三、解答题(共40分)
11 将A、B、C三个完全一样的不透明杯子依次排成一排,倒扣在水平桌面上,其中一个杯子里有一枚硬币.
(1)同时随机翻开两个杯子,请用画树状图或列表的方法求出现硬币的概率;
(2)若这枚硬币在A杯内,现从三个杯子中随机选择两个交换位置(硬币随A杯一起移动),则经过两次交换后,硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为.

11.【解】(1)根据题意画树状图如下:
可知共有6种等可能的情况,其中出现硬币的情况有4种,则出现硬币的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
(2)根据题意得第一次交换后的情况是BAC,CBA,ACB,把BAC再交换一次的情况是ABC,CAB,BCA,把CBA再交换一次的情况是BCA,ABC,CAB,把ACB再交换一次的情况是CAB,BCA,ABC,共有9种等可能的情况,硬币恰好在中间位置的杯子内的情况有3种,则硬币恰好在中间位置的杯子内的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
思路分析
(2)先求出第一次交换后的情况数,再求出第二次交换后的情况数,从而求出所有情况数和硬币恰好在中间位置的杯子内的情况数,最后根据概率公式计算即可.

【分析】
(1) 求解同时翻开两个杯子出现硬币的概率，可通过树状图列举出所有等可能的翻杯结果，再统计出包含硬币的结果数量，最后代入概率公式“$P=\frac{符合条件的情况数}{总等可能情况数}$”计算即可。
(2) 硬币初始在A杯，需先列举第一次交换后的所有可能排列，再针对每种第一次的排列，列举第二次交换的所有可能结果，得到总等可能情况数，再筛选出硬币在中间位置的情况数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中出现硬币的情况有4种，
则出现硬币的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
(2) 初始杯子排列为ABC，硬币在A杯，第一次随机交换两个杯子，共有3种等可能的结果：BAC、CBA、ACB；
对每种第一次交换的结果再进行第二次随机交换：
① 第一次为BAC时，第二次交换可得ABC、CAB、BCA，共3种结果；
② 第一次为CBA时，第二次交换可得BCA、ABC、CAB，共3种结果；
③ 第一次为ACB时，第二次交换可得CAB、BCA、ABC，共3种结果。
综上，两次交换后共有$3×3=9$种等可能的情况，其中硬币恰好在中间位置的情况有3种，
则硬币恰好在中间位置的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$；
(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
树状图法，概率公式，列举法求概率
【点评】
本题是概率的常考题型，重点考查学生有序列举所有等可能事件的能力，解题时需注意按顺序列举，避免出现重复、遗漏的情况，熟练掌握概率计算公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7

12[2026北京海淀区质检]如图为一个$4×4$的正方形网格，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率.

12.【解】由题意知,给其中任意三个小正方形染色共有16×15×14种情况,其中三个小正方形不同行也不同列的情况共有16×9×4种,
∵$\frac{16×9×4}{16×15×14}=\frac{6}{35}$,
∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为$\frac{6}{35}$.

【分析】
这是一道古典概型的概率求解问题，解题可分三步开展：第一步计算所有可能的染色情况总数，第二步计算满足“三个小正方形不同行也不同列”的染色情况数，第三步用符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率。计算总情况数时，可按分步选择的思路：第一个染色的小正方形有16种选择，第二个不能和第一个重复因此有15种选择，第三个不与前两个重复因此有14种选择；计算符合条件的情况数时，选完第一个后排除它所在的行和列，剩余3行3列共9个可选格子，选完第二个后再排除它所在的行和列，剩余2行2列共4个可选格子，由此即可得到符合条件的情况数，最后求比值化简即可得到结果。
【解析】
解：先计算所有染色的总情况数：
$4×4$的网格共有16个小正方形，分步选择3个染色，第一个有16种选法，第二个不与第一个重复，有15种选法，第三个不与前两个重复，有14种选法，总情况数为$16×15×14$种。
再计算三个小正方形不同行也不同列的情况数：
选第一个小正方形时有16种选法；选完后去掉它所在的1行1列，剩余3行3列共$3×3=9$个小正方形，第二个从这9个中选，有9种选法；选完第二个后再去掉它所在的1行1列，剩余2行2列共$2×2=4$个小正方形，第三个从这4个中选，有4种选法，因此符合条件的情况数为$16×9×4$种。
根据概率公式，所求概率为：
$P=\frac{16×9×4}{16×15×14}=\frac{6}{35}$
【答案】
$\frac{6}{35}$
【知识点】
古典概型，分步乘法计数原理，概率计算
【点评】
本题是概率与计数结合的基础题型，核心是准确梳理计数逻辑，避免出现重复或遗漏计数的问题，计算时先约分再计算可有效降低运算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6

13[2026浙江杭州期中]在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个,它们除颜色外其余均相同.圆圆做摸球试验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个记下颜色,再把它放回盒子中搅匀,不断重复上述摸球的过程,下表是试验中的若干组统计数据:

(1)当n很大时,请估计摸到白球的概率.(精确到0.1)
(2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个?
(3)若要使摸到白球的概率为0.8,则需要往盒子里再放入多少个白球？

13.【解】(1)由表格可知,当n的取值越来越大时,摸到白球的频率逐渐稳定在0.7附近,所以估计摸到白球的概率为0.7.
(2)估计盒子里白球的数量为60×0.7=42(个),则黑球的数量为60-42=18(个).
(3)设再放入x个白球,则有$\frac{42+x}{60+x}=0.8$,解得x=30,经检验,x=30是方程的解.
答:需要往盒子里再放入30个白球.
思路分析
(2)白球个数 = 球的总数×摸到白球的概率,用球的总数减去白球的个数即为黑球的个数.
(3)设再放入x个白球,根据摸到白球的概率为0.8,列方程求解即可.

