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1 下列判断正确的是 （
A.不全等的三角形一定不是相似三角形
B.不相似的三角形一定不是全等三角形
C.相似三角形一定不是全等三角形
D.全等三角形不一定是相似三角形
B
）A.不全等的三角形一定不是相似三角形
B.不相似的三角形一定不是全等三角形
C.相似三角形一定不是全等三角形
D.全等三角形不一定是相似三角形
答案
1. B 【解析】A不正确,两个相似的三角形不一定全等;B正确,因为全等三角形是特殊的相似三角形,不相似即不构成全等的前提条件;C不正确,因为相似三角形可以是全等三角形,全等三角形是特殊的相似三角形;D不正确,因为全等三角形一定是相似三角形. 故选 B.
解析
【分析】
解题前首先要明确相似三角形和全等三角形的关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，即全等三角形一定相似，而相似三角形只有当相似比为1时才是全等三角形。解题时可根据这一逻辑关系逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确核心关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，二者是特殊与一般的关系。
选项A：不全等的三角形也可能是相似三角形，例如两个大小不同的等腰直角三角形，对应角相等、对应边成比例，相似但不全等，故A错误；
选项B：全等的前提是三角形首先满足相似的条件（对应角相等、对应边成比例），只是相似比为1，因此不相似的三角形一定不是全等三角形，故B正确；
选项C：当相似三角形的相似比为1时，两个三角形就是全等三角形，因此相似三角形可能是全等三角形，故C错误；
选项D：全等三角形的对应角相等、对应边成比例（比例为1），完全符合相似三角形的定义，因此全等三角形一定是相似三角形，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的概念、全等三角形的概念、相似与全等的联系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查相似三角形和全等三角形的逻辑关系，掌握“全等是特殊的相似”这一核心结论即可快速解题，易错点是容易混淆二者的包含关系，误判相似和全等的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确相似三角形和全等三角形的关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，即全等三角形一定相似，而相似三角形只有当相似比为1时才是全等三角形。解题时可根据这一逻辑关系逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确核心关系：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，二者是特殊与一般的关系。
选项A：不全等的三角形也可能是相似三角形，例如两个大小不同的等腰直角三角形，对应角相等、对应边成比例，相似但不全等，故A错误；
选项B：全等的前提是三角形首先满足相似的条件（对应角相等、对应边成比例），只是相似比为1，因此不相似的三角形一定不是全等三角形，故B正确；
选项C：当相似三角形的相似比为1时，两个三角形就是全等三角形，因此相似三角形可能是全等三角形，故C错误；
选项D：全等三角形的对应角相等、对应边成比例（比例为1），完全符合相似三角形的定义，因此全等三角形一定是相似三角形，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的概念、全等三角形的概念、相似与全等的联系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查相似三角形和全等三角形的逻辑关系，掌握“全等是特殊的相似”这一核心结论即可快速解题，易错点是容易混淆二者的包含关系，误判相似和全等的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
2[2025安徽宿州期中]如图,点P在△ABC的边AB上,∠A=70°,∠B=45°,若△ABC∽△ACP,则∠APC= (
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
(第2题图)
(第3题图)
C
)A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
(第2题图)
(第3题图)
答案
2. C 【解析】
∵ △ABC ∽ △ACP,
∴ ∠ACP = ∠B = 45°,
∴ ∠APC = 180°- ∠A - ∠ACP = 180°-70°-45°=65°. 故选 C.
