,CD,CD,BD是成比例线段. 理由如下:
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=3,BC=4$,
$\therefore AB=5. \because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CD=\dfrac{1}{2}BC· AC$,
$\therefore CD=\dfrac{BC· AC}{AB}=\dfrac{3×4}{5}=2.4$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=1.8$,$\therefore BD=3.2$,$\therefore AD:CD=CD:BD=3:4$,$\therefore$ 线段$AD$,$CD$,$CD$,$BD$是成比例线段.
(2)能.$\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{AC}{BC}$,$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$(答案不唯一).
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=3,BC=4$,
$\therefore AB=5. \because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CD=\dfrac{1}{2}BC· AC$,
$\therefore CD=\dfrac{BC· AC}{AB}=\dfrac{3×4}{5}=2.4$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=1.8$,$\therefore BD=3.2$,$\therefore AD:CD=CD:BD=3:4$,$\therefore$ 线段$AD$,$CD$,$CD$,$BD$是成比例线段.
(2)能.$\dfrac{CD}{DB}=\dfrac{AC}{BC}$,$\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BC}{AB}$(答案不唯一).
解析
【分析】
(1)判断四条线段是否为成比例线段，核心是验证两组线段的比值是否相等，即需验证$AD:CD$是否等于$CD:BD$。解题思路可按以下步骤规划：①首先在$Rt△ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度；②利用$△ABC$面积的两种表示方法，通过等面积法求出$CD$的长；③在$Rt△ADC$中用勾股定理求出$AD$的长，再通过$BD=AB-AD$算出$BD$的长；④分别计算两组线段的比值，判断是否相等即可。
(2)要找出其他成比例的四条线段，可根据已求出的各线段长度，计算不同线段的比值，找到比值相等的两组线段即可，也可结合直角三角形的性质推导。
【解析】
(1)$AD、CD、CD、BD$是成比例线段，理由如下：
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}BC·AC$
$\therefore CD=\frac{BC·AC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$
$\therefore BD=AB-AD=5-1.8=3.2$
计算比值得$AD:CD=1.8:2.4=3:4$，$CD:BD=2.4:3.2=3:4$，即$AD:CD=CD:BD$
$\therefore$线段$AD、CD、CD、BD$是成比例线段。
(2)能，例如：$\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$（答案不唯一）
【答案】
(1)是成比例线段，理由见上述解析；
(2)能，如$\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{BC}$、$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理，成比例线段，等面积法求线段长
【点评】
本题结合直角三角形的性质考查成比例线段的判断，解题的关键是先通过勾股定理、等面积法准确求出各线段的长度，再根据成比例线段的定义验证比值是否相等，侧重基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)判断四条线段是否为成比例线段，核心是验证两组线段的比值是否相等，即需验证$AD:CD$是否等于$CD:BD$。解题思路可按以下步骤规划：①首先在$Rt△ABC$中用勾股定理求出斜边$AB$的长度；②利用$△ABC$面积的两种表示方法，通过等面积法求出$CD$的长；③在$Rt△ADC$中用勾股定理求出$AD$的长，再通过$BD=AB-AD$算出$BD$的长；④分别计算两组线段的比值，判断是否相等即可。
(2)要找出其他成比例的四条线段，可根据已求出的各线段长度，计算不同线段的比值，找到比值相等的两组线段即可，也可结合直角三角形的性质推导。
【解析】
(1)$AD、CD、CD、BD$是成比例线段，理由如下：
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}BC·AC$
$\therefore CD=\frac{BC·AC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=1.8$
$\therefore BD=AB-AD=5-1.8=3.2$
计算比值得$AD:CD=1.8:2.4=3:4$，$CD:BD=2.4:3.2=3:4$，即$AD:CD=CD:BD$
$\therefore$线段$AD、CD、CD、BD$是成比例线段。
(2)能，例如：$\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$（答案不唯一）
【答案】
(1)是成比例线段，理由见上述解析；
(2)能，如$\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{BC}$、$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理，成比例线段，等面积法求线段长
【点评】
本题结合直角三角形的性质考查成比例线段的判断，解题的关键是先通过勾股定理、等面积法准确求出各线段的长度，再根据成比例线段的定义验证比值是否相等，侧重基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
7[2025江西抚州质检]小慧同学在学习了九年级上册“比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。
答案
7.2 【解析】当$\dfrac{a}{c}=2$时,$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$. 理由如下:$\because \dfrac{a}{c}=2$,$\therefore a=2c$,$\therefore \dfrac{2c}{b}=\dfrac{b}{c}$,$\therefore b=\sqrt{2}c$,
$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{2c}{\sqrt{2}c}=\sqrt{2}$,$\dfrac{b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}c}{c}=\sqrt{2}$,$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$.
