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1 已知反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$，当 $1≤ x≤ 3$ 时，函数 $y$ 的最大值和最小值之差为 4，则 $k$ 的值为 $\quad (\quad)$
A.$-3$
B.$-4$
C.$-5$
D.$-6$
A.$-3$
B.$-4$
C.$-5$
D.$-6$
答案
1.D 【解析】
∵ k＜0,
∴ 反比例函数图象位于第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
∵ 当1≤x≤3 时,函数 y 的最大值和最小值之差为 4,
∴ $\dfrac{k}{3}-\dfrac{k}{1}=4$,解得 k=-6. 故选 D.
∵ k＜0,
∴ 反比例函数图象位于第二、四象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
∵ 当1≤x≤3 时,函数 y 的最大值和最小值之差为 4,
∴ $\dfrac{k}{3}-\dfrac{k}{1}=4$,解得 k=-6. 故选 D.
解析
【分析】
首先根据题目给出的反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的条件，先回忆反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。再看给定的$x$取值范围$1≤ x≤3$，均为正数，对应图象在第四象限，因此在该区间内，$x$取最小值1时$y$最小，$x$取最大值3时$y$最大。最后根据最大值与最小值的差为4列方程求解，即可得到$k$的值。
【解析】
$\because k＜0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because 1≤ x≤3$，$x$均为正数，对应图象在第四象限，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取最小值，最小值为$\dfrac{k}{1}=k$；当$x=3$时，$y$取最大值，最大值为$\dfrac{k}{3}$。
由题意得最大值和最小值之差为4，可列方程：
$\dfrac{k}{3}-k=4$
合并同类项得$-\dfrac{2k}{3}=4$，
解得$k=-6$，符合$k＜0$的条件。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.一元一次方程的求解
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题核心是先根据$k$的符号判断函数增减性，再结合$x$的取值范围确定最值对应的自变量取值，进而列方程求解，要注意避免记错增减性导致列式错误。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的条件，先回忆反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。再看给定的$x$取值范围$1≤ x≤3$，均为正数，对应图象在第四象限，因此在该区间内，$x$取最小值1时$y$最小，$x$取最大值3时$y$最大。最后根据最大值与最小值的差为4列方程求解，即可得到$k$的值。
【解析】
$\because k＜0$，
$\therefore$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because 1≤ x≤3$，$x$均为正数，对应图象在第四象限，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取最小值，最小值为$\dfrac{k}{1}=k$；当$x=3$时，$y$取最大值，最大值为$\dfrac{k}{3}$。
由题意得最大值和最小值之差为4，可列方程：
$\dfrac{k}{3}-k=4$
合并同类项得$-\dfrac{2k}{3}=4$，
解得$k=-6$，符合$k＜0$的条件。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.一元一次方程的求解
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题核心是先根据$k$的符号判断函数增减性，再结合$x$的取值范围确定最值对应的自变量取值，进而列方程求解，要注意避免记错增减性导致列式错误。
【难度系数】
0.7
2 已知反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$，对于一个正数$m$，当自变量$x$满足$m≤ x≤ 2m$时，函数$y$的最大值为$a$，则当$-2m≤ x≤ -m$时，函数$y$有（
A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$-\dfrac{1}{2}a$
A
）A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$-\dfrac{1}{2}a$
答案
2.A 【解析】
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$,
∴ 函数图象位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
∵ 对于一个正数 m,当自变量 x 满足 $m≤ x≤ 2m$ 时,函数 y 的最大值为 a,
∴ $\dfrac{k}{2m}=a$,
∴ $k=2ma$,
∴ $y=\dfrac{2ma}{x}$.
∵ $-2m≤ x≤ -m$,
∴ 当 $x=-2m$ 时,函数 y 有最小值$\dfrac{2ma}{-2m}=-a$,当 $x=-m$ 时,函数 y 有最大值$\dfrac{2ma}{-m}=-2a$. 故选 A.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$,
∴ 函数图象位于第二、四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
∵ 对于一个正数 m,当自变量 x 满足 $m≤ x≤ 2m$ 时,函数 y 的最大值为 a,
∴ $\dfrac{k}{2m}=a$,
∴ $k=2ma$,
∴ $y=\dfrac{2ma}{x}$.