∵ △ABC ∽ △ACP,
∴ ∠ACP = ∠B = 45°,
∴ ∠APC = 180°- ∠A - ∠ACP = 180°-70°-45°=65°. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，先确定两个相似三角形的对应角，公共角∠A为对应角，可得∠ACP与∠B是对应角，求出∠ACP的度数后，再根据三角形内角和为180°，即可计算出∠APC的度数。
【解析】
∵ △ABC ∽ △ACP，
∴ 对应角相等，即∠ACP = ∠B = 45°，
在△ACP中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠APC = 180°- ∠A - ∠ACP = 180°-70°-45°=65°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可求解，掌握相似三角形的基本性质就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，先确定两个相似三角形的对应角，公共角∠A为对应角，可得∠ACP与∠B是对应角，求出∠ACP的度数后，再根据三角形内角和为180°，即可计算出∠APC的度数。
【解析】
∵ △ABC ∽ △ACP，
∴ 对应角相等，即∠ACP = ∠B = 45°，
在△ACP中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠APC = 180°- ∠A - ∠ACP = 180°-70°-45°=65°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可求解，掌握相似三角形的基本性质就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
3[2025安徽阜阳质检]如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,如果$△ OBC ∽ △ CBD$,那么$\frac{BD}{BC}$的值为 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
A
)A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
3. A 【解析】
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OB与BD的数量关系；再结合△OBC∽△CBD的条件，根据相似三角形对应边成比例列出比例式；最后将OB用BD代换，整理等式即可求出BD与BC的比值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OB=\frac{1}{2}BD$。
又
∵$△ OBC ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OB}{BC}=\frac{BC}{BD}$。
交叉相乘可得$BC^2=OB· BD$，将$OB=\frac{1}{2}BD$代入该式：
$BC^2=\frac{1}{2}BD· BD=\frac{1}{2}BD^2$，
整理得$BD^2=2BC^2$，由于线段长度均为正数，两边同时开方并整理得$\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形的性质和相似三角形的性质结合考查，解题的核心是找准相似三角形的对应边，结合平行四边形对角线的特点建立等量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OB与BD的数量关系；再结合△OBC∽△CBD的条件，根据相似三角形对应边成比例列出比例式；最后将OB用BD代换，整理等式即可求出BD与BC的比值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OB=\frac{1}{2}BD$。
又
∵$△ OBC ∽ △ CBD$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OB}{BC}=\frac{BC}{BD}$。
交叉相乘可得$BC^2=OB· BD$，将$OB=\frac{1}{2}BD$代入该式：
$BC^2=\frac{1}{2}BD· BD=\frac{1}{2}BD^2$，
整理得$BD^2=2BC^2$，由于线段长度均为正数，两边同时开方并整理得$\frac{BD}{BC}=\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形的性质和相似三角形的性质结合考查，解题的核心是找准相似三角形的对应边，结合平行四边形对角线的特点建立等量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
4 [2026 安徽淮北期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=8$,$AC=6$,$BD$平分$∠ ABC$,$CD$平分$∠ ACB$,过点$D$作直线$PQ$,分别交$AB$,$AC$于点$P$,$Q$,若$△ APQ ∽ △ ABC$,则线段$PQ$的长是
$\frac{35}{6}$
.答案
4. $\frac{35}{6}$ 【解析】在 Rt△ABC 中,由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$.
∵ BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,
∴ ∠ABD = ∠CBD,∠ACD = ∠BCD.
∵ △APQ∽△ABC,
∴ ∠APQ = ∠ABC,即 PQ//BC,
∴ ∠PDB = ∠CBD, ∠QDC = ∠BCD,
∴ ∠PDB = ∠ABD, ∠QDC = ∠ACD,
∴ PD = PB,DQ = CQ. 设 PD = PB = a,DQ = CQ = b,
∴ AP=AB-BP=8-a,AQ=AC-CQ=6-b,PQ=PD+DQ=a+b.
∵ △APQ∽△ABC,
∴ $\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}$,即$\frac{8-a}{8}=\frac{6-b}{6}=\frac{a+b}{10}$,
∴ $b=\frac{5}{2},a=\frac{10}{3}$,
∴ $PQ=\frac{10}{3}+\frac{5}{2}=\frac{35}{6}$,故答案为$\frac{35}{6}$.
∵ BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,
∴ ∠ABD = ∠CBD,∠ACD = ∠BCD.
∵ △APQ∽△ABC,
∴ ∠APQ = ∠ABC,即 PQ//BC,
∴ ∠PDB = ∠CBD, ∠QDC = ∠BCD,
∴ ∠PDB = ∠ABD, ∠QDC = ∠ACD,
∴ PD = PB,DQ = CQ. 设 PD = PB = a,DQ = CQ = b,
∴ AP=AB-BP=8-a,AQ=AC-CQ=6-b,PQ=PD+DQ=a+b.