故答案为 2.
$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{2c}{\sqrt{2}c}=\sqrt{2}$,$\dfrac{b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}c}{c}=\sqrt{2}$,$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$.
故答案为 2.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从已知的比例中项关系$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$和目标的特殊比值$\sqrt{2}$入手：首先利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式或者用同一个量表示其他量，再结合目标比值推导$\dfrac{a}{c}$的取值。具体思路为：先设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，分别将a、b用含c的代数式表示，再代入$\dfrac{a}{c}$计算即可得到结果。
【解析】
已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$，若满足$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$：
1. 由$\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，可得$b=\sqrt{2}c$；
2. 由$\dfrac{a}{b}=\sqrt{2}$，可得$a=\sqrt{2}b$；
3. 将$b=\sqrt{2}c$代入$a=\sqrt{2}b$，得$a=\sqrt{2}×\sqrt{2}c=2c$；
4. 因为线段长度不为0，约去c可得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2c}{c}=2$。
也可通过比例中项性质推导：由$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$得$b^2=ac$，结合$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，得$a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，代入得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sqrt{2}b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2}c}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，比例中项
【点评】
本题通过比例线段逐步特殊化的过程，考查对比例相关性质的运用，解题关键是掌握比例式和等积式的相互转化，能帮助理解特殊比例的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从已知的比例中项关系$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$和目标的特殊比值$\sqrt{2}$入手：首先利用比例的基本性质，将比例式转化为等积式或者用同一个量表示其他量，再结合目标比值推导$\dfrac{a}{c}$的取值。具体思路为：先设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，分别将a、b用含c的代数式表示，再代入$\dfrac{a}{c}$计算即可得到结果。
【解析】
已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$，若满足$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$：
1. 由$\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，可得$b=\sqrt{2}c$；
2. 由$\dfrac{a}{b}=\sqrt{2}$，可得$a=\sqrt{2}b$；
3. 将$b=\sqrt{2}c$代入$a=\sqrt{2}b$，得$a=\sqrt{2}×\sqrt{2}c=2c$；
4. 因为线段长度不为0，约去c可得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{2c}{c}=2$。
也可通过比例中项性质推导：由$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$得$b^2=ac$，结合$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\sqrt{2}$，得$a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，代入得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sqrt{2}b}{c}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{2}c}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，比例中项
【点评】
本题通过比例线段逐步特殊化的过程，考查对比例相关性质的运用，解题关键是掌握比例式和等积式的相互转化，能帮助理解特殊比例的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
8 如图，直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B。过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长的比例中项时，P点的坐标为
$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$
。答案
8.$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$ 【解析】
∵ 直线$y=3x+3$与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴ 点A的坐标是$(-1,0)$,点B的坐标是$(0,3)$,$\therefore OA=1,OB=3$.
∵ 点P在x轴正半轴上,
∴ 设点P的坐标是$(x,0)$,$\therefore OP=x$. 当线段OA的长是其他两条线段长的比例中项时,
$OA^2=OB· OP$,$\therefore 1=3· x$,解得$x=\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 点P的坐标是$(\dfrac{1}{3},0)$;当线段OB的长是其他两条线段长的比例中项时,$OB^2=OA· OP$,$\therefore 9=1· x$,解得$x=9$,$\therefore$ 点P的坐标是$(9,0)$;当线段OP的长是其他两条线段长的比例中项时,$OP^2=OB· OA$,$\therefore x^2=3×1$,解得$x=\sqrt{3}$(负值已舍去),$\therefore$ 点P的坐标是$(\sqrt{3},0)$. 综上所述,点P的坐标是$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$. 故答案为$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$.
∵ 直线$y=3x+3$与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴ 点A的坐标是$(-1,0)$,点B的坐标是$(0,3)$,$\therefore OA=1,OB=3$.