∵ $-2m≤ x≤ -m$,
∴ 当 $x=-2m$ 时,函数 y 有最小值$\dfrac{2ma}{-2m}=-a$,当 $x=-m$ 时,函数 y 有最大值$\dfrac{2ma}{-m}=-2a$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，函数图象分布在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大。第一步先分析x为正数的区间$m≤x≤2m$：该区间对应第四象限的图象，根据增减性，x最大时y取最大值，由此建立k、m、a的关系；第二步再分析x为负数的区间$-2m≤x≤-m$：该区间对应第二象限的图象，同样根据增减性，x最大时y取最大值，代入已求出的k的表达式即可得到结果。
【解析】
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$,
∴ 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵ m是正数，当自变量x满足 $m≤ x≤ 2m$ 时，x均为正数，对应第四象限的函数图象，函数最大值为a，
∴ 当x取最大值2m时，y取得最大值a，即 $\dfrac{k}{2m}=a$，
解得 $k=2ma$，
∴ 反比例函数解析式为 $y=\dfrac{2ma}{x}$。
当$-2m≤ x≤ -m$时，x均为负数，对应第二象限的函数图象，y仍随x的增大而增大，
∴ 当x取最大值-m时，y取得最大值：$\dfrac{2ma}{-m}=-2a$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性；反比例函数最值计算
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，解题关键是先根据k的符号判断函数的增减规律，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，要分区间判断对应的象限后代入最值点计算，易错点是忽略象限限制直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数的性质：当k＜0时，函数图象分布在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大。第一步先分析x为正数的区间$m≤x≤2m$：该区间对应第四象限的图象，根据增减性，x最大时y取最大值，由此建立k、m、a的关系；第二步再分析x为负数的区间$-2m≤x≤-m$：该区间对应第二象限的图象，同样根据增减性，x最大时y取最大值，代入已求出的k的表达式即可得到结果。
【解析】
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$,
∴ 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵ m是正数，当自变量x满足 $m≤ x≤ 2m$ 时，x均为正数，对应第四象限的函数图象，函数最大值为a，
∴ 当x取最大值2m时，y取得最大值a，即 $\dfrac{k}{2m}=a$，
解得 $k=2ma$，
∴ 反比例函数解析式为 $y=\dfrac{2ma}{x}$。
当$-2m≤ x≤ -m$时，x均为负数，对应第二象限的函数图象，y仍随x的增大而增大，
∴ 当x取最大值-m时，y取得最大值：$\dfrac{2ma}{-m}=-2a$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的增减性；反比例函数最值计算
【点评】
本题主要考查反比例函数增减性的应用，解题关键是先根据k的符号判断函数的增减规律，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，要分区间判断对应的象限后代入最值点计算，易错点是忽略象限限制直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
3 在反比例函数 $y=\dfrac{2024 - k}{x}$ 的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，当$x_1＜0＜x_2$时，有$y_1＜y_2$，则$k$的取值范围是
k＜2024
。答案
3. $k＜2024$ 【解析】
∵ 当 $x_1＜0＜x_2$ 时,$y_1＜y_2$,
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限,
∴ $2024-k＞0$,解得 $k＜2024$. 故答案为 $k＜2024$.
∵ 当 $x_1＜0＜x_2$ 时,$y_1＜y_2$,
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限,
∴ $2024-k＞0$,解得 $k＜2024$. 故答案为 $k＜2024$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$x_1＜0＜x_2$时$y_1＜y_2$判断反比例函数图象所在象限：x取负数时对应的y值小于x取正数时的y值，说明x为负时y为负、x为正时y为正，对应反比例函数图象位于第一、三象限；再根据反比例函数的性质，第一、三象限的反比例函数比例系数大于0，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 当 $x_1＜0＜x_2$时,$y_1＜y_2$,
∴ 反比例函数$y=\dfrac{2024 - k}{x}$的图象位于第一、三象限,
∴ 比例系数满足$2024-k＞0$,
解得 $k＜2024$.
