三、解答题(共45分)
12 如图,平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图:
(1)画直线AB,CD交于点E;
(2)画线段AC,BD交于点F;
(3)作射线BC;
(4)连接E,F交BC于点G;
(5)连接AD,并将线段AD反向延长.

【解】(1)(2)(3)(4)(5)如图所示.

13[2026山东济南期末]计算:
(1)$48°39'+67°31'-21°17'$；
(2)$90°-36°12'15''×2$.

(1)原式$=115°70'-21°17'=94°53'$.
(2) 原式 $= 90° - 72°24'30'' = 89°59'60'' -72°24'30''=17°35'30''$.

14 如图,线段AB上顺次有三个点C,D,E,把线段AB分为了2:3:4:5四部分,且AB=28.
(1)求线段AE的长;
(2)若M,N分别是DE,EB的中点,求线段MN的长度.

【解】(1)设 $AC=2x$,则 $CD,DE,EB$ 分别为 $3x$,$4x$,$5x$.
由题意得 $2x+3x+4x+5x=28$,
解得 $x=2$,则 $AC,CD,DE,EB$ 的长分别为 4,6,8,10,则 $AE=AC+CD+DE=4+6+8=18$.
(2)如图.

因为 $M$ 是 $DE$ 的中点,所以 $ME=\frac{1}{2}DE=4$.
因为 $N$ 是 $EB$ 的中点,所以 $EN=\frac{1}{2}EB=5$.
所以 $MN=ME+EN=4+5=9$.

15[2026 四川绵阳期末]如图，$∠ AOB = ∠ DOC = 90°$，$OE$ 平分 $∠ AOD$，反向延长射线 $OE$ 至 $F$.
(1) $∠ AOD$ 和 $∠ BOC$ .(填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”)
(2) $OF$ 是 $∠ BOC$ 的平分线吗？为什么？
(3) 反向延长射线 $OA$ 至 $G$，若 $∠ COG$ 与 $∠ FOG$ 的度数比为 $1:3$，求 $∠ AOD$ 的度数.

【解】(1) 因为 $∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-90°=180°$,所以 $∠AOD$ 和$∠BOC$ 互补. 故答案为互补.
(2)是. 理由:因为 $OE$ 平分 $∠AOD$,所以 $∠EOD=∠EOA$,所以 $∠BOF=180°-90°-∠EOA=90°-∠EOA$, $∠COF=180°-90°-∠EOD=90°-∠EOD$, 所以 $∠BOF=∠COF$, 所以 $OF$ 是$∠BOC$ 的平分线.
(3) 设 $∠COG=x,∠FOG=3x$, 所以 $∠FOC=∠BOF=2x$. 因为 $∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG=180°$,所以 $90°+2x+2x+x=180°$,解得$x=18°$,所以 $∠COG=18°$. 因为 $∠DOC=90°$,所以 $∠DOG=72°$,所以 $∠AOD=180°-∠DOG=108°$.

16 已知点A,B,C是直线l上三个点(点A在点B左侧),点D,E分别是AC,BC的中点.
(1)特例探究:如图,当点C在线段AB上,且AB=10时,求DE的长度.
(2)若AB=a,求线段DE的长度.
(3)归纳结论:经历了上述探究过程,请你用简短的文字概括上述探究得到的结论.

【解】(1)如图(1).

因为点 $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}BC$. 因为 $AB=10$,所以 $DE=CD+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=5$,所以 $DE$ 的长度为 5.
(2)分三种情况:①当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,如图(1).
因为点 $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}BC$.
因为 $AB=a$,所以 $DE=CD+CE=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$.
②当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,如图(2).

因为点 $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}BC$. 因为 $AB=a$,所以 $DE=CD-CE=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$.
③当点 $C$ 在线段 $BA$ 的延长线上时,如图(3).

因为点 $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}BC$. 因为 $AB=a$, 所以 $DE=CE-CD=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(BC-AC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$. 综上所述,线段 $DE$的长度为 $\frac{1}{2}a$.
(3)结论:当点 $C$ 在直线 $AB$ 上时(不与 $A,B$ 重合),无论点 $C$ 在直线 $AB$ 的什么位置,若 $D,E$ 分别为 $AC$,$BC$ 的中点,则 $DE$ 的长度始终等于 $\frac{1}{2}AB$.