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1. 将二次函数$y=x^2 -2x +3$化为$y=(x-h)^2 +k$的形式，结果为（
A.$y=(x+1)^2 +4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x-1)^2 +4$
D.$y=(x-1)^2 +2$
D
）A.$y=(x+1)^2 +4$
B.$y=(x+1)^2 +2$
C.$y=(x-1)^2 +4$
D.$y=(x-1)^2 +2$
答案
1.D
2. 将抛物线$G:y=x^2+4x+6$向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到抛物线$C_2$，则抛物线$C_2$的表达式为（
A.$y=x^2-1$
B.$y=(x-2)^2+1$
C.$y=(x-2)^2-1$
D.$y=x^2+1$
知识点2 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质
D
）A.$y=x^2-1$
B.$y=(x-2)^2+1$
C.$y=(x-2)^2-1$
D.$y=x^2+1$
知识点2 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质
答案
2.D
3.[2025盐城] 已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当自变量$x$满足$0≤ x≤4$时，$y$的取值范围是
$-4≤y≤5$
。答案
3.$-4≤y≤5$ 【点拨】当所给的二次函数的自变量的取值范围包含了对称轴所对应的$x$的值时,不能忽略其在对称轴处取得的最值.
4. 2025·徐州 一题多解 二次函数 $ y = x^2 + x + 1 $ 的最小值为
$\frac{3}{4}$
。答案
4.$\frac{3}{4}$ 【点拨】方法1(配方法):$y=x^2 +x +1=x^2 +x +\frac{1}{4} +\frac{3}{4}=(x+\frac{1}{2})^2 +\frac{3}{4}$,当$x=-\frac{1}{2}$时,二次函数$y=x^2 +x +1$取最小值,最小值为$\frac{3}{4}$.
方法2(公式法):$\because a=1,b=1,c=1,\therefore$ 当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$时,$y$取最小值是$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{3}{4}$.
方法3(代入法):$\because a=1,b=1,c=1,\therefore$ 当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$时,$y_{\mathrm{最小值}}=(-\frac{1}{2})^2 +(-\frac{1}{2})+1=\frac{3}{4}$.
方法2(公式法):$\because a=1,b=1,c=1,\therefore$ 当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$时,$y$取最小值是$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{3}{4}$.
方法3(代入法):$\because a=1,b=1,c=1,\therefore$ 当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$时,$y_{\mathrm{最小值}}=(-\frac{1}{2})^2 +(-\frac{1}{2})+1=\frac{3}{4}$.
5. [2025攀枝花] 关于抛物线 $ y=-x^2+6x-7 $，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=-3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,7) $
D.顶点坐标是 $ (3,2) $
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x=-3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0,7) $
D.顶点坐标是 $ (3,2) $
答案
5.D 【点拨】$\because y=-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2$,$\therefore$ 抛物线的开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标是$(3,2)$.当$x=0$时,$y=-7$,$\therefore$ 抛物线与$y$轴的交点坐标是$(0,-7)$.故选D.
6. 新考法 性质辨析法 已知二次函数$y=ax^2 -2x +\frac{1}{2}(a$为常数，且$a＞0)$，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；④当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
其中所有正确结论的序号是（
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
其中所有正确结论的序号是（
B
）A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
答案
6.B 【点拨】$\because a＞0$,$\therefore$ 抛物线开口向上.$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2a}=\frac{1}{a}＞0$,$c=\frac{1}{2}＞0$,$\therefore$ 二次函数图象必经过第一、二象限. 对于$b^2-4ac=4-2a$,$\because a＞0$,$\therefore 4-2a＜4$.当$4-2a＜0$时,抛物线与$x$轴无交点,二次函数图象只经过第一、二象限;当$4-2a=0$时,抛物线与$x$轴有一个交点,二次函数图象只经过第一、二象限;当$0＜4-2a＜4$时,抛物线与$x$轴有两个交点,二次函数图象经过第一、二、四象限. 故①错误,②正确.$\because$ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=\frac{1}{a}＞0$,$\therefore$ 当$x＜\frac{1}{a}$时,$y$随$x$的增大而减小;当$x＞\frac{1}{a}$时,$y$随$x$的增大而增大,故③正确,④错误. 故选B.
7.[浙江平湖文涛中学自主招生]当$-2≤x≤n$时，二次函数$y=x^2 -x -1$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，则$n$的值可能是（
A.$-\frac{1}{4}$
B.$0$
C.$1$
D.$-\frac{3}{2}$或$2$
D
）A.$-\frac{1}{4}$
B.$0$
C.$1$
D.$-\frac{3}{2}$或$2$
答案
7.D 【点拨】如图,当$-2＜n＜\frac{1}{2}$时,$[(-2)^2-(-2)-1]-(n^2-n-1)=\frac{9}{4}$,$\therefore n=-\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$(舍去),$\therefore n=-\frac{3}{2}$;当$n≥\frac{1}{2}$时,$\because[(-2)^2-(-2)-1]-[(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-1]≠\frac{9}{4}$,$\therefore n^2-n-1-[(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-1]=\frac{9}{4}$,$\therefore n=2$($n=-1$舍去).综上,$n$的值可能为$-\frac{3}{2}$或$2$.
8. 新考法 数形结合法 二次函数 $ y=ax^2+bx $ 的图象如图，则一次函数 $ y=x+b $ 的图象一定不经过第
四
象限.答案
8.四
9. [2025安徽] 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则下列式子正确的是 （
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
9.C 【点拨】$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象开口向上,$\therefore a＞0$. 又$\because x=-\frac{b}{2a}＞0$,$\therefore b＜0$. $\because$ 抛物线与$y$轴的交点在负半轴上,$\therefore c＜0$. $\therefore abc＞0$,故选项A错误. 由图象易知$-\frac{b}{2a}＜1$. 又$\because a＞0$,$\therefore -b＜2a$.$\therefore 2a+b＞0$,故选项B错误. 当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$,即$4a-4b+4c＞0$;当$x=2$时,$y=4a+2b+c=0$,$\therefore (4a+2b+c)-(4a-4b+4c)＜0$.即$2b-c＜0$. 故选项C正确. 选项D错误. 故选C.
10. 将二次函数 $ y=-2x^2 -4x +5 $ 化成 $ y=a(x-h)^2 +k $ 的形式是
$y=-2(x+1)^2+7$
.答案
10.$y=-2(x+1)^2+7$
11. ★★ 教材母题 教材P24练习T1变式 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 与一次函数 $ y = ax + \frac{1}{2}b $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）答案
11.C 【点拨】二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$,对于一次函数$y=ax+\frac{1}{2}b$,令$y=0$,则$0=ax+\frac{1}{2}b$,解得$x=-\frac{b}{2a}$,$\therefore$ 一次函数图象与二次函数图象的对称轴交于$x$轴同一点,$\therefore$ B,D错误. A. $\because$ 二次函数图象开口向上,对称轴在$y$轴右侧,$\therefore a＞0$,$-\frac{b}{2a}＞0$.$\therefore b＜0$.$\therefore$ 一次函数图象经过第一、三、四象限,故本选项不符合题意;C. $\because$ 二次函数图象开口向下,对称轴在$y$轴左侧,$\therefore a＜0$,$-\frac{b}{2a}＜0$.$\therefore b＜0$.$\therefore$ 一次函数图象经过第二、三、四象限,故本选项符合题意. 故选C.
