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1[中]如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD上一点，$AE=\frac{1}{4}AD$，BE的延长线交AC于F，则$\frac{AF}{AC}$的值为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
（第1题图）（第2题图）
D
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
（第1题图）（第2题图）
答案
如图,过点 D 作 $DH// BF$ 交 AC 于 H. $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=DC$, $\therefore FH=HC$. $\because DH// BF$, $AE=\frac{1}{4}AD$, $\therefore \frac{AF}{FH}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{3}$, $\therefore AF:FC=1:6$, $\therefore \frac{AF}{AC}$的值为$\frac{1}{7}$. 故选 D.
解析
【分析】
本题是求线段比值的几何题，解题核心是利用平行线分线段成比例定理转化已知比例关系。首先观察已知条件：AD是△ABC的中线，即D为BC中点，同时给出了AE和AD的比例关系，要求AF和AC的比值。我们可以通过作辅助线构造平行线：过D作DH//BF交AC于H，这样既能利用D是BC中点的性质得到FH=HC，又能在△ADH中利用平行线得到AF和FH的比例，进而推导出AF和AC的比值。
【解析】
解：过点$D$作 $DH// BF$ 交 $AC$ 于 $H$.
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$\therefore BD=DC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $FH=HC$.
$\because DH// BF$，$AE=\frac{1}{4}AD$，$\therefore ED=AD-AE=\frac{3}{4}AD$，
$\therefore \frac{AF}{FH}=\frac{AE}{ED}=\frac{\frac{1}{4}AD}{\frac{3}{4}AD}=\frac{1}{3}$.
设$AF=k$，则$FH=3k$，$HC=FH=3k$，
$\therefore FC=FH+HC=6k$，$AC=AF+FC=k+6k=7k$，
$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{k}{7k}=\frac{1}{7}$.
故选：D.
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质，比例线段计算
【点评】
本题属于线段比例求解的典型题型，解题关键是合理构造平行线辅助线，将已知的线段比例关系逐步转化到目标线段上，同时结合三角形中线的性质简化计算，能有效考查学生对平行线分线段成比例定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
本题是求线段比值的几何题，解题核心是利用平行线分线段成比例定理转化已知比例关系。首先观察已知条件：AD是△ABC的中线，即D为BC中点，同时给出了AE和AD的比例关系，要求AF和AC的比值。我们可以通过作辅助线构造平行线：过D作DH//BF交AC于H，这样既能利用D是BC中点的性质得到FH=HC，又能在△ADH中利用平行线得到AF和FH的比例，进而推导出AF和AC的比值。
【解析】
解：过点$D$作 $DH// BF$ 交 $AC$ 于 $H$.
$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$\therefore BD=DC$，
根据平行线分线段成比例定理，可得 $FH=HC$.
$\because DH// BF$，$AE=\frac{1}{4}AD$，$\therefore ED=AD-AE=\frac{3}{4}AD$，
$\therefore \frac{AF}{FH}=\frac{AE}{ED}=\frac{\frac{1}{4}AD}{\frac{3}{4}AD}=\frac{1}{3}$.
设$AF=k$，则$FH=3k$，$HC=FH=3k$，
$\therefore FC=FH+HC=6k$，$AC=AF+FC=k+6k=7k$，
$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{k}{7k}=\frac{1}{7}$.
故选：D.
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，三角形中线的性质，比例线段计算
【点评】
本题属于线段比例求解的典型题型，解题关键是合理构造平行线辅助线，将已知的线段比例关系逐步转化到目标线段上，同时结合三角形中线的性质简化计算，能有效考查学生对平行线分线段成比例定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
2[中]如图，直线$ l_1 // l_2 // l_3 $，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在直线$ l_1, l_2, l_3 $上，$ ∠ ACB=90° $，AC交$ l_2 $于点D。若$ l_1 $与$ l_2 $的距离为1，$ l_1 $与$ l_3 $的距离为4，则$ \frac{AB}{BD} $的值为
$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
。答案
过点 A 作 $AE ⊥ l_3$ 于 E, 交 $l_2$ 于 F, 过点 B 作 $BH ⊥ l_3$ 于 H, 如图. $\because l_1// l_2// l_3$, $\therefore AF ⊥ l_2$, $AE=4$, $AF=1$, $\therefore EF=BH=3$.
