4. (类比思维) 受“曹冲称象”的启发，小明在家利用量筒、碗、水盆和足量的水(密度为$\rho_{水}$)、油性笔等，测量鹅卵石的密度。

(1)小明同学设计的实验步骤如下，请将步骤④补充完整。
①如图甲，将鹅卵石放入空碗中，再把碗放入盛有水的水盆中，用油性笔在碗外壁上标记水面的位置；
②如图乙，往量筒内倒入适量的水，记下量筒中水的体积$V_1$；
③如图丙，取出碗中的鹅卵石并放入量筒中，记下鹅卵石和水的总体积$V_2$；
④如图丁，将量筒中的水慢慢倒入水盆中的空碗内，直到标记处与碗外水面，记下量筒中鹅卵石和剩余水的总体积$V_3$。
(2)根据实验得出，鹅卵石的体积$V=$；鹅卵石的质量$m=$；鹅卵石密度的表达式$\rho=$。(均用$V_1$、$V_2$、$V_3$和$\rho_{水}$表示)
(3)(实验评估) 若在步骤④将量筒中的水慢慢倒入水盆中的空碗内时，有部分水悬挂在量筒的内壁上，则所测得鹅卵石的质量，鹅卵石的密度。(均填“偏大”或“偏小”)

(1)④相平 (2)$V_2-V_1$；$\rho_{水}(V_2-V_3)$；$\dfrac{\rho_{水}(V_2-V_3)}{V_2-V_1}$ (3)偏大；偏大
【点拨】(2)图乙中，量筒中水的体积为$V_1$，取出碗中的鹅卵石并放入量筒中，记下鹅卵石和水的总体积$V_2$，鹅卵石的体积$V=V_2-V_1$；将鹅卵石放入空碗中，再把碗放入盛有水的水盆中，用油性笔在碗外壁上标记水面的位置；取出碗中的鹅卵石并放入量筒中，记下鹅卵石和水的总体积$V_2$；将量筒中的水慢慢倒入水盆中的空碗内，直到标记处与碗外水面相平，根据等效替代法，量筒中减小的水的质量即鹅卵石的质量，量筒中减小的水的体积$\Delta V=V_2-V_3$，根据$\rho=\dfrac{m}{V}$可得，减小的水的质量，即鹅卵石的质量$m=\Delta m_{水}=\rho_{水}\Delta V=\rho_{水}(V_2-V_3)$，则鹅卵石密度的表达式$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{\rho_{水}(V_2-V_3)}{V_2-V_1}$。
(3)若在步骤④将量筒中的水慢慢倒入水盆中的空碗内时，有部分水悬挂在量筒的内壁上，则量筒中鹅卵石和剩余水的总体积$V_3$读出的数据偏小，根据$m=\rho_{水}(V_2-V_3)$得出鹅卵石的质量就偏大，则根据$\rho=\dfrac{m}{V}$可知，鹅卵石的密度偏大。

【分析】
本题利用等效替代法结合漂浮条件测量鹅卵石密度，核心思路是：通过标记水面位置，将鹅卵石的质量转化为排开水的质量；量筒中鹅卵石体积为放入后总体积与原有水体积的差值；倒水使碗外水面与标记处相平时，倒出的水的质量等于鹅卵石质量；最后根据密度公式计算密度，误差分析需关注量筒内壁挂水对体积测量的影响。
【解析】
(1) 步骤④需让碗再次漂浮到标记位置，因此要将量筒中的水倒入水盆的空碗内，直到标记处与碗外水面相平，保证碗排开水的体积与初始（碗+鹅卵石）漂浮时的排开体积一致。
(2) 鹅卵石体积：图乙中水的体积为$V_1$，图丙中鹅卵石和水的总体积为$V_2$，故$V = V_2 - V_1$；
根据等效替代法，鹅卵石质量等于倒出的水的质量，倒出水的体积为$V_2 - V_3$，因此$m = \rho_{水}(V_2 - V_3)$；
鹅卵石密度$\rho = \frac{m}{V} = \frac{\rho_{水}(V_2 - V_3)}{V_2 - V_1}$。
(3) 若步骤④有水挂在量筒内壁，会使量筒中剩余水和鹅卵石的总体积$V_3$偏小，导致$V_2 - V_3$偏大，测得的鹅卵石质量偏大；体积测量准确，根据$\rho = \frac{m}{V}$，密度偏大。
【答案】
(1) 相平；(2) $V_2 - V_1$；$\rho_{水}(V_2 - V_3)$；$\dfrac{\rho_{水}(V_2 - V_3)}{V_2 - V_1}$；(3) 偏大；偏大
【知识点】
密度的测量、等效替代法、漂浮条件
【点评】
本题结合“曹冲称象”的等效替代思想，利用漂浮时浮力等于重力的原理解决固体质量测量问题，是密度测量的创新题型，重点考查学生对等效替代法的理解和误差分析能力。
【难度系数】
0.4