∵ △APQ∽△ABC,
∴ $\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}$,即$\frac{8-a}{8}=\frac{6-b}{6}=\frac{a+b}{10}$,
∴ $b=\frac{5}{2},a=\frac{10}{3}$,
∴ $PQ=\frac{10}{3}+\frac{5}{2}=\frac{35}{6}$,故答案为$\frac{35}{6}$.
解析
【分析】
解题时首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长度；再根据△APQ∽△ABC得到对应角相等，推出PQ//BC，结合BD、CD是角平分线，通过平行线内错角相等可证得PD=PB、DQ=CQ，将PQ转化为PB与CQ的和；最后设PD=PB=a，DQ=CQ=b，根据相似三角形对应边成比例列关于a、b的比例式，求解a、b后相加即可得到PQ的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD
∵△APQ∽△ABC
∴∠APQ=∠ABC，$\therefore$ PQ//BC
∴∠PDB=∠CBD，∠QDC=∠BCD
∴∠PDB=∠ABD，∠QDC=∠ACD
∴PD=PB，DQ=CQ
设PD=PB=a，DQ=CQ=b，则：
AP=AB-BP=8-a，AQ=AC-CQ=6-b，PQ=PD+DQ=a+b
又
∵△APQ∽△ABC，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{8-a}{8}=\frac{6-b}{6}=\frac{a+b}{10}$
解比例式得$a=\frac{10}{3}$，$b=\frac{5}{2}$
∴$PQ=a+b=\frac{10}{3}+\frac{5}{2}=\frac{35}{6}$
【答案】
$\frac{35}{6}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形、角平分线、平行线及相似三角形的相关知识，解题关键是通过相似得到平行关系，结合角平分线推导等线段，再利用相似的比例关系建立方程求解，较好地考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长度；再根据△APQ∽△ABC得到对应角相等，推出PQ//BC，结合BD、CD是角平分线，通过平行线内错角相等可证得PD=PB、DQ=CQ，将PQ转化为PB与CQ的和；最后设PD=PB=a，DQ=CQ=b，根据相似三角形对应边成比例列关于a、b的比例式，求解a、b后相加即可得到PQ的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB
∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD
∵△APQ∽△ABC
∴∠APQ=∠ABC，$\therefore$ PQ//BC
∴∠PDB=∠CBD，∠QDC=∠BCD
∴∠PDB=∠ABD，∠QDC=∠ACD
∴PD=PB，DQ=CQ
设PD=PB=a，DQ=CQ=b，则：
AP=AB-BP=8-a，AQ=AC-CQ=6-b，PQ=PD+DQ=a+b
又
∵△APQ∽△ABC，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{PQ}{BC}$，即$\frac{8-a}{8}=\frac{6-b}{6}=\frac{a+b}{10}$
解比例式得$a=\frac{10}{3}$，$b=\frac{5}{2}$
∴$PQ=a+b=\frac{10}{3}+\frac{5}{2}=\frac{35}{6}$
【答案】
$\frac{35}{6}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形、角平分线、平行线及相似三角形的相关知识，解题关键是通过相似得到平行关系，结合角平分线推导等线段，再利用相似的比例关系建立方程求解，较好地考查了几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC边上的点,$DE// BC$,若$AD=2$,$AB=3$,$DE=4$,则BC等于 (
A.5
B.6
C.7
D.8
(第5题图)
(第6题图)
B
)A.5
B.6
C.7
D.8
(第5题图)
(第6题图)
答案
5. B 【解析】
∵ DE//BC,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{2}{3}=\frac{4}{BC}$,解得 BC=6,故选 B.
∵ DE//BC,
∴ △ADE∽△ABC,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{2}{3}=\frac{4}{BC}$,解得 BC=6,故选 B.
