4[2025湖南中考]如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R千米,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（）


A.$\frac{5}{72}π R$千米
B.$\frac{1}{12}π R$千米
C.$\frac{5}{36}π R$千米
D.$\frac{2}{9}π R$千米

由题意得，∠AOB=∠AOC-∠BOC=25°，
∴劣弧AB的长为25πR/180=5πR/36(千米). 故选C.

【分析】
首先明确A、B两点位于同一经线圈上，因此两点所在圆的半径等于地球半径R；其次根据北纬的定义，北纬的度数是该点与地心连线和赤道平面的夹角，因此两点对应的圆心角为两个北纬的度数差；最后将圆心角度数和半径代入弧长公式，即可求出劣弧AB的长度。
【解析】
解：由题意得，A、B均在东经116°的经线圈上，
两点对应的圆心角$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC = 40° - 15° = 25°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为圆的半径），
可得劣弧AB的长为$\frac{25π R}{180}=\frac{5}{36}π R$（千米）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算；圆心角求解；经纬度的几何意义
【点评】
本题属于跨学科的基础应用题，结合经纬度的实际场景考查弧长公式的应用，解题的核心是正确提取几何信息求出两点对应的圆心角，计算过程简单，属于应知应会的题型。
【难度系数】
0.7

5[2025江苏南通中考]如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是5:3:1.如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为Pa.

设这块砖的质量为m，与地面的接触面积为S，地面所受压强为p，则pS=mg(g为重力系数，是定值)，即p与S成反比例关系.
∵S_B:S_C=3:1，
∴p_B:p_C=1:3.
∵B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，
∴C面向下放在地上时，地面所受压强为3a Pa，故答案为3a.

【分析】
要解决这道题，首先回忆压强的计算公式：$p=\frac{F}{S}$。本题中砖对地面的压力等于砖自身的重力，重力是固定值，因此压力$F$为定值，由此可知压强$p$和受力面积$S$成反比例关系，即受力面积越小，压强越大。接下来根据已知的B、C面的面积比，利用反比例的性质得到两者的压强比，再代入B面向下时的压强$a\ \mathrm{Pa}$，就能求出C面向下时的压强。
【解析】
设砖对地面的压力为$F$（即砖的重力，为定值），地面所受压强为$p$，受力面积为$S$，根据压强公式可得$pS=F$（定值），因此压强$p$与受力面积$S$成反比例关系。
已知A、B、C三个面的面积比是$5:3:1$，因此$S_B:S_C=3:1$。
根据反比例的性质，当乘积为定值时，两个量的比值互为反比，因此$p_B:p_C=S_C:S_B=1:3$。
已知B面向下时地面所受压强$p_B=a\ \mathrm{Pa}$，因此$p_C=3p_B=3a\ \mathrm{Pa}$。
【答案】
$3a$
【知识点】
反比例关系应用、压强公式、比例计算
【点评】
本题属于跨学科的实际应用题，结合物理压强知识考查反比例性质的运用，解题的关键是明确压力不变时，压强与受力面积成反比，再结合已知的面积比即可快速求出对应压强，注重考查知识的灵活迁移能力。
【难度系数】
0.8

6[2025山东滨州中考]在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等。如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是。

由题意，设两电子元件分别为a,b，则有a断b通、a断b断、a通b断、a通b通，共4种等可能的结果，其中A,B之间电流能够正常通过的只有a通b通1种情况，故A,B之间电流能够正常通过的概率是1/4. 故答案为1/4.

【分析】
要解决这个问题，首先明确该电路为串联结构，电流从A到B正常通过的前提是两个电子元件都处于通电状态。首先枚举所有等可能的元件状态组合，再找出满足电流导通的组合数，最后根据等可能事件的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数，即可算出结果。
【解析】
设两个电子元件分别为a、b，每个元件有通电、断电两种等可能的状态，因此两个元件的状态组合共有4种等可能的结果，分别为：a断b通、a断b断、a通b断、a通b通。
由于两个元件串联，只有两个元件同时通电时，A、B之间的电流才能正常通过，因此符合条件的结果只有a通b通这1种。
根据概率公式可得，A、B之间电流能够正常通过的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题将简单电路知识与概率计算相结合，解题的关键是明确串联电路电流导通的条件，准确列举出所有等可能的情况，再代入概率公式计算即可，属于基础概率应用题。
【难度系数】
0.7

7[2025江苏扬州中考]材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银”,莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.

