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1. 已知二次函数的图象过$(-1,-9),(1,-3)$和$(3,-5)$三点,则此二次函数的表达式为 $(\quad)$
A.$y=x^2+3x-5$
B.$y=-x^2+3x-5$
C.$y=x^2-3x+5$
D.$y=-x^2-3x-5$
A.$y=x^2+3x-5$
B.$y=-x^2+3x-5$
C.$y=x^2-3x+5$
D.$y=-x^2-3x-5$
答案
B
2. 已知一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（
A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（
D
）A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
答案
【点拨】由题意得$\begin{cases}4a-2b+c=-8,\\c=0,\\9a+3b+c=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=0,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1.$
$\because a=-1＜0,\therefore$图象的开口向下,故选项A不符合题意;图象的对称轴是直线$x=1$,故选项D符合题意;当$0＜x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,故选项B不符合题意;$\because$顶点坐标为$(1,1)$且经过原点,图象的开口向下,$\therefore$图象经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意.
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1.$
$\because a=-1＜0,\therefore$图象的开口向下,故选项A不符合题意;图象的对称轴是直线$x=1$,故选项D符合题意;当$0＜x＜1$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小,故选项B不符合题意;$\because$顶点坐标为$(1,1)$且经过原点,图象的开口向下,$\therefore$图象经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意.
3. 抛物线的对称轴为直线 $ x=3 $，$ y $ 的最大值为$-5$，且与 $ y=\frac{1}{2}x^2 $ 的图象开口大小相同，则这条抛物线的表达式为（
A.$ y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 +5 $
B.$ y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 -5 $
C.$ y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +5 $
D.$ y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -5 $
B
）A.$ y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 +5 $
B.$ y=-\frac{1}{2}(x-3)^2 -5 $
C.$ y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +5 $
D.$ y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -5 $
答案
B
4. 情境题 生活应用 中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为$\frac{1}{2}$米，在如图的平面直角坐标系中，这个喷泉对应的函数表达式是（
A.$y=-(x-\dfrac{1}{2})^2 +3$
B.$y=-3(x+\dfrac{1}{2})^2 +3$
C.$y=-12(x-\dfrac{1}{2})^2 +3$
D.$y=-12(x+\dfrac{1}{2})^2 +3$
C
）A.$y=-(x-\dfrac{1}{2})^2 +3$
B.$y=-3(x+\dfrac{1}{2})^2 +3$
C.$y=-12(x-\dfrac{1}{2})^2 +3$
D.$y=-12(x+\dfrac{1}{2})^2 +3$
答案
C
5.若抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点的坐标为$(-1,0),(3,0)$，此抛物线的形状、开口方向都与抛物线$y=-2x^2$相同，则该抛物线对应的函数表达式为（
A.$y=-2x^2 -x +3$
B.$y=-2x^2 +4x +5$
C.$y=-2x^2 +4x +8$
D.$y=-2x^2 +4x +6$
D
）A.$y=-2x^2 -x +3$
B.$y=-2x^2 +4x +5$
C.$y=-2x^2 +4x +8$
D.$y=-2x^2 +4x +6$
答案
D
6. 如图，抛物线对应的函数表达式可能是 （
A.$y=x^2 - x + 2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x + 2$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1$
D.$y=-x^2 + x + 2$
D
）A.$y=x^2 - x + 2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x + 2$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1$
D.$y=-x^2 + x + 2$
答案
【点拨】由题图可知抛物线开口向下,且与$x$轴的交点坐标为$(-1,0),(2,0)$,则可设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-2)=a(x^2-x-2).$对比各选项可知,A,B,C选项无法变形为$y=a(x^2-x-2)$的形式,而当$a=-1$时,可推出D选项,故选D.
7. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$L_1$交$x$轴于点$A(1,0),C(5,0)$,顶点坐标为$E(m_1,k)$.抛物线$L_2$交$x$轴于点$B(2,0),D(10,0)$,顶点坐标为$F(m_2,k)$.
(1)连接$EF$,求线段$EF$的长;
(2)点$M(-7,d_1)$在抛物线$L_1$上,点$N(16,d_2)$在抛物线$L_2$上,比较大小:$d_1$
(1)连接$EF$,求线段$EF$的长;
(2)点$M(-7,d_1)$在抛物线$L_1$上,点$N(16,d_2)$在抛物线$L_2$上,比较大小:$d_1$
＞
$d_2$.答案
(1)由题意可得$m_1=\frac{5+1}{2}=3,m_2=\frac{2+10}{2}=6$，
$\therefore EF=6-3=3.$
(2)$＞$ 【点拨】由题意,设抛物线$L_1:y_1=a_1(x-1)(x-5)$,抛物线$L_2:y_2=a_2(x-2)(x-10)$,由(1)得$E(3,k),F(6,k)$,
$\therefore a_1(3-1)(3-5)=a_2(6-2)(6-10).\therefore a_1=4a_2.\therefore y_1=4a_2(x-1)(x-5).$把$M(-7,d_1)$的坐标代入抛物线$L_1$对应的函数表达式,得$d_1=4a_2(-7-1)(-7-5)=384a_2$;把$N(16,d_2)$的坐标代入抛物线$L_2$对应的函数表达式,得$d_2=a_2(16-2)(16-10)=84a_2.$$\because$抛物线$L_2$的开口向上,$\therefore a_2＞0.$$\therefore d_1＞d_2.$
$\therefore EF=6-3=3.$
(2)$＞$ 【点拨】由题意,设抛物线$L_1:y_1=a_1(x-1)(x-5)$,抛物线$L_2:y_2=a_2(x-2)(x-10)$,由(1)得$E(3,k),F(6,k)$,
$\therefore a_1(3-1)(3-5)=a_2(6-2)(6-10).\therefore a_1=4a_2.\therefore y_1=4a_2(x-1)(x-5).$把$M(-7,d_1)$的坐标代入抛物线$L_1$对应的函数表达式,得$d_1=4a_2(-7-1)(-7-5)=384a_2$;把$N(16,d_2)$的坐标代入抛物线$L_2$对应的函数表达式,得$d_2=a_2(16-2)(16-10)=84a_2.$$\because$抛物线$L_2$的开口向上,$\therefore a_2＞0.$$\therefore d_1＞d_2.$