∵ 点P在x轴正半轴上,
∴ 设点P的坐标是$(x,0)$,$\therefore OP=x$. 当线段OA的长是其他两条线段长的比例中项时,
$OA^2=OB· OP$,$\therefore 1=3· x$,解得$x=\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 点P的坐标是$(\dfrac{1}{3},0)$;当线段OB的长是其他两条线段长的比例中项时,$OB^2=OA· OP$,$\therefore 9=1· x$,解得$x=9$,$\therefore$ 点P的坐标是$(9,0)$;当线段OP的长是其他两条线段长的比例中项时,$OP^2=OB· OA$,$\therefore x^2=3×1$,解得$x=\sqrt{3}$(负值已舍去),$\therefore$ 点P的坐标是$(\sqrt{3},0)$. 综上所述,点P的坐标是$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$. 故答案为$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$.
解析
【分析】
解题时首先根据直线解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再设P点坐标为$(x,0)$（因为P在x轴正半轴，因此$x＞0$），可得$OP=x$。根据“其中一条线段的长是其他两条线段长的比例中项”的条件，需要分三种情况讨论：①OA为比例中项；②OB为比例中项；③OP为比例中项，每种情况根据比例中项的定义列方程求解，最后结合$x＞0$的条件筛选符合要求的解，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵ 直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令$y=0$，得$0=3x+3$，解得$x=-1$，即点A坐标为$(-1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=3$，即点B坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
∵ 点P在x轴正半轴上，设P点坐标为$(x,0)$（$x＞0$），则$OP=x$，分三种情况讨论：
1. 当OA是OB、OP的比例中项时，满足$OA^2=OB· OP$，
代入得$1^2=3· x$，解得$x=\dfrac{1}{3}$，此时P点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$；
2. 当OB是OA、OP的比例中项时，满足$OB^2=OA· OP$，
代入得$3^2=1· x$，解得$x=9$，此时P点坐标为$(9,0)$；
3. 当OP是OA、OB的比例中项时，满足$OP^2=OA· OB$，
代入得$x^2=1×3$，解得$x=\sqrt{3}$（负值不符合$x＞0$的取值要求，舍去），此时P点坐标为$(\sqrt{3},0)$。
综上，P点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$
【知识点】
比例中项，一次函数与坐标轴交点，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查比例中项的定义和一次函数的基础应用，解题的关键是明确题意，对比例中项的三种情况进行分类讨论，同时要注意结合点P的位置对解进行取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直线解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再设P点坐标为$(x,0)$（因为P在x轴正半轴，因此$x＞0$），可得$OP=x$。根据“其中一条线段的长是其他两条线段长的比例中项”的条件，需要分三种情况讨论：①OA为比例中项；②OB为比例中项；③OP为比例中项，每种情况根据比例中项的定义列方程求解，最后结合$x＞0$的条件筛选符合要求的解，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵ 直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令$y=0$，得$0=3x+3$，解得$x=-1$，即点A坐标为$(-1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=3$，即点B坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
∵ 点P在x轴正半轴上，设P点坐标为$(x,0)$（$x＞0$），则$OP=x$，分三种情况讨论：
1. 当OA是OB、OP的比例中项时，满足$OA^2=OB· OP$，
代入得$1^2=3· x$，解得$x=\dfrac{1}{3}$，此时P点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$；
2. 当OB是OA、OP的比例中项时，满足$OB^2=OA· OP$，
代入得$3^2=1· x$，解得$x=9$，此时P点坐标为$(9,0)$；
3. 当OP是OA、OB的比例中项时，满足$OP^2=OA· OB$，
代入得$x^2=1×3$，解得$x=\sqrt{3}$（负值不符合$x＞0$的取值要求，舍去），此时P点坐标为$(\sqrt{3},0)$。
综上，P点坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3},0)$或$(9,0)$或$(\sqrt{3},0)$
【知识点】
比例中项，一次函数与坐标轴交点，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查比例中项的定义和一次函数的基础应用，解题的关键是明确题意，对比例中项的三种情况进行分类讨论，同时要注意结合点P的位置对解进行取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