【答案】
$k＜2024$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数图象与性质的应用，解题核心是根据不同象限内点的函数值大小关系判断函数图象所在象限，再结合性质列不等式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件$x_1＜0＜x_2$时$y_1＜y_2$判断反比例函数图象所在象限：x取负数时对应的y值小于x取正数时的y值，说明x为负时y为负、x为正时y为正，对应反比例函数图象位于第一、三象限；再根据反比例函数的性质，第一、三象限的反比例函数比例系数大于0，据此列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 当 $x_1＜0＜x_2$时,$y_1＜y_2$,
∴ 反比例函数$y=\dfrac{2024 - k}{x}$的图象位于第一、三象限,
∴ 比例系数满足$2024-k＞0$,
解得 $k＜2024$.
【答案】
$k＜2024$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数图象与性质的应用，解题核心是根据不同象限内点的函数值大小关系判断函数图象所在象限，再结合性质列不等式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4[2026江苏常州期末]已知y是x的反比例函数，x与y的部分对应值如下表所示.若a＞b，则c
＞
d(填“＞”“＜”或“=”).答案
4. ＞ 【解析】
∵ $-2＜-1＜0$,$a＞b$,
∴ 在每一个象限内,y 随着 x 的增大而减小.
∵ $0＜1＜2$,
∴ $c＞d$. 故答案为＞.
∵ $-2＜-1＜0$,$a＞b$,
∴ 在每一个象限内,y 随着 x 的增大而减小.
∵ $0＜1＜2$,
∴ $c＞d$. 故答案为＞.
解析
【分析】
首先明确题目考查反比例函数的性质，解题思路如下：第一步，先观察x取负值的两组对应值，x=-2＜x=-1＜0，对应函数值a＞b，说明在第三象限内y随x的增大而减小，可判断反比例函数的比例系数k为正；第二步，反比例函数的增减性在每个象限内均成立，再看x取正值的两组值1和2都在第一象限，结合同一象限内的增减性即可比较c和d的大小。
【解析】
∵ $-2＜-1＜0$，$a＞b$，
∴ 该反比例函数在每一个象限内，y随着x的增大而减小。
∵ $0＜1＜2$，两点同属第一象限，
∴ $c＞d$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先通过同一象限内的两组函数值变化判断增减性，再用该性质比较同一象限内其他函数值的大小，需注意反比例函数的增减性仅在单个象限内成立，不能跨象限直接比较函数值。
【难度系数】
0.7
首先明确题目考查反比例函数的性质，解题思路如下：第一步，先观察x取负值的两组对应值，x=-2＜x=-1＜0，对应函数值a＞b，说明在第三象限内y随x的增大而减小，可判断反比例函数的比例系数k为正；第二步，反比例函数的增减性在每个象限内均成立，再看x取正值的两组值1和2都在第一象限，结合同一象限内的增减性即可比较c和d的大小。
【解析】
∵ $-2＜-1＜0$，$a＞b$，
∴ 该反比例函数在每一个象限内，y随着x的增大而减小。
∵ $0＜1＜2$，两点同属第一象限，
∴ $c＞d$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先通过同一象限内的两组函数值变化判断增减性，再用该性质比较同一象限内其他函数值的大小，需注意反比例函数的增减性仅在单个象限内成立，不能跨象限直接比较函数值。
【难度系数】
0.7
5[2026江苏扬州期末]已知反比例函数$y=\dfrac{m-3}{x}$（$m$为常数，且$m≠3$）.
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，求$m$的取值范围.
(2)若点$A(m+1,2)$，$B(4,n)$均在该反比例函数的图象上.
