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11. ★★ 新考法 分类讨论法 如图，抛物线$y=(x-h)^2 + k$的顶点在$△ AOB$的边OA所在的直线上运动，$△ AOB$的顶点A的坐标为$(-2,1)$，点B的坐标为$(0,2)$，若抛物线与$△ AOB$的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是（
A.$-\dfrac{3}{2}≤ h≤ \dfrac{1}{2}$
B.$-2≤ h≤ 0$
C.$-1≤ h≤ \dfrac{3}{2}$
D.$-2≤ h≤ \dfrac{1}{2}$
D
）A.$-\dfrac{3}{2}≤ h≤ \dfrac{1}{2}$
B.$-2≤ h≤ 0$
C.$-1≤ h≤ \dfrac{3}{2}$
D.$-2≤ h≤ \dfrac{1}{2}$
答案
11.D 【点拨】
∵点 A 的坐标为 $ (-2,1) $,
∴易得直线 OA 的表达式为 $ y=-\frac{1}{2}x.∵ $ 抛物线 $ y=(x-h)^2+k $ 的顶点坐标为 $ (h,k) $,且在直线 OA 上,$∴k=-\frac{1}{2}h.∴ $ 抛物线对应的函数表达式为 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $.当抛物线经过点 $ O(0,0) $ 时,将点 $ O(0,0) $ 的坐标代入 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $,得 $ h^2-\frac{1}{2}h=0 $,解得 $ h_1=0,h_2=\frac{1}{2} $;当抛物线经过点 $ A(-2,1) $ 时,将点 $ A(-2,1) $ 的坐标代入 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $,得 $ (-2-h)^2-\frac{1}{2}h=1 $,整理,得 $ 2h^2+7h+6=0 $,解得 $ h_1=-2 $,$ h_2=-\frac{3}{2} $.综上所述,h 的取值范围是 $ -2≤h≤\frac{1}{2}. $
∵点 A 的坐标为 $ (-2,1) $,
∴易得直线 OA 的表达式为 $ y=-\frac{1}{2}x.∵ $ 抛物线 $ y=(x-h)^2+k $ 的顶点坐标为 $ (h,k) $,且在直线 OA 上,$∴k=-\frac{1}{2}h.∴ $ 抛物线对应的函数表达式为 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $.当抛物线经过点 $ O(0,0) $ 时,将点 $ O(0,0) $ 的坐标代入 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $,得 $ h^2-\frac{1}{2}h=0 $,解得 $ h_1=0,h_2=\frac{1}{2} $;当抛物线经过点 $ A(-2,1) $ 时,将点 $ A(-2,1) $ 的坐标代入 $ y=(x-h)^2-\frac{1}{2}h $,得 $ (-2-h)^2-\frac{1}{2}h=1 $,整理,得 $ 2h^2+7h+6=0 $,解得 $ h_1=-2 $,$ h_2=-\frac{3}{2} $.综上所述,h 的取值范围是 $ -2≤h≤\frac{1}{2}. $
12. 已知点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$都在抛物线$y=\frac{1}{a}(x-2)^2 -1$上，且$x_2 -x_1=3$.
(1)若$y_1=y_2$，则$x_1x_2=$
(2)若点$M,N$在对称轴两侧，且$a＞0,y_1＞y_2$，当$x_1≤ x≤ x_2$时，$y$的最大值为0，则$a$的取值范围是
(1)若$y_1=y_2$，则$x_1x_2=$
$\frac{7}{4}$
；(2)若点$M,N$在对称轴两侧，且$a＞0,y_1＞y_2$，当$x_1≤ x≤ x_2$时，$y$的最大值为0，则$a$的取值范围是
$\frac{9}{4}＜a＜9$
.答案
12.(1)$\frac{7}{4}$ (2)$\frac{9}{4}＜a＜9$ 【点拨】(1)$∵y_1=y_2$,
∴点 M,N 关于直线 $ x=2 $ 对称,$∴\frac{x_1+x_2}{2}=2.∵x_2-x_1=3 $,
∴联立得 $\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=2,\\x_2-x_1=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1=\frac{1}{2},\\x_2=\frac{7}{2}.\end{cases}$ $∴x_1x_2=\frac{7}{4}$.故答案为 $\frac{7}{4}$.