$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore AC=BC$.
$\because ∠ ACB=90°$, $\therefore ∠ ACE+∠ BCH=90°$.
又 $\because ∠ ACE+∠ CAE=90°$, $\therefore ∠ CAE=∠ BCH$.
在 $△ ACE$ 和 $△ CBH$ 中, $\begin{cases} ∠ AEC=∠ CHB=90°, \\ ∠ CAE=∠ BCH, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ CBH(\mathrm{AAS})$, $\therefore CE=BH=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $\therefore AB=\sqrt{2}AC=5\sqrt{2}$. $\because DF// CE$, $\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$, $\therefore CD=\frac{15}{4}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD=\sqrt{(\frac{15}{4})^2+5^2}=\frac{25}{4}$, $\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
解析
【分析】
遇到三条平行线夹等腰直角三角形的几何问题，首先考虑作垂直于平行线的辅助线，将已知的平行线间距转化为直角三角形的边长；再结合等腰直角三角形∠ACB=90°的性质，利用同角的余角相等得到一组等角，证明△ACE和△CBH全等，得到CE的长度后用勾股定理求出AC、AB的长度；接着根据$l_2// l_3$，利用平行线分线段成比例定理求出CD的长度；最后在$\mathrm{Rt}△BCD$中用勾股定理算出BD，即可求出AB与BD的比值。
【解析】
过点 A 作 $AE ⊥ l_3$ 于 E, 交 $l_2$ 于 F, 过点 B 作 $BH ⊥ l_3$ 于 H, 如图.
$\because l_1// l_2// l_3$, $\therefore AF ⊥ l_2$, $AE=4$, $AF=1$, $\therefore EF=BH=3$.
$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore AC=BC$.
$\because ∠ ACB=90°$, $\therefore ∠ ACE+∠ BCH=90°$.
又 $\because ∠ ACE+∠ CAE=90°$, $\therefore ∠ CAE=∠ BCH$.
在 $△ ACE$ 和 $△ CBH$ 中, $\begin{cases} ∠ AEC=∠ CHB=90°, \\ ∠ CAE=∠ BCH, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ CBH(\mathrm{AAS})$, $\therefore CE=BH=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $\therefore AB=\sqrt{2}AC=5\sqrt{2}$.
$\because DF// CE$, $\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$, $\therefore CD=\frac{15}{4}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD=\sqrt{(\frac{15}{4})^2+5^2}=\frac{25}{4}$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
【答案】
$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将平行线、全等三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的核心是合理作辅助线构造全等三角形，再结合比例性质与勾股定理计算线段长度，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
遇到三条平行线夹等腰直角三角形的几何问题，首先考虑作垂直于平行线的辅助线，将已知的平行线间距转化为直角三角形的边长；再结合等腰直角三角形∠ACB=90°的性质，利用同角的余角相等得到一组等角，证明△ACE和△CBH全等，得到CE的长度后用勾股定理求出AC、AB的长度；接着根据$l_2// l_3$，利用平行线分线段成比例定理求出CD的长度；最后在$\mathrm{Rt}△BCD$中用勾股定理算出BD，即可求出AB与BD的比值。
【解析】
过点 A 作 $AE ⊥ l_3$ 于 E, 交 $l_2$ 于 F, 过点 B 作 $BH ⊥ l_3$ 于 H, 如图.
$\because l_1// l_2// l_3$, $\therefore AF ⊥ l_2$, $AE=4$, $AF=1$, $\therefore EF=BH=3$.
$\because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore AC=BC$.
$\because ∠ ACB=90°$, $\therefore ∠ ACE+∠ BCH=90°$.
又 $\because ∠ ACE+∠ CAE=90°$, $\therefore ∠ CAE=∠ BCH$.
