登录
12. 在平面直角坐标系中，两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2 - 2ax(a＞0)$上，则下列结论中正确的是（
A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时，$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，$y_1＜y_2$
A
）A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时，$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，$y_1＜y_2$
答案
12.A 【点拨】$\because y=ax^2-2ax(a＞0)$,$\therefore$ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,抛物线与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$和$(2,0)$.把$x=1$代入$y=ax^2-2ax$,得$y=a-2a=-a$,$\therefore$ 顶点坐标为$(1,-a)$. $\because$ 两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,$\therefore$ 当$x_1＜0$且$y_1· y_2＜0$时,$y_1＞0$(因$x＜0$时抛物线在$x$轴上方),$y_2＜0$.$\therefore 0＜x_2＜2$,故A选项的结论正确;$\because$ 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x_1＜x_2＜1$时,$y_1＞y_2$,故B选项的结论错误;当$x_1＜0$且$y_1· y_2＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故C选项的结论错误;$\because$ 当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 当$x_1＞x_2＞1$时,$y_1＞y_2$,故D选项的结论错误;故选A.
13. ★★ 对于一个二次函数$y=a(x-m)^2+k(a≠0)$中存在一点$P(x',y')$，使得$x'-m=y'-k≠0$，则称$2|x'-m|$为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$的“开口大小”为
4
。答案
13.4 【点拨】根据抛物线的“开口大小”的定义可知$y-k=a(x-m)^2$中存在一点$P(x',y')$,使得$x'-m=y'-k≠0$,则$a=\frac{y'-k}{(x'-m)^2}=\frac{1}{x'-m}$. $\because y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3=-\frac{1}{2}(x^2-\frac{2}{3}x)+3=-\frac{1}{2}(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})+3=-\frac{1}{2}(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})+\frac{1}{18}+3=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^2+\frac{55}{18}$,$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$中存在一点$P(x',y')$使得$-\frac{1}{2}=\frac{1}{x'-\frac{1}{3}}$,整理得$x'-\frac{1}{3}=-2$.$\therefore 2\left|x'-\frac{1}{3}\right|=4$.$\therefore$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x+3$的“开口大小”为4.
14. 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$($b,c$为常数)的顶点横坐标是抛物线$y=-x^2+4x+c$顶点横坐标的2倍.
(1)$b$的值为________；
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+4x+c$上，点$B(x_1+m,y_1+t)$在抛物线$y=-x^2+bx+c$上.
①求$t$(请用含$m,x_1$的代数式表示)；
②若$x_1=m+1$且$-1≤ x_1≤2$，求$t$的最大值.
(1)$b$的值为________；
(2)点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+4x+c$上，点$B(x_1+m,y_1+t)$在抛物线$y=-x^2+bx+c$上.
①求$t$(请用含$m,x_1$的代数式表示)；
②若$x_1=m+1$且$-1≤ x_1≤2$，求$t$的最大值.
答案
14.【解】(1)8 【点拨】$\because y=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+c+4$,$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+4x+c$的顶点横坐标为2. $\because y=-x^2+bx+c$的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$,且为抛物线$y=-x^2+4x+c$顶点横坐标的2倍,$\therefore \frac{b}{2}=2×2$,解得$b=8$.
(2)①$\because$ 点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+4x+c$上,点$B(x_1+m,y_1+t)$在抛物线$y=-x^2+bx+c$上,$b=8$,
$\therefore y_1=-x_1^2+4x_1+c$,$y_1+t=-(x_1+m)^2+8(x_1+m)+c$.
$\therefore t=-m^2-2mx_1+4x_1+8m$.
②$\because x_1=m+1$,$\therefore t=-m^2-2mx_1+4x_1+8m=-m^2-2m(m+1)+4(m+1)+8m=-3m^2+10m+4=-3(m-\frac{5}{3})^2+\frac{37}{3}$.
$\because -1≤ x_1≤2$,$\therefore -1≤ m+1≤2$,解得$-2≤ m≤1$.
$\because$ 当$m≤\frac{5}{3}$时,$t$随着$m$的增大而增大,
$\therefore$ 当$m=1$时,$t$有最大值,最大值为$-3×(1-\frac{5}{3})^2+\frac{37}{3}=11$.
(2)①$\because$ 点$A(x_1,y_1)$在抛物线$y=-x^2+4x+c$上,点$B(x_1+m,y_1+t)$在抛物线$y=-x^2+bx+c$上,$b=8$,
$\therefore y_1=-x_1^2+4x_1+c$,$y_1+t=-(x_1+m)^2+8(x_1+m)+c$.
$\therefore t=-m^2-2mx_1+4x_1+8m$.