解析
【分析】
解题时先观察图形和已知条件，看到$DE// BC$，首先想到相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可推出$△ ADE$和$△ ABC$相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，把已知的$AD$、$AB$、$DE$的长度代入比例式，就能计算出$BC$的长度。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore $相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
把$AD=2$，$AB=3$，$DE=4$代入比例式得：$\frac{2}{3}=\frac{4}{BC}$，
交叉相乘计算得$2BC=12$，解得$BC=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，主要考查利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例求解线段长度，掌握相似的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形和已知条件，看到$DE// BC$，首先想到相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可推出$△ ADE$和$△ ABC$相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，把已知的$AD$、$AB$、$DE$的长度代入比例式，就能计算出$BC$的长度。
【解析】
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore $相似三角形对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
把$AD=2$，$AB=3$，$DE=4$代入比例式得：$\frac{2}{3}=\frac{4}{BC}$，
交叉相乘计算得$2BC=12$，解得$BC=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，主要考查利用平行线判定相似三角形，结合相似三角形对应边成比例求解线段长度，掌握相似的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6 如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于G,则图中相似三角形共有 (
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
C
)A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
6. C 【解析】
∵ AD//BC,AB//CD,
∴ △ADG∽△ECG,△EGC∽△EAB,
∴ △ADG∽△EBA.
∵ 易证△ABC≌△CDA,
∴ △ABC∽△CDA,
∴ 共有4对,故选 C.
∵ AD//BC,AB//CD,
∴ △ADG∽△ECG,△EGC∽△EAB,
∴ △ADG∽△EBA.
∵ 易证△ABC≌△CDA,
∴ △ABC∽△CDA,
∴ 共有4对,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质，利用平行线得到角相等，根据相似三角形的判定定理先找出直接相似的三角形；再利用相似的传递性得到间接相似的三角形；最后注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，不要遗漏平行四边形对角线分得的两个全等三角形也属于相似三角形，按顺序枚举即可得到总对数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB//CD，△ABC≌△CDA。
① 由AD//CE，可得∠D=∠ECG，∠DAG=∠E，
∴ △ADG∽△ECG；
② 由AB//CG，可得∠B=∠ECG，∠E为公共角，
∴ △EGC∽△EAB；
③ 根据相似三角形的传递性，由△ADG∽△ECG、△EGC∽△EAB，可得△ADG∽△EBA；
④ 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，故△ABC∽△CDA。
综上，共有4对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似的传递性
【点评】
本题考查平行四边形背景下相似三角形的计数，解题时要按顺序梳理相似关系，尤其要注意全等属于特殊的相似，避免漏算或多算相似对。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形的性质，利用平行线得到角相等，根据相似三角形的判定定理先找出直接相似的三角形；再利用相似的传递性得到间接相似的三角形；最后注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，不要遗漏平行四边形对角线分得的两个全等三角形也属于相似三角形，按顺序枚举即可得到总对数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB//CD，△ABC≌△CDA。
① 由AD//CE，可得∠D=∠ECG，∠DAG=∠E，
∴ △ADG∽△ECG；
② 由AB//CG，可得∠B=∠ECG，∠E为公共角，
∴ △EGC∽△EAB；
③ 根据相似三角形的传递性，由△ADG∽△ECG、△EGC∽△EAB，可得△ADG∽△EBA；
④ 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，故△ABC∽△CDA。
综上，共有4对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似的传递性
【点评】
本题考查平行四边形背景下相似三角形的计数，解题时要按顺序梳理相似关系，尤其要注意全等属于特殊的相似，避免漏算或多算相似对。
【难度系数】
0.6
7[2026四川成都龙泉驿区期中]如图,A,B均在方格纸的格点上.在方格纸内另取格点C,D,连接CD,交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1:2的两条线段,则
（
方法1
方法2
A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1,2都对
D.方法1,2都错
（
C
）方法1
方法2
A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1,2都对
D.方法1,2都错
答案
7. C 【解析】方法 1,
∵ AC//BD,BD = 2AC,
∴ △ACP ∽ △BDP,
∴ $\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴ 点 P 把线段 AB 分成 1:2的两条线段. 方法 2,如图,连接 BC,AD.
∵ BC//AD,AD = 2BC,
∴ △ADP∽△BCP,
∴ $\frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴ 点 P 把线段 AB 分成 1:2的两条线段,故方法 1,2 都对. 故选 C.