在 $△ ACE$ 和 $△ CBH$ 中, $\begin{cases} ∠ AEC=∠ CHB=90°, \\ ∠ CAE=∠ BCH, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌ △ CBH(\mathrm{AAS})$, $\therefore CE=BH=3$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACE$ 中, $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $\therefore AB=\sqrt{2}AC=5\sqrt{2}$.
$\because DF// CE$, $\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{EF}{AE}=\frac{3}{4}$, $\therefore CD=\frac{15}{4}$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BD=\sqrt{(\frac{15}{4})^2+5^2}=\frac{25}{4}$,
$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{5\sqrt{2}}{\frac{25}{4}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
【答案】
$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将平行线、全等三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的核心是合理作辅助线构造全等三角形，再结合比例性质与勾股定理计算线段长度，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3[中]对于平行线，我们有这样的结论：如图(1),AB//CD,AD,BC交于点O,则$\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$。
请利用该结论解答下面的问题：
如图(2),在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,则AC的长为。
请利用该结论解答下面的问题：
如图(2),在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,则AC的长为。
答案
解:过点C作CE//AB交AD的延长线于点E,则$\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{DE}$,又∵BD=2DC,AD=2,∴DE=1,∴AE=AD+DE=3.∵CE//AB,∴∠E=∠BAD=75°,∵∠CAD=30°,∴∠ACE=180°−∠E−∠CAD=75°,∴∠E=∠ACE,∴AC=AE=3.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要结合题干给出的平行线比例结论构造对应几何模型：已知线段BD与DC的比例关系，我们可以过点C作CE平行于AB，交AD的延长线于点E，此时即可套用题干给出的比例结论求出DE的长度，得到AE的总长；再利用平行线的性质得到∠E的度数，通过三角形内角和计算∠ACE的度数，判断出△ACE为等腰三角形，即可得到AC的长度。
【解析】
解：过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，
根据题干给出的平行线结论可得$\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{DE}$，
∵BD=2DC，AD=2，
∴$\frac{2DC}{DC}=\frac{2}{DE}$，解得DE=1，
∴AE=AD+DE=2+1=3。
∵CE//AB，
∴∠E=∠BAD=75°（两直线平行，内错角相等），
在△ACE中，已知∠CAD=30°，
∴∠ACE=180°−∠E−∠CAD=180°−75°−30°=75°，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE=3（等角对等边）。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题的解题关键是通过作辅助线构造符合已知结论的平行线模型，将已知的线段比例关系转化为可计算的线段长度，再结合角度计算和等腰三角形的性质求解，能够很好地考查学生的辅助线构造能力和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需要结合题干给出的平行线比例结论构造对应几何模型：已知线段BD与DC的比例关系，我们可以过点C作CE平行于AB，交AD的延长线于点E，此时即可套用题干给出的比例结论求出DE的长度，得到AE的总长；再利用平行线的性质得到∠E的度数，通过三角形内角和计算∠ACE的度数，判断出△ACE为等腰三角形，即可得到AC的长度。
【解析】
解：过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，
根据题干给出的平行线结论可得$\frac{BD}{DC}=\frac{AD}{DE}$，
∵BD=2DC，AD=2，
∴$\frac{2DC}{DC}=\frac{2}{DE}$，解得DE=1，
∴AE=AD+DE=2+1=3。
∵CE//AB，
∴∠E=∠BAD=75°（两直线平行，内错角相等），
在△ACE中，已知∠CAD=30°，
∴∠ACE=180°−∠E−∠CAD=180°−75°−30°=75°，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE=3（等角对等边）。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题的解题关键是通过作辅助线构造符合已知结论的平行线模型，将已知的线段比例关系转化为可计算的线段长度，再结合角度计算和等腰三角形的性质求解，能够很好地考查学生的辅助线构造能力和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4[2026安徽六安校级期中,较难]请阅读以下材料,并完成相应的问题.