9 我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”.如果一个“钻石菱形”的面积为6,那么它的边长是
刷易错 小心有坑~
$2\sqrt{3}$
.刷易错 小心有坑~
答案
9.$2\sqrt{3}$ 【解析】由比例中项的定义可得,“钻石菱形”的边长为$\sqrt{6×2}=2\sqrt{3}$. 故答案为$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先要抓住新定义“钻石菱形”的核心特征：边长是两条对角线长度的比例中项；再结合菱形面积公式建立等量关系。第一步先回忆比例中项的性质：若a是b、c的比例中项，则$a^2=bc$；第二步回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半；最后将两个知识点结合，通过面积求出对角线的乘积，再代入比例中项的关系即可求出边长。
【解析】
设该“钻石菱形”的边长为$a$，两条对角线的长度分别为$d_1$、$d_2$。
1. 根据“钻石菱形”的定义，边长是两条对角线的比例中项，由比例中项的性质可得：
$a^2 = d_1 · d_2$
2. 根据菱形面积公式，菱形面积$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，已知面积为6，代入得：
$\frac{1}{2}d_1d_2 = 6$
解得$d_1d_2 = 12$
3. 将$d_1d_2=12$代入$a^2=d_1d_2$，得$a^2=12$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
比例中项的性质；菱形面积计算；新定义应用
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新定义的含义，结合已学的比例中项和菱形面积相关知识点建立等量关系即可求解，计算时注意边长取正值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住新定义“钻石菱形”的核心特征：边长是两条对角线长度的比例中项；再结合菱形面积公式建立等量关系。第一步先回忆比例中项的性质：若a是b、c的比例中项，则$a^2=bc$；第二步回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半；最后将两个知识点结合，通过面积求出对角线的乘积，再代入比例中项的关系即可求出边长。
【解析】
设该“钻石菱形”的边长为$a$，两条对角线的长度分别为$d_1$、$d_2$。
1. 根据“钻石菱形”的定义，边长是两条对角线的比例中项，由比例中项的性质可得：
$a^2 = d_1 · d_2$
2. 根据菱形面积公式，菱形面积$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，已知面积为6，代入得：
$\frac{1}{2}d_1d_2 = 6$
解得$d_1d_2 = 12$
3. 将$d_1d_2=12$代入$a^2=d_1d_2$，得$a^2=12$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
比例中项的性质；菱形面积计算；新定义应用
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新定义的含义，结合已学的比例中项和菱形面积相关知识点建立等量关系即可求解，计算时注意边长取正值。
【难度系数】
0.7
10 已知三个数2,4,8,请你再添上一个数,使它们成比例,写出所有符合条件的数：
1,4,16
.答案
10.1,4,16 【解析】设添加的数为x. 当2:4=8:x时,x=16;当x:2=4:8时,x=1;当2:4=x:8时,x=4;当2:x=4:8时,x=4. 故答案为1,4,16.
解析
【分析】
四个数成比例时未指定顺序，因此新添加的数可作为比例的任意一项，解题时需分类讨论新数在比例中的不同位置，再结合比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”列方程求解，最后剔除重复结果即可得到所有符合条件的数。
【解析】
设添加的数为$ x $，分情况讨论：
1. 当$ 2:4 = 8:x $时，根据比例的基本性质得$ 2x = 4×8 $，解得$ x=16 $；
2. 当$ x:2 = 4:8 $时，根据比例的基本性质得$ 8x = 2×4 $，解得$ x=1 $；
3. 当$ 2:4 = x:8 $时，根据比例的基本性质得$ 4x = 2×8 $，解得$ x=4 $。
综上，所有符合条件的数为1、4、16。
【答案】
1，4，16
【知识点】
成比例的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是对新添加的数在比例中的位置进行全面分类讨论，避免因漏算位置导致漏解，同时要注意对求解结果去重，避免出现多余答案。
【难度系数】
0.6
四个数成比例时未指定顺序，因此新添加的数可作为比例的任意一项，解题时需分类讨论新数在比例中的不同位置，再结合比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”列方程求解，最后剔除重复结果即可得到所有符合条件的数。
【解析】
设添加的数为$ x $，分情况讨论：
1. 当$ 2:4 = 8:x $时，根据比例的基本性质得$ 2x = 4×8 $，解得$ x=16 $；
2. 当$ x:2 = 4:8 $时，根据比例的基本性质得$ 8x = 2×4 $，解得$ x=1 $；
3. 当$ 2:4 = x:8 $时，根据比例的基本性质得$ 4x = 2×8 $，解得$ x=4 $。
综上，所有符合条件的数为1、4、16。
【答案】
1，4，16
【知识点】
成比例的定义；比例的基本性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是对新添加的数在比例中的位置进行全面分类讨论，避免因漏算位置导致漏解，同时要注意对求解结果去重，避免出现多余答案。
【难度系数】
0.6