解析
【分析】
要判断两种方法是否能将AB分成1:2的两条线段，核心思路是利用平行线构造相似三角形：首先观察两种方法中是否存在平行的线段，再结合格点特征得到平行线段的长度比，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，推导AP与BP的比值是否为1:2即可。
【解析】
方法1验证：
由格点特征可知$AC// BD$，且$BD=2AC$，
$\because AC// BD$，$\therefore ∠ ACP=∠ BDP$，$∠ CAP=∠ DBP$，
$\therefore △ ACP ∽ △ BDP$，
$\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即点P把线段AB分成$1:2$的两条线段，方法1正确。
方法2验证：
连接$BC$、$AD$，由格点特征可知$BC// AD$，且$AD=2BC$，
$\because BC// AD$，$\therefore ∠ CBP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ ADP$，
$\therefore △ BCP ∽ △ ADP$，
$\therefore \frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，即点P把线段AB分成$1:2$的两条线段，方法2正确。
综上方法1、2都正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合格点背景考查线段比例分割问题，解题的关键是通过平行线构造相似三角形，结合格点的长度特征确定相似比，进而推导线段的比例关系，能够有效考查学生对相似三角形相关知识的应用能力和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
要判断两种方法是否能将AB分成1:2的两条线段，核心思路是利用平行线构造相似三角形：首先观察两种方法中是否存在平行的线段，再结合格点特征得到平行线段的长度比，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，推导AP与BP的比值是否为1:2即可。
【解析】
方法1验证：
由格点特征可知$AC// BD$，且$BD=2AC$，
$\because AC// BD$，$\therefore ∠ ACP=∠ BDP$，$∠ CAP=∠ DBP$，
$\therefore △ ACP ∽ △ BDP$，
$\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即点P把线段AB分成$1:2$的两条线段，方法1正确。
方法2验证：
连接$BC$、$AD$，由格点特征可知$BC// AD$，且$AD=2BC$，
$\because BC// AD$，$\therefore ∠ CBP=∠ DAP$，$∠ BCP=∠ ADP$，
$\therefore △ BCP ∽ △ ADP$，
$\therefore \frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，即点P把线段AB分成$1:2$的两条线段，方法2正确。
综上方法1、2都正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合格点背景考查线段比例分割问题，解题的关键是通过平行线构造相似三角形，结合格点的长度特征确定相似比，进而推导线段的比例关系，能够有效考查学生对相似三角形相关知识的应用能力和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
8 新考向 跨学科综合 [2026安徽芜湖质检]物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图,蜡烛AB的高为15 cm,蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32 cm,蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为8 cm,则像CD的高为
$\frac{15}{4}$
cm. 答案
8. $\frac{15}{4}$ 【解析】
∵ AB ⊥ BD,CD ⊥ BD,
∴ AB//CD,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$.
∵ AB = 15 cm,
BE = 32 cm,DE = 8 cm,
∴ $\frac{15}{CD}=\frac{32}{8}$,
∴ CD = $\frac{15}{4}$ cm,故答案为$\frac{15}{4}$.
∵ AB ⊥ BD,CD ⊥ BD,
∴ AB//CD,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$.