5. [深圳二模节选] 为了解室内空气密度对种子的保存是否有影响，需要测量空气密度。
(1)用打气筒将足球打足气，用电子秤称出此时足球的质量为$m_1$。
(2)如图所示，将量杯装满水后倒扣在水槽中，用气针和乳胶管将足球内的空气引入量杯内，当时，记下量杯内空气的体积为$V$，用夹子夹紧乳胶管暂停放气。
(3)重复步骤(2)$n$次，每次量杯内收集空气的体积均为$V$。
(4)用电子秤称出放气$n$次后足球的质量为$m_2$，则所测空气的密度为(用$m_1$、$m_2$、$V$和$n$表示)。

(2)量杯内空气达到量杯的最大测量值 (4)$\dfrac{m_1-m_2}{nV}$

【分析】
要测量空气密度，需准确获取收集空气的总质量和总体积。步骤(2)中，为保证每次收集空气体积准确，需当量杯内空气达到最大测量值时停止放气，确保每次收集体积为V，方便后续计算；步骤(4)中，足球减少的质量等于n次收集空气的总质量，结合总容积，利用密度公式即可算出空气密度。
【解析】
(2) 为准确测量收集空气的体积，需当量杯内空气达到量杯的最大测量值时停止放气，保证每次收集空气体积为V，便于后续计算。
(4) 足球放气n次后，减少的质量为n次收集空气的总质量，即$m_{\mathrm{空气总}}=m_1 - m_2$；n次收集空气的总体积$V_{\mathrm{总}}=nV$；根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得空气密度$\rho=\frac{m_1 - m_2}{nV}$。
【答案】
(2) 量杯内空气达到量杯的最大测量值；(4) $\dfrac{m_1 - m_2}{nV}$
【知识点】
密度的测量；密度公式应用
【点评】
本题是测量空气密度的实验题，考查实验步骤的合理性设计和密度公式的应用，需明确实验中质量、体积的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

6. ★★★ 小明同学测量一种易溶于水的固体颗粒的密度，测量的部分方法和结果如图所示。

(1)因该固体颗粒易溶于水，小明同学采用如图所示方法测量体积，固体颗粒的体积是 $\mathrm{cm}^3$。
(2)该固体颗粒的密度是 $\mathrm{kg/m}^3$。
(3)（实验评估）在图C操作中，若摇动不够充分，则测出的密度值将偏；若因细铁砂较少，全部倒进并反复摇动后，没有完全覆盖固体颗粒，则测出的密度将偏。

(1)80 (2)$2.1×10^3$ (3)小；小
【点拨】(1)由图A可知细铁砂的体积是90 $\mathrm{cm}^3$，由图C可知固体颗粒与细铁砂的总体积是170 $\mathrm{cm}^3$，该固体颗粒的体积$V=170\ \mathrm{cm}^3-90\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$。(2)该固体颗粒的密度$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{168\ \mathrm{g}}{80\ \mathrm{cm}^3}=2.1\ \mathrm{g/cm}^3=2.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。(3)当摇动不够充分，细铁砂未充满颗粒的空隙时，测量的固体颗粒与细铁砂的总体积就偏大了，由$\rho=\dfrac{m}{V}$可知，测出的固体颗粒的密度就偏小了；当细铁砂较少而没有完全覆盖颗粒时，与颗粒上表面相平的刻度线下面还有空隙，使得测量的固体颗粒与细铁砂的总体积偏大，从而使测量的固体颗粒的体积偏大，由$\rho=\dfrac{m}{V}$可知，测出的值比实际密度偏小。

【分析】
本题针对易溶于水的固体颗粒，无法用常规排水法测体积，故采用排细铁砂法替代：先测量细铁砂的体积，再测量细铁砂与固体颗粒的总体积，两者差值即为固体体积；再利用密度公式计算密度。实验评估时，需分析操作对体积测量的影响，进而判断密度的误差。
【解析】
(1) 量筒读数时视线与凹液面底部相平：图A中细铁砂体积$V_{\mathrm{砂}}=90\ \mathrm{mL}=90\ \mathrm{cm}^3$，图C中固体颗粒与细铁砂总体积$V_{\mathrm{总}}=170\ \mathrm{mL}=170\ \mathrm{cm}^3$，则固体颗粒体积$V=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{砂}}=170\ \mathrm{cm}^3-90\ \mathrm{cm}^3=80\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 已知固体颗粒质量$m=168\ \mathrm{g}$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，代入数据得：$\rho=\frac{168\ \mathrm{g}}{80\ \mathrm{cm}^3}=2.1\ \mathrm{g/cm}^3=2.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$（$1\ \mathrm{g/cm}^3=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$）。
(3) ①若摇动不充分，细铁砂未填满颗粒间隙，测得的总体积偏大，固体体积计算值偏大，由$\rho=\frac{m}{V}$可知，密度偏小；②若细铁砂未完全覆盖颗粒，测得的总体积仍偏大，固体体积计算值偏大，同理密度偏小。
【答案】
(1)80 (2)$2.1×10^3$ (3)小；小
【知识点】
密度计算、特殊方法测固体密度
【点评】
本题针对易溶于水的固体，用排细铁砂法解决体积测量难题，既考查密度基本计算，又通过实验评估分析误差，是密度测量的典型题型，需理解替代法原理与误差逻辑。
【难度系数】
0.5