材料:
角平分线分线段成比例定理:如图(1),在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图(2),过C作$CE// DA$,交BA的延长线于E.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图(3),已知$Rt△ ABC$中,$AB=3,BC=4$,$∠ ABC=90°$,AD平分$∠ BAC$,求$△ ABD$的周长.
材料:
角平分线分线段成比例定理:如图(1),在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图(2),过C作$CE// DA$,交BA的延长线于E.
任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图(3),已知$Rt△ ABC$中,$AB=3,BC=4$,$∠ ABC=90°$,AD平分$∠ BAC$,求$△ ABD$的周长.
答案
解：
(1) 剩余证明过程：
∵ $CE// DA$，
∴ $∠ 1 = ∠ E$，$∠ 2 = ∠ ACE$，
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ E = ∠ ACE$，
∴ $AE = AC$。
又∵ $CE// DA$，由平行线分线段成比例定理的推论，在$△ BCE$中，$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$，
将$AE=AC$代入，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，定理得证。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{3}{5}=\frac{BD}{CD}$，
又∵ $BD + CD = BC = 4$，
解得$BD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 + BD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
∴ $△ ABD$的周长为：
$AB + BD + AD = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。
答：$△ ABD$的周长为$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
(1) 剩余证明过程：
∵ $CE// DA$，
∴ $∠ 1 = ∠ E$，$∠ 2 = ∠ ACE$，
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ E = ∠ ACE$，
∴ $AE = AC$。
又∵ $CE// DA$，由平行线分线段成比例定理的推论，在$△ BCE$中，$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$，
将$AE=AC$代入，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，定理得证。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{3}{5}=\frac{BD}{CD}$，
又∵ $BD + CD = BC = 4$，
解得$BD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 + BD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
∴ $△ ABD$的周长为：
$AB + BD + AD = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。
答：$△ ABD$的周长为$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明角平分线分线段成比例定理，已作辅助线$CE// DA$，首先利用平行线的性质得到角的等量关系，结合角平分线的定义推出$AE=AC$，再利用平行线分线段成比例的推论，将$AE$替换为$AC$即可完成证明。
(2) 求$△ ABD$的周长需要先得到三边的长度：已知$AB=3$，先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长，再利用(1)中证得的角平分线分线段成比例定理，结合$BC=4$求出$BD$的长度，最后在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，三边求和即可得到周长。
【解析】
(1) 剩余证明过程：
∵ $CE// DA$，
∴ $∠1 = ∠E$，$∠2 = ∠ACE$，
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠E = ∠ACE$，
∴ $AE = AC$。
又
∵ $CE// DA$，由平行线分线段成比例定理的推论，在$△ BCE$中，$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$，
将$AE=AC$代入，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，定理得证。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{3}{5}=\frac{BD}{CD}$，
又
∵ $BD + CD = BC = 4$，
解得$BD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 + BD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
∴ $△ ABD$的周长为：
$AB + BD + AD = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $△ ABD$的周长为$\boxed{\frac{9+3\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；角平分线分线段成比例定理
【点评】
本题结合定理证明与定理应用两个模块，既考查了对几何定理推导逻辑的理解能力，也考查了新定理的迁移应用能力，解题时要注意将已学的平行线性质、勾股定理等知识和新推导的定理结合使用。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明角平分线分线段成比例定理，已作辅助线$CE// DA$，首先利用平行线的性质得到角的等量关系，结合角平分线的定义推出$AE=AC$，再利用平行线分线段成比例的推论，将$AE$替换为$AC$即可完成证明。
(2) 求$△ ABD$的周长需要先得到三边的长度：已知$AB=3$，先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长，再利用(1)中证得的角平分线分线段成比例定理，结合$BC=4$求出$BD$的长度，最后在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，三边求和即可得到周长。
【解析】
(1) 剩余证明过程：
∵ $CE// DA$，
∴ $∠1 = ∠E$，$∠2 = ∠ACE$，
∵ $AD$平分$∠BAC$，
∴ $∠1 = ∠2$，
∴ $∠E = ∠ACE$，
∴ $AE = AC$。
又
∵ $CE// DA$，由平行线分线段成比例定理的推论，在$△ BCE$中，$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{AE}$，
将$AE=AC$代入，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，定理得证。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，由角平分线分线段成比例定理得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{3}{5}=\frac{BD}{CD}$，
又
∵ $BD + CD = BC = 4$，
解得$BD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 + BD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
∴ $△ ABD$的周长为：
$AB + BD + AD = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $△ ABD$的周长为$\boxed{\frac{9+3\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；角平分线分线段成比例定理
【点评】
本题结合定理证明与定理应用两个模块，既考查了对几何定理推导逻辑的理解能力，也考查了新定理的迁移应用能力，解题时要注意将已学的平行线性质、勾股定理等知识和新推导的定理结合使用。
【难度系数】
0.4
5[2025安徽芜湖质检,较难]如图(1),在菱形ABCD中,AB=AC,过点C作一条直线,分别交AB,AD的延长线于M,N,则$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$.