(2)
∵点 M,N 在对称轴两侧,且 $ x_2-x_1=3 $,
∴点 M 在对称轴左侧,点 N 在对称轴右侧.$∴x_1＜2,x_2＞2.∵x_2-x_1=3,∴x_1+3＞2 $,即 $ x_1＞-1.∵a＞0,y_1＞y_2 $,
∴点 M 到对称轴的距离比点 N 到对称轴的距离远.$∴x_2-2＜2-x_1.∴x_1+3-2＜2-x_1 $,解得 $ x_1＜\frac{1}{2}.∴-1＜x_1＜\frac{1}{2}.∴-1-2＜x_1-2＜\frac{1}{2}-2.∴(-3)^2＞(x_1-2)^2＞(-\frac{3}{2})^2 $,即 $ 9＞(x_1-2)^2＞\frac{9}{4} $.若 $ x_1≤x≤x_2 $,则当 $ x=x_1 $ 时,y 有最大值 0,$∴\frac{1}{a}(x_1-2)^2-1=0 $,即 $ (x_1-2)^2=a $,
∴a 的取值范围是 $ \frac{9}{4}＜a＜9 $.故答案为 $ \frac{9}{4}＜a＜9. $
∴点 M,N 关于直线 $ x=2 $ 对称,$∴\frac{x_1+x_2}{2}=2.∵x_2-x_1=3 $,
∴联立得 $\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=2,\\x_2-x_1=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1=\frac{1}{2},\\x_2=\frac{7}{2}.\end{cases}$ $∴x_1x_2=\frac{7}{4}$.故答案为 $\frac{7}{4}$.
(2)
∵点 M,N 在对称轴两侧,且 $ x_2-x_1=3 $,
∴点 M 在对称轴左侧,点 N 在对称轴右侧.$∴x_1＜2,x_2＞2.∵x_2-x_1=3,∴x_1+3＞2 $,即 $ x_1＞-1.∵a＞0,y_1＞y_2 $,
∴点 M 到对称轴的距离比点 N 到对称轴的距离远.$∴x_2-2＜2-x_1.∴x_1+3-2＜2-x_1 $,解得 $ x_1＜\frac{1}{2}.∴-1＜x_1＜\frac{1}{2}.∴-1-2＜x_1-2＜\frac{1}{2}-2.∴(-3)^2＞(x_1-2)^2＞(-\frac{3}{2})^2 $,即 $ 9＞(x_1-2)^2＞\frac{9}{4} $.若 $ x_1≤x≤x_2 $,则当 $ x=x_1 $ 时,y 有最大值 0,$∴\frac{1}{a}(x_1-2)^2-1=0 $,即 $ (x_1-2)^2=a $,
∴a 的取值范围是 $ \frac{9}{4}＜a＜9 $.故答案为 $ \frac{9}{4}＜a＜9. $
13. 2026·滁州期中 新考法·分割法 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$与$x$轴,$y$轴分别交于点$C$,$D$,抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$($k$为常数)经过点$D$且交$x$轴于$A$,$B$两点.
(1)抛物线的函数表达式为
(2)若点$P$为抛物线的顶点,连接$AD$,$DP$,$CP$.求四边形$ACPD$的面积.
(1)抛物线的函数表达式为
$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$
;(2)若点$P$为抛物线的顶点,连接$AD$,$DP$,$CP$.求四边形$ACPD$的面积.