7. [深圳中考] 田田同学想要测量质量为6.9 g的筷子的密度，筷子很长，因此田田将筷子分成高度一样的两部分，中间画上一条横线，把筷子一段浸入量筒中，横线在图甲与水面重合时读出体积$V_1$，取出；然后再把筷子另一段放入水中，横线在图乙与水面重合时读出体积$V_2$。

(1)筷子的体积是 $\mathrm{cm}^3$，田田同学通过计算得出密度$\rho_{筷}=$ $\mathrm{g/cm}^3$。
(2)这样求出的密度（填“偏大”或“偏小”）。
(3)(实验改进) 请帮助田田同学用现有装置来改进实验：。

(1)6；1.15 (2)偏大 (3)将筷子取出后将水擦干，把筷子另一段放入水中之前，把量筒中的水补充到40 mL
【点拨】(1)图中量筒的分度值是2 mL，第一段筷子的体积$V_1=44\ \mathrm{cm}^3-40\ \mathrm{cm}^3=4\ \mathrm{cm}^3$，第二段筷子的体积$V_2=42\ \mathrm{cm}^3-40\ \mathrm{cm}^3=2\ \mathrm{cm}^3$，则筷子的体积$V=V_1+V_2=4\ \mathrm{cm}^3+2\ \mathrm{cm}^3=6\ \mathrm{cm}^3$；筷子的密度$\rho_{筷}=\dfrac{m}{V}=\dfrac{6.9\ \mathrm{g}}{6\ \mathrm{cm}^3}=1.15\ \mathrm{g/cm}^3$。
(2)第一次取出筷子时会带走部分水，水的体积减小，小于40 mL，再把筷子另一段放入水中，测出的体积会偏小，即测出的总体积偏小，计算出的密度值偏大。

【分析】
要解决这道题，首先需明确量筒的分度值，读取初始水体积及放入两段筷子后的量筒示数，计算两段筷子的体积之和得到筷子总体积，再利用密度公式计算筷子密度；接着分析实验操作中的误差来源，判断密度测量值的偏差；最后针对误差来源提出实验改进方法。具体步骤：1. 确定量筒分度值，读取初始水体积为40mL；2. 分别读取甲、乙图中放入两段筷子后的量筒示数，计算两段筷子体积，求和得总体积；3. 用密度公式ρ=m/V计算密度；4. 分析取出筷子时带出水导致后续体积测量偏小，从而密度偏大；5. 改进实验需消除带出水的影响，补充水到初始刻度。
【解析】
(1) 量筒的分度值为2mL，初始水体积V水=40mL；甲图中放入第一段筷子后，量筒示数V甲=44mL，故第一段筷子体积V₁=V甲 - V水=44mL - 40mL=4cm³；乙图中放入第二段筷子后，量筒示数V乙=42mL，故第二段筷子体积V₂=V乙 - V水=42mL - 40mL=2cm³；筷子总体积V=V₁+V₂=4cm³+2cm³=6cm³。根据密度公式ρ=m/V，筷子密度ρ筷=6.9g/6cm³=1.15g/cm³。
(2) 第一次取出筷子时，筷子会带走部分水，导致量筒内剩余水的体积小于40mL；再放入第二段筷子时，测得的体积差会偏小，即计算出的筷子总体积偏小，根据ρ=m/V，质量准确，体积偏小，故密度测量值偏大。
(3) 为消除筷子带出水的影响，改进方法：将筷子取出后擦干，把筷子另一段放入水中之前，把量筒中的水补充到40mL。
【答案】
(1)6；1.15 (2)偏大 (3)将筷子取出后将水擦干，把筷子另一段放入水中之前，把量筒中的水补充到40mL
【知识点】
密度的测量；量筒的使用；实验误差分析
【点评】
本题考查固体密度的测量实验，重点考查量筒读数、密度公式应用及实验误差分析，要求学生理解实验操作的细节对结果的影响，是中考常见的实验题型，注重对实验探究能力的考查。
【难度系数】
0.5