∵ AB = 15 cm,
BE = 32 cm,DE = 8 cm,
∴ $\frac{15}{CD}=\frac{32}{8}$,
∴ CD = $\frac{15}{4}$ cm,故答案为$\frac{15}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，蜡烛AB和像CD都垂直于水平直线BD，由此可推出AB与CD互相平行；结合对顶角相等的性质，可判定△ABE和△CDE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AB、BE、DE的长度列比例式，即可计算出像CD的高度。
【解析】
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABE=∠CDE=90°，AB//CD，
∴ ∠A=∠C，
又
∵ ∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴ △ABE∽△CDE，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$。
将AB=15 cm，BE=32 cm，DE=8 cm代入比例式，得：
$\frac{15}{CD}=\frac{32}{8}$，
解得$CD=\frac{15×8}{32}=\frac{15}{4}$（cm）。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合物理凸透镜成像的场景命题，体现了跨学科综合的考查方向，解题核心是通过线的平行关系判定相似三角形，再利用比例关系求解未知边长，难度较低，侧重对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，蜡烛AB和像CD都垂直于水平直线BD，由此可推出AB与CD互相平行；结合对顶角相等的性质，可判定△ABE和△CDE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AB、BE、DE的长度列比例式，即可计算出像CD的高度。
【解析】
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABE=∠CDE=90°，AB//CD，
∴ ∠A=∠C，
又
∵ ∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴ △ABE∽△CDE，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$。
将AB=15 cm，BE=32 cm，DE=8 cm代入比例式，得：
$\frac{15}{CD}=\frac{32}{8}$，
解得$CD=\frac{15×8}{32}=\frac{15}{4}$（cm）。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合物理凸透镜成像的场景命题，体现了跨学科综合的考查方向，解题核心是通过线的平行关系判定相似三角形，再利用比例关系求解未知边长，难度较低，侧重对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8
9 如图,$AC// EF// BD$.
(1)求证:$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$;
(2)若$AC=3,EF=2$,求$BD$的值.
(1)求证:$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$;
(2)若$AC=3,EF=2$,求$BD$的值.
答案
9. (1)【证明】
∵ AC//EF,
∴ △BEF∽△BCA,
∴ $\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$.
∵ EF//BD,
∴ △AFE∽△ABD,
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$,
∴ $\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=1$,
∴ $\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$.
(2)【解】当 AC=3,EF=2 时,由(1)可知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$,
∴ $\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴ BD=6.
∵ AC//EF,
∴ △BEF∽△BCA,
∴ $\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$.
∵ EF//BD,
∴ △AFE∽△ABD,
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$,
∴ $\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=1$,
∴ $\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$.
(2)【解】当 AC=3,EF=2 时,由(1)可知$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$,
∴ $\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴ BD=6.
解析
【分析】
（1）要证明$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，可先利用平行线得到两组相似三角形，分别推导$EF$与$AC$、$EF$与$BD$的比例关系，再将两个比例式相加，结合$AF+BF=AB$化简，最后两边同时除以$EF$即可得证；（2）直接将已知的$AC$、$EF$的数值代入（1）得到的结论，解分式方程即可求出$BD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC// EF$，
$\therefore △ BEF∽△ BCA$，
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$。
$\because EF// BD$，
$\therefore △ AFE∽△ ABD$，
$\therefore \frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$。
将两个比例式相加得：
$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=\frac{BF+AF}{BA}=\frac{BA}{BA}=1$，
等式两边同时除以$EF$，可得$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，原式得证。
(2) 解：把$AC=3$，$EF=2$代入$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，得：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$，
移项计算得$\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
解得$BD=6$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、解分式方程、平行线的性质
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的典型基础题型，解题核心是利用平行线推出两组相似三角形，通过比例式相加得到待证的倒数关系，第二问直接套用第一问的结论求解即可，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，可先利用平行线得到两组相似三角形，分别推导$EF$与$AC$、$EF$与$BD$的比例关系，再将两个比例式相加，结合$AF+BF=AB$化简，最后两边同时除以$EF$即可得证；（2）直接将已知的$AC$、$EF$的数值代入（1）得到的结论，解分式方程即可求出$BD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AC// EF$，
$\therefore △ BEF∽△ BCA$，
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{BF}{BA}$。
$\because EF// BD$，
$\therefore △ AFE∽△ ABD$，
$\therefore \frac{EF}{BD}=\frac{AF}{BA}$。
将两个比例式相加得：
$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{BA}+\frac{AF}{BA}=\frac{BF+AF}{BA}=\frac{BA}{BA}=1$，
等式两边同时除以$EF$，可得$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，原式得证。
(2) 解：把$AC=3$，$EF=2$代入$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$，得：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$，
移项计算得$\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
解得$BD=6$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、解分式方程、平行线的性质
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的典型基础题型，解题核心是利用平行线推出两组相似三角形，通过比例式相加得到待证的倒数关系，第二问直接套用第一问的结论求解即可，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