(1)证明:$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$;
(2)如图(2),O为直线AB上一点,OC,OD将平角AOB三等分,点$P_1,P_2,P_3$分别在射线OD,OA,OB上,$OP_1=r_1,OP_2=r_2,OP_3=r_3$,r与r'分别满足$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2},\frac{1}{r'}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}$,仅用无刻度的直尺在图中分别作出长度为r,r'的线段.
还得是你鸭
(1)证明:$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$;
(2)如图(2),O为直线AB上一点,OC,OD将平角AOB三等分,点$P_1,P_2,P_3$分别在射线OD,OA,OB上,$OP_1=r_1,OP_2=r_2,OP_3=r_3$,r与r'分别满足$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2},\frac{1}{r'}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}$,仅用无刻度的直尺在图中分别作出长度为r,r'的线段.
还得是你鸭
答案
(1)证明:
$\therefore BC// AD,CD// AB,AB=AC=AD,\therefore \frac{AB}{AM}=\frac{CN}{MN}$,
$\frac{AD}{AN}=\frac{CM}{MN},\therefore \frac{AB}{AM}+\frac{AD}{AN}=\frac{CN}{MN}+\frac{CM}{MN}=1$.
又 $\because AB=AD=AC,\therefore \frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$.
(2)解:如图,连接 $P_1P_2$ 交 OC 于点 E,则 $OE=r$. 连接 $EP_3$ 交 OD 于点 F,则 $OF=r'$.
解析
【分析】
(1) 要证明$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$，首先结合菱形对边平行、四边相等的性质，结合已知$AB=AC$可推得$AB=AD=AC$。再利用平行线分线段成比例，分别得到$\frac{AB}{AM}$、$\frac{AD}{AN}$对应的比例式，将两个比例式相加后化简得和为1，最后将$AB、AD$替换为$AC$，两边同除以$AC$即可完成证明。
(2) 已知平角$AOB$被$OC、OD$三等分，每个角均为$60°$，可直接套用第(1)问的结论作图：①要得到满足$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$的$r$，在$∠ AOD$中，连接$OA$上的$P_2$和$OD$上的$P_1$，交$OC$于点$E$，根据(1)的结论可知$OE=r$；②要得到满足$\frac{1}{r'}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}$的$r'$，即$\frac{1}{r'}=\frac{1}{OE}+\frac{1}{r_3}$，在$∠ COB$中，连接$OC$上的$E$和$OB$上的$P_3$，交$OD$于点$F$，根据(1)的结论可知$OF=r'$。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$BC// AD$，$CD// AB$，$AB=BC=CD=AD$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AB=AD=AC$。
∵$BC// AN$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AB}{AM}=\frac{CN}{MN}$，
∵$CD// AM$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AD}{AN}=\frac{CM}{MN}$，
∴$\frac{AB}{AM}+\frac{AD}{AN}=\frac{CN}{MN}+\frac{CM}{MN}=\frac{CN+CM}{MN}=\frac{MN}{MN}=1$，
将$AB=AD=AC$代入上式得：$\frac{AC}{AM}+\frac{AC}{AN}=1$，
两边同时除以$AC$，得$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$，得证。
(2) 解：
∵$OC、OD$将平角$AOB$三等分，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=60°$，符合(1)问的角模型条件。