①求$m,n$的值；
②当$x≥ -1$时，直接写出$y$的取值范围.
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大，求$m$的取值范围.
(2)若点$A(m+1,2)$，$B(4,n)$均在该反比例函数的图象上.
①求$m,n$的值；
②当$x≥ -1$时，直接写出$y$的取值范围.
答案
5.【解】(1)由题意可得 $m-3＜0$,
∴ $m＜3$.
(2)①把 $A(m+1,2)$ 代入 $y=\dfrac{m-3}{x}$,得 $2=\dfrac{m-3}{m+1}$,
∴ $m=-5$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{-8}{x}$.
把 $B(4,n)$ 代入 $y=\dfrac{-8}{x}$,得 $n=\dfrac{-8}{4}=-2$.
②由①得反比例函数表达式为 $y=\dfrac{-8}{x}$,当 $x=-1$ 时,$y=\dfrac{-8}{-1}=8$.
∵ $k=-8＜0$,
∴ 在每一象限内,y 随 x 的增大而增大,
∴ 当 $x≥-1$ 时,y 的取值范围为 $y≥8$ 或 $y＜0$.
∴ $m＜3$.
(2)①把 $A(m+1,2)$ 代入 $y=\dfrac{m-3}{x}$,得 $2=\dfrac{m-3}{m+1}$,
∴ $m=-5$,
∴ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{-8}{x}$.
把 $B(4,n)$ 代入 $y=\dfrac{-8}{x}$,得 $n=\dfrac{-8}{4}=-2$.
②由①得反比例函数表达式为 $y=\dfrac{-8}{x}$,当 $x=-1$ 时,$y=\dfrac{-8}{-1}=8$.
∵ $k=-8＜0$,
∴ 在每一象限内,y 随 x 的增大而增大,
∴ 当 $x≥-1$ 时,y 的取值范围为 $y≥8$ 或 $y＜0$.
解析
【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定：当$k＜0$时，图象每一个分支上$y$随$x$的增大而增大，本题中$k=m-3$，据此列不等式即可求解$m$的范围。
(2) ① 若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$A$坐标代入解析式得到关于$m$的方程，解方程求出$m$即可确定函数表达式，再将点$B$坐标代入表达式即可求出$n$。
② 先求出$x=-1$对应的$y$值，结合反比例函数的增减性，分$-1≤x＜0$和$x＞0$两个区间讨论$y$的取值范围，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
(1) 由题意得，反比例函数每一分支上$y$随$x$增大而增大，因此比例系数小于0：
$m-3＜0$
解得 $m＜3$。
(2) ① 将$A(m+1,2)$代入$y=\frac{m-3}{x}$，得：
$2=\frac{m-3}{m+1}$
两边同乘$m+1$得$2(m+1)=m-3$，
展开：$2m+2=m-3$，
移项计算得$m=-5$。
将$m=-5$代入原函数，得反比例函数表达式为$y=\frac{-8}{x}$。
将$B(4,n)$代入$y=\frac{-8}{x}$，得：
$n=\frac{-8}{4}=-2$。
② 由①知反比例函数为$y=\frac{-8}{x}$，$k=-8＜0$，因此在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
当$x=-1$时，$y=\frac{-8}{-1}=8$。
分情况讨论：
当$-1≤x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，故$y≥8$；
当$x＞0$时，函数图象在第四象限，故$y＜0$。
综上，$x≥-1$时$y$的取值范围为$y≥8$或$y＜0$。
【答案】
(1) $m＜3$；(2) ① $m=-5$，$n=-2$；② $y≥8$或$y＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题，解题核心是熟练掌握反比例函数增减性与比例系数的关系，易错点是求函数值范围时忽略$x≠0$的限制，需分象限讨论增减性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的增减性由$k$的符号决定：当$k＜0$时，图象每一个分支上$y$随$x$的增大而增大，本题中$k=m-3$，据此列不等式即可求解$m$的范围。