【分析】
（1）第一问根据频率估计概率的原理思考：当试验次数很大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中摸到白球的频率的波动范围即可得到估计的概率。
（2）第二问利用概率的实际意义计算：已知球的总数量，以及摸到白球的概率，用总数量乘白球对应的概率即可得到白球的估计数量，再用总数量减去白球数量得到黑球数量。
（3）第三问通过列方程求解：设再放入$x$个白球，此时白球总数和球的总总数都增加$x$，结合新的摸到白球的概率为0.8，根据概率公式列出分式方程，解方程后检验解的合理性即可。
【解析】
(1) 观察表格数据可知，随着摸球次数$n$不断增大，摸到白球的频率在0.7附近波动，逐渐趋于稳定，因此当$n$很大时，估计摸到白球的概率为0.7。
(2) 盒子里白球的估计数量为：$60×0.7=42$（个）
黑球的数量为总球数减去白球数量：$60-42=18$（个）
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时盒子中白球总个数为$42+x$，球的总个数为$60+x$，根据题意列方程：
$\frac{42+x}{60+x}=0.8$
去分母得：$42+x=0.8(60+x)$
展开得：$42+x=48+0.8x$
移项合并同类项得：$0.2x=6$
解得：$x=30$
经检验，$x=30$时，分母$60+x=90≠0$，因此$x=30$是原方程的解，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{0.7}$
(2) 白球$\boxed{42}$个，黑球$\boxed{18}$个
(3) $\boxed{30}$个
【知识点】
频率估计概率，概率计算，分式方程应用
【点评】
本题结合摸球试验场景考查概率的实际应用，解题核心是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，列方程解决第三问时要注意放入白球后总球数也会同步增加，避免出现忽略总球数变化的错误。
【难度系数】
0.7

14[2026江苏盐城质检]一次访谈活动中，主办方邀请九名学生参加，在场地安排了9把椅子，如图，每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆圈表示已经有学生入座。

(1)如图(1)，如果已经有两名学生入座，现有一名学生随机入座，则这三名同学刚好在同一直线上的概率为；
(2)如图(2)，如果已经有五名学生入座(剩余座位分别记为A,B,C,D)，现有甲、乙两名同学随机入座，请用画树状图法或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率。

14.【解】(1)如题图(1),共有7个空位置,只有当坐在第3排第2列的位置时,三名同学刚好在同一直线上,则这三名同学刚好在同一直线上的概率为$\frac{1}{7}$,故答案为$\frac{1}{7}$.
(2)由题意列表如下:
| 甲\乙 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | B,A | C,A | D,A |
| B | A,B | | C,B | D,B |
| C | A,C | B,C | | D,C |
| D | A,D | B,D | C,D | |
共有12种等可能的结果,其中甲和乙坐在同一横排且相邻的结果共有4种,
∴$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 解决第一问首先计算剩余空座位的总数量，再观察已入座两名学生的位置，找到能让三人共线的空座位数量，最后根据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算即可。
(2) 解决第二问首先明确剩余4个座位，甲、乙两人随机入座属于不放回的有序事件，用列表法列出所有等可能的结果，再筛选出“同一横排且相邻”的结果，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 观察图(1)，总共有9个座位，已入座2人，剩余空座位共$9-2=7$个。已入座的两人都在第3排，只有坐在第3排第2列的位置时，三名同学刚好在同一直线上，即符合条件的情况有1种。
根据概率公式得，三名同学刚好在同一直线上的概率为$\frac{1}{7}$。
(2) 剩余空座位为A、B、C、D共4个，甲、乙两人随机入座，列表表示所有可能的结果如下：
| 甲\乙 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (B,A) | (C,A) | (D,A) |
| B | (A,B) | | (C,B) | (D,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | | (D,C) |
| D | (A,D) | (B,D) | (C,D) | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中满足“甲和乙坐在同一横排且相邻”的结果有(A,B)、(B,A)、(B,C)、(C,B)，共4种。
∴所求概率$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{7}}$；(2) $\boxed{\frac{1}{3}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，等可能事件判断
【点评】
本题结合座位安排的实际场景考查概率的计算，第一问需要准确观察座位排列找到符合条件的位置，第二问需要注意两人入座是有序事件，避免因忽略顺序导致总情况数或符合条件的情况数计算错误，考查学生的观察能力和概率基础应用能力。
【难度系数】
0.7