答案
13.【解】(1)$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4$ 【点拨】把 $ x=0 $ 代入 $ y=-\frac{3}{2}x+3 $ 中,得 $ y=3 $,$∴D(0,3).∵ $ 抛物线 $ y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+k $(k 为常数)经过点 D,$∴-\frac{1}{4}×(0-2)^2+k=3 $,解得 $ k=4.∴ $ 抛物线的函数表达式为 $ y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4. $
(2)
∵抛物线的函数表达式为 $ y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4 $,
∴顶点 P 的坐标为 $ (2,4). $
把 $ y=0 $ 代入 $ y=-\frac{3}{2}x+3 $ 中,得 $ -\frac{3}{2}x+3=0 $,解得 $ x=2 $,
$∴C(2,0).∴PC⊥x $ 轴,$PC=4. $
过点 D 作 $ DE⊥PC $ 于点 E,则 $ DE=2 $,$∴S_{△CDP}=\frac{1}{2}PC·DE=\frac{1}{2}×4×2=4. $
把 $ y=0 $ 代入 $ y=-\frac{1}{4}(x-2)^2+4 $ 中,得 $ -\frac{1}{4}(x-2)^2+4=0 $,解得 $ x_1=-2,x_2=6 $,
$∴A(-2,0).∴ $ 易得 $ AC=4.∵D(0,3),∴DO=3. $
$∴S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DO=\frac{1}{2}×4×3=6. $
$∴S_{四边形ACPD}=S_{△ACD}+S_{△CDP}=6+4=10. $
14. 如图,抛物线$y=(x+1)^2 +k$与$x$轴交于$A$, $B$两点,与$y$轴交于点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的对称轴及$k$的值;
(2)抛物线的对称轴上存在一点$P$,使得$PA+PC$的值最小,求此时点$P$的坐标;
(3)点$M$是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当点$M$运动到何处时,$△ AMB$的面积最大?求出$△ AMB$的最大面积及此时点$M$的坐标;
②当点$M$运动到何处时,四边形$AMCB$的面积最大?求出四边形$AMCB$的最大面积及此时点$M$的坐标.
(1)求抛物线的对称轴及$k$的值;
(2)抛物线的对称轴上存在一点$P$,使得$PA+PC$的值最小,求此时点$P$的坐标;
(3)点$M$是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当点$M$运动到何处时,$△ AMB$的面积最大?求出$△ AMB$的最大面积及此时点$M$的坐标;
②当点$M$运动到何处时,四边形$AMCB$的面积最大?求出四边形$AMCB$的最大面积及此时点$M$的坐标.
答案
14.【解】(1)易知抛物线的对称轴为直线 $ x=-1.∵ $ 抛物线 $ y=(x+1)^2+k $ 与 y 轴交于点 $ C(0,-3) $,$∴-3=1+k.∴k=-4. $
(2)由(1)可知抛物线的表达式为 $ y=(x+1)^2-4. $
易知当 A,P,C 三点共线时,$PA+PC$ 的值最小.
当 $ y=0 $ 时,$(x+1)^2-4=0 $,解得 $ x=-3 $ 或 $ x=1. $
∵点 A 在点 B 的左侧,$∴A(-3,0),B(1,0). $ 设直线 AC 的表达式为 $ y=nx+b $,$∴\begin{cases}-3n+b=0,\\b=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}n=-1,\\b=-3.\end{cases}$
∴直线 AC 的表达式为 $ y=-x-3. $ 当 $ x=-1 $ 时,$ y=-(-1)-3=-2 $,$∴ $ 点 P 的坐标为 $ (-1,-2). $
(3)
∵点 M 是抛物线上的一动点,
∴设点 M 的坐标为 $ (x,(x+1)^2-4). $
又
∵点 M 在第三象限,$∴-3＜x＜0. $
①易知 $ AB=4 $,$∴S_{△AMB}=\frac{1}{2}×4×|(x+1)^2-4|=2|(x+1)^2-4|.∵ $ 点 M 在第三象限,$∴S_{△AMB}=8-2(x+1)^2. $
$∴ $ 当 $ x=-1 $,即点 M 的坐标为 $ (-1,-4) $ 时,$△AMB$ 的面积最大,最大值为 8.
②如图,过点 M 作 $ MD⊥AB $ 于 D.
则 $ S_{四边形ABCM}=S_{△OBC}+S_{△ADM}+S_{梯形OCMD}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×(3+x)×[4-(x+1)^2]+\frac{1}{2}×(-x)×[3+4-(x+1)^2]=-\frac{3}{2}(x^2+3x-4)=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2+\frac{75}{8} $,
$∴ $ 当 $ x=-\frac{3}{2} $ 时,四边形 AMCB 的面积最大,最大面积为 $ \frac{75}{8} $.
此时 $ (x+1)^2-4=(-\frac{3}{2}+1)^2-4=-\frac{15}{4} $,$∴ $ 点 M 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},-\frac{15}{4}). $