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1[2025辽宁中考]中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为 (
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
)A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
利用矩形面积公式即可列出方程为x(60-x)=864，故选A.
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的已知条件与等量关系：第一步，结合设出的宽为x步，根据“长与宽共60步”推导长的表达式；第二步，回忆矩形面积的核心计算公式：矩形面积=长×宽；第三步，将长、宽、已知面积代入公式，即可列出对应方程，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为x步，根据“长与宽共60步”，可得矩形的长为$(60-x)$步。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知田地面积为864平方步，代入对应量可得方程：
$x(60-x)=864$
因此符合题意的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学典籍中的问题为背景，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题关键是正确表示出长的表达式，结合面积等量关系列方程，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目中的已知条件与等量关系：第一步，结合设出的宽为x步，根据“长与宽共60步”推导长的表达式；第二步，回忆矩形面积的核心计算公式：矩形面积=长×宽；第三步，将长、宽、已知面积代入公式，即可列出对应方程，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为x步，根据“长与宽共60步”，可得矩形的长为$(60-x)$步。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知田地面积为864平方步，代入对应量可得方程：
$x(60-x)=864$
因此符合题意的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学典籍中的问题为背景，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题关键是正确表示出长的表达式，结合面积等量关系列方程，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.9
2[2025河南中考]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
由题意可列如下树状图：
由上图知，从中随机抽取两张卡片，共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴P(两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”)=2/12=1/6. 故选B.
解析
【分析】
这是一道结合传统文化背景的古典概型概率题，解题思路清晰：首先明确抽取规则：从4张不同卡片中不放回随机抽取2张，所有抽取结果出现的可能性相等；其次选择树状图法列举所有等可能的抽取结果，避免漏数或重复计数；接着筛选出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先通过树状图列举所有等可能的抽取结果：
由树状图可知，随机抽取两张卡片一共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果共有2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
概率公式，树状图列举法，古典概型
【点评】
本题将传统文化甲骨文与概率计算结合，命题形式新颖，核心考查不放回抽样下的概率求解方法，只要掌握列举法求概率的基本步骤，准确计数所有结果和符合条件的结果，就能顺利解题，是概率模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合传统文化背景的古典概型概率题，解题思路清晰：首先明确抽取规则：从4张不同卡片中不放回随机抽取2张，所有抽取结果出现的可能性相等；其次选择树状图法列举所有等可能的抽取结果，避免漏数或重复计数；接着筛选出两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果数；最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
首先通过树状图列举所有等可能的抽取结果：
由树状图可知，随机抽取两张卡片一共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果共有2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
概率公式，树状图列举法，古典概型
【点评】
本题将传统文化甲骨文与概率计算结合，命题形式新颖，核心考查不放回抽样下的概率求解方法，只要掌握列举法求概率的基本步骤，准确计数所有结果和符合条件的结果，就能顺利解题，是概率模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3[2025贵州中考]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图(1))，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
(1)表格中a的值是
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图(2)所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
(1)表格中a的值是
100
；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图(2)所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
答案
(1)根据表格中的数据发现1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300，则点A与点O的距离l与拉力的大小F的乘积不变，
∴a=300/3=100. 故答案为100.
(2)
(3)减小. 理由如下：由函数图象可知F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内. 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，
∴当OA的长增大时，拉力F减小.
解析
【分析】
本题是结合实际情境的反比例函数应用类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先观察已知的l与F的几组对应数据，计算每组数据的乘积，可发现乘积为固定值，说明l和F成反比例关系，用固定乘积除以l=3即可求出a的值；
2. 第(2)问：将表格中每组(l,F)作为点的坐标，在给定坐标系中逐个描出对应点，再用平滑曲线依次连接各点，即可得到函数图象；
3. 第(3)问：结合数据规律可判断F是l的反比例函数，根据反比例函数的性质，即可判断F随l增大的变化趋势。
【解析】
(1) 观察表格中l与F的对应值：$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可知l与F的乘积为定值300，即$l· F=300$。
当$l=3\ \mathrm{m}$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 按照表格中各组(l,F)的坐标在坐标系中描点，再用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象：
(3) 拉力F减小。理由如下：由函数图象可知F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2)
(3) 减小，理由：F是l的反比例函数，且k=300＞0，在第一象限内F随l的增大而减小，因此OA增大时F减小。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【点评】
本题结合古代汲水工具的实际场景考查反比例函数相关知识，既需要同学们从数据中总结规律，也需要结合函数性质分析实际问题，体现了数学在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
本题是结合实际情境的反比例函数应用类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先观察已知的l与F的几组对应数据，计算每组数据的乘积，可发现乘积为固定值，说明l和F成反比例关系，用固定乘积除以l=3即可求出a的值；
2. 第(2)问：将表格中每组(l,F)作为点的坐标，在给定坐标系中逐个描出对应点，再用平滑曲线依次连接各点，即可得到函数图象；
3. 第(3)问：结合数据规律可判断F是l的反比例函数，根据反比例函数的性质，即可判断F随l增大的变化趋势。
【解析】
(1) 观察表格中l与F的对应值：$1×300=300$，$1.5×200=300$，$2×150=300$，$2.5×120=300$，可知l与F的乘积为定值300，即$l· F=300$。
当$l=3\ \mathrm{m}$时，$a=\frac{300}{3}=100$。
(2) 按照表格中各组(l,F)的坐标在坐标系中描点，再用平滑曲线依次连接各点，得到函数图象：
(3) 拉力F减小。理由如下：由函数图象可知F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，因此当OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2)
(3) 减小，理由：F是l的反比例函数，且k=300＞0，在第一象限内F随l的增大而减小，因此OA增大时F减小。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，反比例函数的性质
【点评】
本题结合古代汲水工具的实际场景考查反比例函数相关知识，既需要同学们从数据中总结规律，也需要结合函数性质分析实际问题，体现了数学在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