②$\because x_1=m+1$,$\therefore t=-m^2-2mx_1+4x_1+8m=-m^2-2m(m+1)+4(m+1)+8m=-3m^2+10m+4=-3(m-\frac{5}{3})^2+\frac{37}{3}$.
$\because -1≤ x_1≤2$,$\therefore -1≤ m+1≤2$,解得$-2≤ m≤1$.
$\because$ 当$m≤\frac{5}{3}$时,$t$随着$m$的增大而增大,
$\therefore$ 当$m=1$时,$t$有最大值,最大值为$-3×(1-\frac{5}{3})^2+\frac{37}{3}=11$.
15. ★★★ 新题型 存在性探究题 抛物线 $y=ax^2+bx+6$（$a≠0$）与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，顶点为点$D$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若在线段$BC$上存在一点$M$，使得$∠ BMO=45°$，则点$M$的坐标为
(3)如图②，若点$P$是$y$轴上一动点，点$Q$是抛物线对称轴上一动点，是否存在点$P,Q$，使得以点$P$，$Q$，$C$，$D$为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，若在线段$BC$上存在一点$M$，使得$∠ BMO=45°$，则点$M$的坐标为
$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$
；(3)如图②，若点$P$是$y$轴上一动点，点$Q$是抛物线对称轴上一动点，是否存在点$P,Q$，使得以点$P$，$Q$，$C$，$D$为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
15.【解】(1)$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+6$经过点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,
$\therefore\begin{cases}a-b+6=0,\\9a+3b+6=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=4.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-2x^2+4x+6$.
(2)$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$ 【点拨】在$y=-2x^2+4x+6$中,当$x=0$时,$y=6$,$\therefore$ 点$C(0,6)$. 设直线$BC$的表达式为$y=kx+c$,
$\therefore\begin{cases}3k+c=0,\\c=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\c=6.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-2x+6$.
如图①,过点$O$作$OH⊥ OM$交$CB$的延长线于点$H$,过点$M$作$MN⊥ y$轴于点$N$,过点$H$作$HK⊥ y$轴于点$K$,则$∠ MNO=∠ OKH=90°$.
设点$M$的坐标为$(m,-2m+6)(0＜m＜3)$,则$MN=m$,$ON=-2m+6$.
$\because OH⊥ OM$,$\therefore ∠ MOH=90°$.
$\because ∠ OMB=45°$,$\therefore$ 易得$△ MOH$是等腰直角三角形.$\therefore OM=OH$.
易知$∠ MON+∠ KOH=90°$,$∠ OHK+∠ KOH=90°$,$\therefore ∠ MON=∠ OHK$.
在$△ OMN$和$△ HOK$中,
$\begin{cases}∠ MNO=∠ OKH,\\∠ MON=∠ OHK,\\OM=HO,\end{cases}$$\therefore△ OMN≌△ HOK$.
$\therefore OK=MN=m$,$HK=ON=-2m+6$.$\therefore H(-2m+6,-m)$.
$\because$ 点$H(-2m+6,-m)$在直线$y=-2x+6$上,
$\therefore -2(-2m+6)+6=-m$,解得$m=\frac{6}{5}$,
此时$-2m+6=-2×\frac{6}{5}+6=\frac{18}{5}$,
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(\frac{6}{5},\frac{18}{5})$.
(3)存在.
$\because$ 抛物线的表达式为$y=-2x^2+4x+6=-2(x-1)^2+8$,顶点为$D$,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(1,8)$.
分两种情况讨论:
①当$CD$为菱形的边时,如图②.
$\because D(1,8)$,$C(0,6)$,
$\therefore CD=\sqrt{(1-0)^2+(8-6)^2}=\sqrt{5}$.
$\therefore DQ=CD=\sqrt{5}$.
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(1,8-\sqrt{5})$或$(1,8+\sqrt{5})$;
②当$CD$为菱形的对角线时,如图③,
设点$Q(1,q)$,$P(0,n)$.
$\because C(0,6)$,$D(1,8)$,$\therefore 8-q=n-6$.
$\therefore n=14-q$.$\therefore P(0,14-q)$.
$\therefore PC=14-q-6=8-q$.
$\because CQ=\sqrt{(1-0)^2+(q-6)^2}=\sqrt{1+(q-6)^2}$,$PC=CQ$,
$\therefore 8-q=\sqrt{1+(q-6)^2}$,解得$q=\frac{27}{4}$.
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(1,\frac{27}{4})$.
综上所述,点$Q$的坐标为$(1,8-\sqrt{5})$或$(1,8+\sqrt{5})$或$(1,\frac{27}{4})$.