①作长度为$r$的线段：连接$P_1P_2$，交$OC$于点$E$，由(1)的结论可得$\frac{1}{OE}=\frac{1}{OP_1}+\frac{1}{OP_2}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\frac{1}{r}$，即$OE=r$；
②作长度为$r'$的线段：连接$EP_3$，交$OD$于点$F$，由(1)的结论可得$\frac{1}{OF}=\frac{1}{OE}+\frac{1}{OP_3}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r'}$，即$OF=r'$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 连接$P_1P_2$交$OC$于点$E$，则$OE=r$。连接$EP_3$交$OD$于点$F$，则$OF=r'$。
【知识点】
菱形的性质；平行线分线段成比例；无刻度直尺作图
【点评】
本题分为证明和作图两部分，先依托菱形性质和平行线分线段成比例推导得到通用结论，再将结论迁移到三等分角的场景中完成无刻度直尺作图，侧重考查知识的迁移应用能力，需要准确识别模型并灵活套用。
【难度系数】
0.3
(1) 要证明$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$，首先结合菱形对边平行、四边相等的性质，结合已知$AB=AC$可推得$AB=AD=AC$。再利用平行线分线段成比例，分别得到$\frac{AB}{AM}$、$\frac{AD}{AN}$对应的比例式，将两个比例式相加后化简得和为1，最后将$AB、AD$替换为$AC$，两边同除以$AC$即可完成证明。
(2) 已知平角$AOB$被$OC、OD$三等分，每个角均为$60°$，可直接套用第(1)问的结论作图：①要得到满足$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$的$r$，在$∠ AOD$中，连接$OA$上的$P_2$和$OD$上的$P_1$，交$OC$于点$E$，根据(1)的结论可知$OE=r$；②要得到满足$\frac{1}{r'}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}$的$r'$，即$\frac{1}{r'}=\frac{1}{OE}+\frac{1}{r_3}$，在$∠ COB$中，连接$OC$上的$E$和$OB$上的$P_3$，交$OD$于点$F$，根据(1)的结论可知$OF=r'$。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$BC// AD$，$CD// AB$，$AB=BC=CD=AD$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AB=AD=AC$。
∵$BC// AN$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AB}{AM}=\frac{CN}{MN}$，
∵$CD// AM$，由平行线分线段成比例可得$\frac{AD}{AN}=\frac{CM}{MN}$，
∴$\frac{AB}{AM}+\frac{AD}{AN}=\frac{CN}{MN}+\frac{CM}{MN}=\frac{CN+CM}{MN}=\frac{MN}{MN}=1$，
将$AB=AD=AC$代入上式得：$\frac{AC}{AM}+\frac{AC}{AN}=1$，
两边同时除以$AC$，得$\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AC}$，得证。
(2) 解：
∵$OC、OD$将平角$AOB$三等分，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=60°$，符合(1)问的角模型条件。
①作长度为$r$的线段：连接$P_1P_2$，交$OC$于点$E$，由(1)的结论可得$\frac{1}{OE}=\frac{1}{OP_1}+\frac{1}{OP_2}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\frac{1}{r}$，即$OE=r$；
②作长度为$r'$的线段：连接$EP_3$，交$OD$于点$F$，由(1)的结论可得$\frac{1}{OF}=\frac{1}{OE}+\frac{1}{OP_3}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r'}$，即$OF=r'$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 连接$P_1P_2$交$OC$于点$E$，则$OE=r$。连接$EP_3$交$OD$于点$F$，则$OF=r'$。
【知识点】
菱形的性质；平行线分线段成比例；无刻度直尺作图
【点评】
本题分为证明和作图两部分，先依托菱形性质和平行线分线段成比例推导得到通用结论，再将结论迁移到三等分角的场景中完成无刻度直尺作图，侧重考查知识的迁移应用能力，需要准确识别模型并灵活套用。
【难度系数】
0.3
