1[2025重庆北碚区期末,中]如图所示,小强将正方形纸片ABCD剪去一个宽为6 cm的长方形AEFD后,再从剩下的长方形纸片EBCF上剪去一个宽为7 cm的长方形GHCF,若两次剪下的长方形的面积正好相等,求正方形ABCD的边长.设正方形ABCD的边长为x cm,可列出方程为 ()

A.$6(x-7)=7(x-6)$
B.$6x=7(x-6)$
C.$7(x-7)=6x$
D.$6(x-6)=7x$

(第1题图)
(第2题图)

1. B 【解析】因为正方形ABCD的边长为x cm,所以长方形AEFD的长为x cm,宽为6 cm,长方形FGHC的长为(x-6)cm,宽为7 cm. 依题意得6x=7(x-6). 故选 B.

2[2025云南昆明调研,中]如图,水平桌面上有个内部装水的长方体水箱,箱内有一个与底面垂直的隔板,且隔板左右两侧的水面高度分别为40厘米,50厘米.现将隔板抽出,若该过程中箱内的水量未改变,且不计箱子及隔板厚度,则根据图中的数据,可求得隔板抽出后水面静止时,箱内的水面高度为 ()

A.43厘米
B.43.5厘米
C.44厘米
D.45厘米

2. B 【解析】设长方体水箱的宽为x厘米,抽出隔板后水面高度为h厘米. 由题图可知长方体水箱的长为130+70=200(厘米). 因为水箱内的水量未改变,所以130x×40+70x×50=200x·h,解得h=43.5,即抽出隔板后水面静止时,箱内的水面高度为43.5厘米. 故选 B.

3[2025浙江杭州调研,中]如图,地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形ABC,∠C=90°.若将直角三角形锐角顶点处的一个钉子去掉,并将这根彩绳钉成一个长方形,则钉成的长方形的面积是 ()

A.32
B.36
C.32或36
D.24或48

3. C 【解析】直角三角形ABC的周长为6+8+10=24. 分两种情况讨论:
①当去掉顶点A处的钉子时,BC为长方形的一条边. 设长方形另一条边的长为x. 由题意,得2(x+6)=24,解得x=6,所以该长方形的长和宽均为6,其面积为6×6=36.
②当去掉顶点B处的钉子时,AC为长方形的一条边. 设长方形另一条边的长为y. 由题意,得2(y+8)=24,解得y=4,所以该长方形的长和宽分别为8,4,其面积为8×4=32.
综上,所钉成的长方形的面积为32或36.

4[中]有一个不完整的圆柱形玻璃密封容器(如图(1)),测得其底面半径为$a$,高为$h$,其内装蓝色液体若干.按图(2)方式放置时,测得液面高度为$\frac{1}{2}h$;按图(3)方式放置时,测得液面高度为$\frac{2}{3}h$,则该圆柱形玻璃密封容器的容积(圆柱体体积=底面积×高)是


A.$\frac{5π}{24}a^2h$
B.$\frac{5π}{6}a^2h$
C.$\frac{5}{6}a^2h$
D.$\frac{5}{3}ah$

4. B 【解析】设该圆柱形玻璃密封容器的容积为V,则$π×a^2×\frac{1}{2}h=V-π×a^2×(h-\frac{2}{3}h)$,解得$V=\frac{5π}{6}a^2h$,故选 B.

5[2025浙江宁波调研,中]如图,8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板,其中最小的两个正方形边长均为1米,则长方形展板的面积是平方米.

5. 130 【解析】设第二小的正方形的边长是x米,则五种正方形的边长从小到大依次是1米,x米,(x+1)米,(x+3)米,(x+4)米. 根据长方形展板上、下对边相等,得(x+3)+(x+4)=3x+(x+1),解得x=3,所以展板的长是(x+3)+(x+4)=2x+7=13(米),展板的宽是x+(x+4)=2x+4=10(米),所以长方形展板的面积是13×10=130(平方米). 故答案为130.

6[2026河北张家口期末,中]有甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为$a,b$.如图,将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$重叠在一起,形成长为18的纸条,则$a+b=$.

6. 22 【解析】由题意可得$\frac{1}{3}a=\frac{2}{5}b$. 设重叠部分的长度为k,则$a=3k,b=\frac{5}{2}k$. 重叠后的总长度为$a-k+(b-k)+k=18$,即$a+b-k=18$,代入$a=3k,b=\frac{5}{2}k$得$3k+\frac{5}{2}k-k=18$,解得k=4,所以$a=3×4=12,b=\frac{5}{2}×4=10$,所以a+b=22. 故答案为22.

7[2026浙江嘉兴期末，较难]如图，实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1:2:1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底端离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm。
向乙和丙注入相同量的水，开始注水1 min后，乙的水位上升$\frac{5}{6}$ cm. 开始注水 min后，丙的水位比甲高1 cm.

7. $\frac{3}{5}$或$\frac{21}{5}$ 【解析】因为甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)的底面半径之比为1:2:1,所以甲、乙、丙三个圆柱形容器的底面积之比为1:4:1. 因为每分钟同时向乙和丙注入相同量的水,注水1 min后,乙的水位上升$\frac{5}{6}$ cm,所以注水1 min后,丙的水位上升$\frac{5}{6}×4=\frac{10}{3}(cm)$,所以丙的水位上升到5 cm需要的时间为$5÷\frac{10}{3}=\frac{3}{2}(min)$.
①当丙的水位未到达连通管高度时,设注水时间为t min,由丙的水位比甲高1 cm,得$\frac{10}{3}t=1+1$,解得$t=\frac{3}{5}$.
②当乙的水位未到达连通管高度,丙的水位刚到达连通管高度时,乙的水位为$\frac{5}{6}×\frac{3}{2}=\frac{5}{4}(cm)$,从此刻开始,到乙的水位到达连通管高度之间,乙的水位上升速度为$\frac{5}{6}×2=\frac{5}{3}(cm/min)$. 因为乙的水位从$\frac{5}{4}$ cm上升到5 cm,上升高度为$5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}(cm)$,所以乙的水位从$\frac{5}{4}$ cm上升到5 cm所需时间为$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{5}{3}}=\frac{9}{4}(min)$,所以乙的水位到达连通管高度的总时间为$\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{15}{4}(min)$. 因为丙的水位到达连通管高度后,水流入乙,且乙的水位未到达连通管的高度时甲水位不变、丙水位不上升,所以丙、甲水位差值恒为4 cm,无法满足差值为1 cm.
③当丙、乙的水位高度均到达5 cm时,水流向甲,要使丙的水位比甲高1 cm,丙的水位保持5 cm,则甲的水位需到达5-1=4(cm). 甲需注水的高度为4-1=3(cm),所需时间为$3÷(\frac{10}{3}×2)=\frac{9}{20}(min)$,总时间为$\frac{15}{4}+\frac{9}{20}=\frac{21}{5}(min)$.
④当时间大于$\frac{21}{5}$ min时,丙、甲水位相差小于1 cm,不符合题意.
故答案为$\frac{3}{5}$或$\frac{21}{5}$.