【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图(1)所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图(1)中的∠PMN就是水滴的一个接触角.


(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图(2)中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而(选填“变强”“不变”“变弱”).
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数,进而求出接触角∠CAD的度数(如图(3)).
(3)请探索图(3)中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示),并说明理由.
【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图(3)中与△ABC相关的量描述外,还可以用什么量来描述,请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.

(1)如图(1)，接触角为∠PMN.
①在圆弧上取一点C，固、液、气三相接触点为M,N，连接MC,NC；
②分别作MC,NC的垂直平分线，交于点O，则点O为圆弧所在圆的圆心；
③连接OM并延长，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求.

(2)由题意和图可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，故答案为变强.
(3)∠CAD=2∠BAC. 理由如下：
如图(2)，连接OA，则OA=OB，
∴∠ABC=∠OAB.
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD=90°.
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC=90°.
∵∠ABC=∠OAB，
∴∠BAD=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC.
(4)
∵水滴弧的长度为l=nπr/180，
∴l/r=π/180 n，
∴可以根据l/r的大小进行判断，l/r越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强(答案不唯一).

【分析】
本题结合生活中的疏水性现象考查几何知识的应用，解题思路如下：
(1) 首先明确接触角的定义：过固液气三相接触点的气液界线（圆弧）的切线，与固液界线（水平线）的夹角。要作切线需先找圆弧所在圆的圆心：根据垂径定理，任意两条不平行弦的垂直平分线交点即为圆心，再过接触点作半径的垂线得到切线，即可得到接触角。
(2) 根据材料描述，疏水性是材料与水排斥的性质，接触角越大，水滴越接近球形，说明水越不容易附着在材料上，疏水性越强。
(3) 要找∠CAD和∠BAC的关系，首先利用切线垂直于过切点的半径得到直角，再结合BC⊥AC得到的直角，利用等角的余角相等，结合等腰三角形等边对等角的性质，即可推导得到两角的倍数关系。
(4) 开放类问题，可结合水滴的形状参数，比如水滴高度与底面半径的比值、水滴圆弧的弧长与半径的比值等，只要该参数能反映水滴接近球形的程度即可，参数越大说明疏水性越强。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 在圆弧上取一点C，固、液、气三相接触点记为M、N，连接MC、NC；
② 分别作MC、NC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，点O即为圆弧所在圆的圆心；
③ 连接OM并延长，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，∠PMN即为所求的接触角，需保留作图痕迹。
(2) 由题意可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，说明材料与水的排斥性越强，即疏水性越强，因此填“变强”。
(3) ∠CAD=2∠BAC，理由如下：
连接OA，
∵OA、OB都是圆弧所在圆的半径，
∴OA=OB，
∴∠ABC=∠OAB。
∵AD是圆弧的切线，根据切线的性质，OA⊥AD，
∴∠OAD=90°，即∠OAB+∠BAD=90°。
又
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°。
结合∠ABC=∠OAB，根据等角的余角相等，可得∠BAD=∠BAC。
∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC。
(4) 示例：可以用水滴的高度BC与底面圆半径AC的比值来描述，$\frac{BC}{AC}$越大，说明水滴越高，越接近球形，疏水性越强。也可以用水滴圆弧的弧长与半径的比值$\frac{l}{r}$描述，$\frac{l}{r}$越大，疏水性越强，答案合理即可。
【答案】
(1) 接触角为∠PMN，作图步骤：①在圆弧上取一点C，固、液、气三相接触点为M,N，连接MC,NC；②分别作MC,NC的垂直平分线，交于点O，则点O为圆弧所在圆的圆心；③连接OM并延长，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求。
(2) 变强
(3) $\boldsymbol{∠CAD=2∠BAC}$，理由见解析
(4) 示例：可以根据$\frac{l}{r}$的大小进行判断，$\frac{l}{r}$越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）
【知识点】
尺规作图，切线的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中的疏水性现象创设情境，将几何知识与实际应用相结合，既考查了尺规作图、切线性质、角度推导等基础几何能力，又考查了学生的创新应用意识，引导学生学会用数学知识解释、解决生活中的实际问题，符合新中考的考查方向。
【难度系数】
0.65