17 已知:如图(1),点A,O,B依次在直线MN上,现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转,同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转,如图(2),设旋转时间为$t(0≤t≤90)$秒.
(1)用含$t$的代数式表示$∠MOA$的度数.
(2)在运动过程中,当$∠AOB$第二次达到$60°$时,求$t$的值.
(3)在旋转过程中是否存在这样的$t$,使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的两条所形成的角(指大于$0°$而不超过$180°$的角)的平分线?如果存在,请直接写出$t$的值;如果不存在,请说明理由.

【解】(1) $∠MOA=2t°$.
(2)根据题意知 $∠AOM=2t°,∠BON=4t°$.
当 $∠AOB$ 第二次达到 $60°$ 时, $∠AOM+∠BON-∠MON=60°$,
即 $2t+4t-180=60$,解得 $t=40$.
故 $t=40$ 时,$∠AOB$ 第二次达到 $60°$.
(3)存在. $t=18$ 或 22.5 或 36 或 67.5.
有以下三种情况:
①$OB$ 平分 $∠AOM$ 时,
因为 $\frac{1}{2}∠AOM=∠BOM$,所以 $t=180-4t$,解得 $t=36$;
②$OB$ 平分 $∠MON$ 时,
因为 $∠BOM=\frac{1}{2}∠MON$,
即 $∠BOM=90°$,
所以 $4t=90$ 或 $4t-180=90$,
解得 $t=22.5$ 或 $t=67.5$;
③$OB$ 平分 $∠AON$ 时,
因为 $∠BON=\frac{1}{2}∠AON$,
所以 $4t=\frac{1}{2}(180-2t)$,解得 $t=18$.
综上,$t$ 的值为 18 或 22.5 或 36 或 67.5.

18[2026河南郑州质检]已知数轴上有A,B,C三点,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a,b满足$|a+60|+(b-80)^2=0$,点C表示的数为x,且x是方程$x=\frac{3}{4}x+10$的解.
(1)数轴上点A,B,C表示的数分别为,,.
(2)如图(1),若动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P,Q同时出发,经过多少秒时,P,Q之间的距离恰好等于20?
(3)如图(2),若动点P,Q同时从点A,B出发,向右匀速运动,同时动点R从点C出发,向左匀速运动.已知点R的速度是v个单位长度/秒,点P的速度是点R速度的4倍,点Q的速度是点R速度的3倍少5个单位长度.经过6秒时,P,Q,R三点中恰好有一点为其余两点的中点.请直接写出v的值.

【解】(1)因为 $|a+60|+(b-80)^2=0$,所以 $a+60=0,b-80=0$,所以 $a=-60,b=80$,所以点 $A,B$ 表示的数分别为 $-60,80$.
因为 $x=\frac{3}{4}x+10$,解得 $x=40$,所以点 $C$ 表示的数为40. 故答案为 $-60,80,40$.
(2)设运动时间为 $t$ 秒,则点 $P$ 表示的数为 $-60+5t$,点 $Q$ 表示的数为 $80-3t$. 因为点 $P,Q$ 之间的距离恰好等于 20,所以 $|80-3t-(-60+5t)|=20$,即 $140-8t=20$或 $140-8t=-20$,解得 $t=15$ 或 $t=20$,所以经过 15 秒或 20 秒时,$P,Q$ 之间的距离恰好等于 20.
(3)$v$ 的值为 $\frac{35}{6}$. 根据题意,得点 $R$ 的速度为每秒 $v$ 个单位长度,点 $P$ 的速度是每秒 $4v$ 个单位长度,点 $Q$ 的速度是每秒 $(3v-5)$ 个单位长度,运动 6 秒后,点 $P$表示的数为 $-60+6×4v=24v-60$,点 $Q$ 表示的数为$80+6(3v-5)=18v+50$,点 $R$ 表示的数为 $40-6v$. 若 $P$为 $QR$ 的中点,则 $2(24v-60)=18v+50+40-6v$,解得$v=\frac{35}{6}$;若 $Q$ 为 $PR$ 的中点,则 $2(18v+50)=24v-60+40-6v$,解得 $v=-\frac{20}{3}$(舍去);若 $R$ 为 $PQ$ 的中点,则$2(40-6v)=24v-60+18v+50$,解得 $v=\frac{5}{3}$,此时点 $Q$ 的速度为 0,不符合题意,舍去.
综上所述,$v$ 的值为 $\frac{35}{6}$.