8[2025江苏苏州质检,较难]水平桌面上有两个圆柱形容器A、B,容器B的内部底面积是容器A的$\frac{5}{7}$.将一个底面积为30 $cm^2$的圆柱形铁块放入容器A中,一个与它等底等高的圆锥形铁块放入容器B中,再以每分钟0.5升的速度分别向两个容器中同时匀速注水,当容器B中的水面到达圆锥的顶端时,容器A的水面正好和容器B的水面一样高.现将两个铁块交换位置,容器B的水面就上升了20 cm,则圆锥形铁块的体积是 $cm^3$(取放铁块时流失水量忽略不计);再继续按照原速向两个容器注水,当容器B中水面又上升20 cm时,容器A正好满了,则容器A的容量是 $cm^3$.

8. 500 3 500 【解析】设容器A的内部底面积为$x\ cm^2$,圆锥和圆柱的高为h cm,则容器B的内部底面积是$\frac{5}{7}x\ cm^2$. 根据题意得$xh-30h=\frac{5}{7}xh-\frac{1}{3}×30h$,解得x=70. 因为将两个铁块交换位置后,容器B的水面就上升了20 cm,所以$30h-\frac{1}{3}×30h=\frac{5}{7}×70×20$,解得h=50,所以圆锥形铁块的体积为$\frac{1}{3}×30×50=500(cm^3)$. 又注入容器B中水的体积为$\frac{5}{7}×70×20=1000(cm^3)$. 因为注水速度相同,所以又注入容器A中水的体积为1 000 $cm^3$,所以容器A的容积为$70×50-30×50+500+1000=3500(cm^3)$. 故答案为500,3 500.

9[2025山东青岛调研,较难]如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=9,点E是AB边的中点,点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线CB方向运动的一个动点,连结AC,EF.
(1)当$CF=\frac{1}{3}BC$时,求四边形ACFE的面积.
(2)求点F运动多长时间时,三角形BEF的面积等于长方形ABCD面积的六分之一.

9.【解】(1)因为AB=4,BC=9,点E是AB边的中点,$CF=\frac{1}{3}BC$,
所以BE=2,$BF=9-\frac{1}{3}×9=6$,
所以四边形ACFE的面积为$S_{三角形ABC}-S_{三角形BEF}=\frac{1}{2}×4×9-\frac{1}{2}×2×6=12$.
(2)设点F运动x秒时,三角形BEF的面积等于长方形ABCD面积的六分之一.
当点F在线段BC上时,BF=9-2x,所以$S_{三角形BEF}=\frac{1}{2}×2×(9-2x)$,
所以$\frac{1}{6}×4×9=\frac{1}{2}×2×(9-2x)$,解得x=1.5.
当F运动到点B左侧时,BF=2x-9,所以$S_{三角形BEF}=\frac{1}{2}×2×(2x-9)$,所以$\frac{1}{6}×4×9=\frac{1}{2}×2×(2x-9)$,解得x=7.5.
综上,点F运动1.5秒或7.5秒时,三角形BEF的面积等于长方形ABCD面积的六分之一.

10 新考向项目化学习[较难]根据以下素材，探索完成任务.
如何设计宣传牌
素材1 如图(1)是长方形宣传牌，长330 cm，宽220 cm，拟在上面书写24个字.
(1)中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍.
(2)四周空白部分的宽度相等
素材2 如图(2)，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等
素材3 如图(3)，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1:2
图(1) 图(2) 图(3)
问题解决
任务1 分析数量关系 设宣传牌四周空白部分宽度为x cm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽
任务2 确定四周宽度 求出四周空白部分宽度
任务3 确定栏目大小 (1)求每个栏目的水平宽度. (2)求长方形栏目与栏目之间中缝的间距

10.【解】任务1:根据题意,可知设计部分的长为(330-2x)cm,宽为(220-2x)cm.
任务2:因为设计的部分也是长方形,且长是宽的1.55倍,所以330-2x=1.55(220-2x),解得x=10,所以四周空白部分宽度是10 cm.
任务3:(1)设每个栏目的水平宽度为y cm,每栏竖向两列中间间隔是a cm,则横向中间间隔为2a cm. 根据正方形边长相等可得$\frac{220-10×2-2a}{4}=\frac{y-a}{2}$,解得y=100,所以每个栏目的水平宽度为100 cm.
(2)因为$\frac{330-2×10-3×100}{2}=5(cm)$,所以长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5 cm.