(2) ① 若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点$A$坐标代入解析式得到关于$m$的方程，解方程求出$m$即可确定函数表达式，再将点$B$坐标代入表达式即可求出$n$。
② 先求出$x=-1$对应的$y$值，结合反比例函数的增减性，分$-1≤x＜0$和$x＞0$两个区间讨论$y$的取值范围，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
(1) 由题意得，反比例函数每一分支上$y$随$x$增大而增大，因此比例系数小于0：
$m-3＜0$
解得 $m＜3$。
(2) ① 将$A(m+1,2)$代入$y=\frac{m-3}{x}$，得：
$2=\frac{m-3}{m+1}$
两边同乘$m+1$得$2(m+1)=m-3$，
展开：$2m+2=m-3$，
移项计算得$m=-5$。
将$m=-5$代入原函数，得反比例函数表达式为$y=\frac{-8}{x}$。
将$B(4,n)$代入$y=\frac{-8}{x}$，得：
$n=\frac{-8}{4}=-2$。
② 由①知反比例函数为$y=\frac{-8}{x}$，$k=-8＜0$，因此在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
当$x=-1$时，$y=\frac{-8}{-1}=8$。
分情况讨论：
当$-1≤x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，故$y≥8$；
当$x＞0$时，函数图象在第四象限，故$y＜0$。
综上，$x≥-1$时$y$的取值范围为$y≥8$或$y＜0$。
【答案】
(1) $m＜3$；(2) ① $m=-5$，$n=-2$；② $y≥8$或$y＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础题，解题核心是熟练掌握反比例函数增减性与比例系数的关系，易错点是求函数值范围时忽略$x≠0$的限制，需分象限讨论增减性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6[2026广东广州期末]如图,直线AB交y轴于点C,与双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的一支交于A,B两点,P是线段AB上的点(不与A,B重合),Q为线段BC上的点(不与B,C重合),过点A,P,Q分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,F,连接OA,OP,OQ.设$△ AOD$的面积为$S_1$,$△ POE$的面积为$S_2$,$△ QOF$的面积为$S_3$,则 (
A.$S_1＜S_2＜S_3$
B.$S_3＜S_1＜S_2$
C.$S_3＜S_2＜S_1$
D.$S_1,S_2,S_3$的大小关系无法确定
B
)A.$S_1＜S_2＜S_3$
B.$S_3＜S_1＜S_2$
C.$S_3＜S_2＜S_1$
D.$S_1,S_2,S_3$的大小关系无法确定
答案
6. B 【解析】
∵ 点 A 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 的图象上,
∴ $S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}|k|$.
∵ 点 P 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 图象的上方,
∴ $S_{△ POE}＞\dfrac{1}{2}|k|$.
∵ 点 Q 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 图象的下方,
∴ $S_{△ QOF}＜\dfrac{1}{2}|k|$,
∴ $S_3＜S_1＜S_2$. 故选 B.
∵ 点 A 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 的图象上,
∴ $S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}|k|$.
∵ 点 P 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 图象的上方,
∴ $S_{△ POE}＞\dfrac{1}{2}|k|$.
