【数学史料】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一,其中记载的“同余思想”为我们研究周期性变化规律提供了方法.
【应用举例】例如:①$3^1=3$,②$3^2=9$,③$3^3=27$,④$3^4=81$,⑤$3^5=243$,⑥$3^6=729$,⑦$3^7=2\ 187$,⑧$3^8=6\ 561,···$,我们可以发现3的指数幂个位数字分别是3,9,7,1这四个数字不断重复出现,因此我们把它称为周期性变化规律,其周期为4.$3^5$是第五个指数幂,用序号$5÷4$,商1余1,于是第五个指数幂$3^5$的个位数字与第一个指数幂的个位数字相同;$3^6$是第六个指数幂,用序号$6÷4$,商1余2,于是第六个指数幂$3^6$的个位数字与第二个指数幂的个位数字相同;$3^7$是第七个指数幂,用序号$7÷4$,商1余3,于是第七个指数幂$3^7$的个位数字与第三个指数幂的个位数字相同;$3^8$是第八个指数幂,用序号$8÷4$,商2余0,于是第八个指数幂$3^8$的个位数字与第四个指数幂的个位数字相同,$···$,按照这样的方法,第2 023个指数幂$3^{2023}$的个位数字,就用$2023÷4$,余数是3,所以$3^{2023}$的个位数字与第三个指数幂$3^3$的个位数字相同,都是7.也就是说用序号分别除以周期,所得余数相同的指数幂其个位数字相同.
【归纳小结】应对周期性变化规律,找准变化周期,用同余(余数相同)关系解决问题.
【拓广探索】已知$a$是不为1的有理数,我们把$\dfrac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数,如:2的差倒数是$\dfrac{1}{1-2}=-1$.现已知$a_1=\dfrac{1}{2}$,$a_2$是$a_1$的差倒数,$a_3$是$a_2$的差倒数,$a_4$是$a_3$的差倒数,$···$,以此类推,$a_n$是$a_{n-1}$的差倒数($n$为正整数).
(1)已知当$a_1=\dfrac{1}{2}$时的差倒数为周期性变化规律,则$a_7$的值为________;
(2)计算$a_{2\ 021}· a_{2\ 022}· a_{2\ 023}$;
(3)记$S=a_1+a_2+a_3+···+a_n$,用含$n$的式子表示$S$的值.

(1) 因为$a_1=\dfrac{1}{2}$,所以$a_2=2,a_3=-1,a_4=\dfrac{1}{2},a_5=2$,$a_6=-1,···$,所以变化周期为3. 因为$7÷3=2······1$,所以$a_7=a_1=\dfrac{1}{2}$. 故答案为$\dfrac{1}{2}$.
(2) 因为$2\ 021÷3=673······2$,
$2\ 022÷3=674$,
$2\ 023÷3=674······1$,
所以$a_{2\ 021}=a_2=2,a_{2\ 022}=a_3=-1,a_{2\ 023}=a_1=\dfrac{1}{2}$,
所以$a_{2\ 021}· a_{2\ 022}· a_{2\ 023}=-1$.
(3) 因为$a_1=\dfrac{1}{2},a_2=2,a_3=-1$,所以$a_1+a_2+a_3=\dfrac{3}{2}$,所以
当$n$是3的倍数时,$S=\dfrac{3}{2}×\dfrac{n}{3}=\dfrac{n}{2}$;
当$n$除以3的余数为1时,$S=\dfrac{3}{2}×\dfrac{n-1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{n}{2}$;
当$n$除以3的余数为2时,$S=\dfrac{3}{2}×\dfrac{n-2}{3}+\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{n+3}{2}$.
综上所述,$S=\begin{cases}\dfrac{n}{2}(n 是 3 的倍数),\\\dfrac{n}{2}(n 除以 3 的余数为 1),\\\dfrac{n+3}{2}(n 除以 3 的余数为 2).\end{cases}$