∵ 点 Q 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$ 图象的下方,
∴ $S_{△ QOF}＜\dfrac{1}{2}|k|$,
∴ $S_3＜S_1＜S_2$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，可先确定$S_1$的大小为固定值$\frac{1}{2}|k|$。接下来分析点P、Q与双曲线的位置关系：点P在双曲线上方，相同横坐标下P点的纵坐标大于双曲线上点的纵坐标，对应三角形的高更长，因此$S_2＞\frac{1}{2}|k|$；点Q在双曲线下方，相同横坐标下Q点的纵坐标小于双曲线上点的纵坐标，对应三角形的高更短，因此$S_3＜\frac{1}{2}|k|$。最后以$\frac{1}{2}|k|$为中间量比较三个面积的大小即可得到结论。
【解析】
∵ 点A在函数$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，可得$S_1=S_{△ AOD}=\frac{1}{2}|k|$。
∵ 点P在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$图象的上方，相同横坐标下P点的纵坐标大于双曲线上对应点的纵坐标，
∴ $S_2=S_{△ POE}＞\frac{1}{2}|k|$。
∵ 点Q在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$图象的下方，相同横坐标下Q点的纵坐标小于双曲线上对应点的纵坐标，
∴ $S_3=S_{△ QOF}＜\frac{1}{2}|k|$。
综上可得$S_3＜S_1＜S_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题型，解题核心是抓住反比例函数中k的几何意义得到固定的参考面积，再通过点与双曲线的上下位置关系比较纵坐标大小，进而判断对应三角形面积的大小，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，可先确定$S_1$的大小为固定值$\frac{1}{2}|k|$。接下来分析点P、Q与双曲线的位置关系：点P在双曲线上方，相同横坐标下P点的纵坐标大于双曲线上点的纵坐标，对应三角形的高更长，因此$S_2＞\frac{1}{2}|k|$；点Q在双曲线下方，相同横坐标下Q点的纵坐标小于双曲线上点的纵坐标，对应三角形的高更短，因此$S_3＜\frac{1}{2}|k|$。最后以$\frac{1}{2}|k|$为中间量比较三个面积的大小即可得到结论。
【解析】
∵ 点A在函数$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，可得$S_1=S_{△ AOD}=\frac{1}{2}|k|$。
∵ 点P在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$图象的上方，相同横坐标下P点的纵坐标大于双曲线上对应点的纵坐标，
∴ $S_2=S_{△ POE}＞\frac{1}{2}|k|$。
∵ 点Q在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$图象的下方，相同横坐标下Q点的纵坐标小于双曲线上对应点的纵坐标，
∴ $S_3=S_{△ QOF}＜\frac{1}{2}|k|$。
综上可得$S_3＜S_1＜S_2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题型，解题核心是抓住反比例函数中k的几何意义得到固定的参考面积，再通过点与双曲线的上下位置关系比较纵坐标大小，进而判断对应三角形面积的大小，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
7[2026江苏南京质检]如图,点A在y轴的正半轴上,过点A作x轴的平行线,交反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象于点B,过点B作y轴的平行线,交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点C,过点C作x轴的平行线,交y轴于点D,设四边形ABCD的面积为S.
(1)若点A的纵坐标为2,求S的值.
(2)求证:无论点A在y轴正半轴的何处,S的值不变.
刷易错 小心有坑~
(1)若点A的纵坐标为2,求S的值.
(2)求证:无论点A在y轴正半轴的何处,S的值不变.
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答案
7. (1)【解】若点 A 的纵坐标为 2,则点 B 的纵坐标为 2. 把 $y=2$ 代入 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$,可得 $2=\dfrac{6}{x}$,解得 $x=3$,
∴ $B(3,2)$,
∴ $AB=3$,C 点的横坐标为 3. 把 $x=3$ 代入 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$,得 $y=\dfrac{2}{3}$,
∴ $C(3, \dfrac{2}{3})$,
∴ $BC=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$,
∴ $S=AB · BC=3 × \dfrac{4}{3}=4$.
(2)【证明】如图,延长 BC 交 x 轴于 E.
∵ $AB // CD // x$ 轴,$BC// y$ 轴,点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象上,
∴ $S_{四边形ABEO}=6$,$S_{四边形DCEO}=2$,
∴ $S=S_{四边形ABEO}-S_{四边形DCEO}=6-2=4$,
∴ 无论点 A 在 y 轴正半轴的何处,S 的值不变.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先由AB平行于x轴，可知点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，均为2；将y=2代入反比例函数$y=\frac{6}{x}$即可求出点B的横坐标，得到AB的长度。再由BC平行于y轴，可知点C的横坐标与点B相同，将该横坐标代入$y=\frac{2}{x}$求出点C的纵坐标，进而算出BC的长度。由于四边形ABCD是矩形，面积等于长×宽，代入AB、BC的长度即可求出S。
(2) 证明S为定值时，可借助反比例函数k的几何意义：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积恒为$|k|$。延长BC交x轴于点E，可得矩形ABEO的面积为6，矩形DCEO的面积为2，四边形ABCD的面积为两个矩形的面积差，因此S恒等于4，与点A的位置无关。
【解析】
(1) 若点A的纵坐标为2，则点B的纵坐标为2。把$y=2$代入$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$，可得$2=\dfrac{6}{x}$，解得$x=3$，
∴ $B(3,2)$，
∴ $AB=3$，C点的横坐标为3。把$x=3$代入$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$，得$y=\dfrac{2}{3}$，
∴ $C(3, \dfrac{2}{3})$，
∴ $BC=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$，
∴ $S=AB · BC=3 × \dfrac{4}{3}=4$。
(2) 证明：如图，延长BC交x轴于E。
∵ $AB // CD // x$轴，$BC// y$轴，点B在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点C在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $S_{四边形ABEO}=6$，$S_{四边形DCEO}=2$，
∴ $S=S_{四边形ABEO}-S_{四边形DCEO}=6-2=4$，
∴ 无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变。
【答案】
(1) $S=4$；
(2) 无论点A在y轴正半轴的何处，S的值恒为4，证明见解析。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题既考察了反比例函数图象上点的坐标运算，又考察了反比例函数k的几何意义的应用，从具体数值计算到一般化证明，符合认知规律，能有效巩固反比例函数的核心性质，解题时注意利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先由AB平行于x轴，可知点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，均为2；将y=2代入反比例函数$y=\frac{6}{x}$即可求出点B的横坐标，得到AB的长度。再由BC平行于y轴，可知点C的横坐标与点B相同，将该横坐标代入$y=\frac{2}{x}$求出点C的纵坐标，进而算出BC的长度。由于四边形ABCD是矩形，面积等于长×宽，代入AB、BC的长度即可求出S。
(2) 证明S为定值时，可借助反比例函数k的几何意义：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积恒为$|k|$。延长BC交x轴于点E，可得矩形ABEO的面积为6，矩形DCEO的面积为2，四边形ABCD的面积为两个矩形的面积差，因此S恒等于4，与点A的位置无关。
【解析】
(1) 若点A的纵坐标为2，则点B的纵坐标为2。把$y=2$代入$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$，可得$2=\dfrac{6}{x}$，解得$x=3$，
∴ $B(3,2)$，
∴ $AB=3$，C点的横坐标为3。把$x=3$代入$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$，得$y=\dfrac{2}{3}$，
∴ $C(3, \dfrac{2}{3})$，
∴ $BC=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$，
∴ $S=AB · BC=3 × \dfrac{4}{3}=4$。
(2) 证明：如图，延长BC交x轴于E。
∵ $AB // CD // x$轴，$BC// y$轴，点B在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，点C在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ $S_{四边形ABEO}=6$，$S_{四边形DCEO}=2$，
∴ $S=S_{四边形ABEO}-S_{四边形DCEO}=6-2=4$，
∴ 无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变。
【答案】
(1) $S=4$；
(2) 无论点A在y轴正半轴的何处，S的值恒为4，证明见解析。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题既考察了反比例函数图象上点的坐标运算，又考察了反比例函数k的几何意义的应用，从具体数值计算到一般化证明，符合认知规律，能有效巩固反比例函数的核心性质，解题时注意利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征简化运算。
【难度系数】
0.7
8 在函数 $y=\frac{-k^2 -3}{x}$（k为常数）的图象上有$A(-5,y_1)$,$B(-1,y_2)$,$C(4,y_3)$三点，则函数值$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
C.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D
）A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
C.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
答案
8. D 【解析】
∵ $-k^2-3＜0$,
∴ 函数 $y=\dfrac{-k^2-3}{x}$(k 为常数) 的图象在第二、四象限.
∵ 点 $C(4,y_3)$ 的横坐标$4＞0$,
∴ 点 C 在第四象限,$y_3＜0$.
∵ 点 $A(-5,y_1)$,$B(-1,y_2)$ 的横坐标$-5＜-1＜0$,
∴ $y_1＞0$,$y_2＞0$.
∵ 函数图象在第二象限内,y 随 x 的增大而增大,
∴ $0＜y_1＜y_2$,
∴ $y_3＜y_1＜y_2$. 故选 D.
∵ $-k^2-3＜0$,
∴ 函数 $y=\dfrac{-k^2-3}{x}$(k 为常数) 的图象在第二、四象限.
∵ 点 $C(4,y_3)$ 的横坐标$4＞0$,
∴ 点 C 在第四象限,$y_3＜0$.
∵ 点 $A(-5,y_1)$,$B(-1,y_2)$ 的横坐标$-5＜-1＜0$,
∴ $y_1＞0$,$y_2＞0$.
∵ 函数图象在第二象限内,y 随 x 的增大而增大,
∴ $0＜y_1＜y_2$,
∴ $y_3＜y_1＜y_2$. 故选 D.
解析
【分析】
解决这类反比例函数上点的函数值比较大小的问题，可按3步思考：第一步先判断反比例函数比例系数的符号，比例系数的符号决定了图象所在象限和增减性。本题中比例系数为$-k^2-3$，由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-k^2-3$一定小于0，可确定函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大。第二步按横坐标的正负将点分象限归类：横坐标为正的点在第四象限，函数值为负；横坐标为负的点在第二象限，函数值为正，因此第四象限的函数值一定小于第二象限的。第三步同象限内的点，结合增减性比较大小，最后整合得到三者的大小关系即可。
【解析】
∵ 对任意实数k，$k^2≥0$，
∴ $-k^2-3≤-3＜0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{-k^2 -3}{x}$的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵ 点$C(4,y_3)$的横坐标$4＞0$，
∴ 点C在第四象限，$y_3＜0$。
∵ 点$A(-5,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标满足$-5＜-1＜0$，
∴ 两点均在第二象限，$y_1＞0$，$y_2＞0$。
根据第二象限内函数的增减性，可得$y_1＜y_2$。
综上，三者的大小关系为$y_3＜y_1＜y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题核心是先通过比例系数的符号确定图象所在象限和增减性，比较函数值大小时要先区分点所在的象限，不同象限的点先判断函数值正负，同象限内的点再结合增减性比较，避免直接跨象限套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
解决这类反比例函数上点的函数值比较大小的问题，可按3步思考：第一步先判断反比例函数比例系数的符号，比例系数的符号决定了图象所在象限和增减性。本题中比例系数为$-k^2-3$，由平方的非负性可知$k^2≥0$，因此$-k^2-3$一定小于0，可确定函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大。第二步按横坐标的正负将点分象限归类：横坐标为正的点在第四象限，函数值为负；横坐标为负的点在第二象限，函数值为正，因此第四象限的函数值一定小于第二象限的。第三步同象限内的点，结合增减性比较大小，最后整合得到三者的大小关系即可。
【解析】
∵ 对任意实数k，$k^2≥0$，
∴ $-k^2-3≤-3＜0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{-k^2 -3}{x}$的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵ 点$C(4,y_3)$的横坐标$4＞0$，
∴ 点C在第四象限，$y_3＜0$。
∵ 点$A(-5,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标满足$-5＜-1＜0$，
∴ 两点均在第二象限，$y_1＞0$，$y_2＞0$。
根据第二象限内函数的增减性，可得$y_1＜y_2$。
综上，三者的大小关系为$y_3＜y_1＜y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题核心是先通过比例系数的符号确定图象所在象限和增减性，比较函数值大小时要先区分点所在的象限，不同象限的点先判断函数值正负，同象限内的点再结合增减性比较，避免直接跨象限套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
