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1[中]双曲线$ l_1:y=-\dfrac{6}{x}(x＜0) $和$ l_2:y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＜0) $的图象如图所示，点A是$ l_1 $上一点，过点A作$ AB⊥x $轴，$ AC⊥y $轴，垂足分别为点B，点C，AB与$ l_2 $交于点D，若$ △AOD $的面积为2，则k的值为（
A.4
B.-4
C.2
D.-2
（第1题图）
（第4题图）
D
）A.4
B.-4
C.2
D.-2
（第1题图）
（第4题图）
答案
1. D 【解析】
∵ 点 A 在反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$ 的图象上,$AB⊥x$ 轴,
∴ $S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2} × |-6|=3$.
∵ $S_{△ AOD}=2$,
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ ABO}-S_{△ ADO}=3-2=1$.
∵ 点 D 在 $l_2$ 上,
∴ $|k|=2S_{△ BOD}=2$.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＜0)$ 的图象位于第二象限,
∴ $k=-2$. 故选 D.
∵ 点 A 在反比例函数 $y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$ 的图象上,$AB⊥x$ 轴,
∴ $S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2} × |-6|=3$.
∵ $S_{△ AOD}=2$,
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ ABO}-S_{△ ADO}=3-2=1$.
∵ 点 D 在 $l_2$ 上,
∴ $|k|=2S_{△ BOD}=2$.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＜0)$ 的图象位于第二象限,
∴ $k=-2$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用这个性质求出△ABO的面积，再结合已知△AOD的面积，作差得到△BOD的面积，再次利用k的几何意义求出|k|，最后根据$l_2$所在的象限确定k的符号，即可得到k的值。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$的图象上，$AB⊥x$轴，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2} × |-6|=3$。
∵ $S_{△ AOD}=2$，
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ ABO}-S_{△ AOD}=3-2=1$。
∵ 点D在$l_2:y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $|k|=2S_{△ BOD}=2×1=2$。
又
∵ 反比例函数$l_2$的图象位于第二象限（x＜0时y＞0），
∴ k＜0，即$k=-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是通过面积差得到对应三角形的面积，再结合函数图象所在象限确定k的正负，避免忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用这个性质求出△ABO的面积，再结合已知△AOD的面积，作差得到△BOD的面积，再次利用k的几何意义求出|k|，最后根据$l_2$所在的象限确定k的符号，即可得到k的值。
【解析】
∵ 点A在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$的图象上，$AB⊥x$轴，
∴ 根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2} × |-6|=3$。
∵ $S_{△ AOD}=2$，
∴ $S_{△ BOD}=S_{△ ABO}-S_{△ AOD}=3-2=1$。
∵ 点D在$l_2:y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $|k|=2S_{△ BOD}=2×1=2$。
又
∵ 反比例函数$l_2$的图象位于第二象限（x＜0时y＞0），
∴ k＜0，即$k=-2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是通过面积差得到对应三角形的面积，再结合函数图象所在象限确定k的正负，避免忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
2[2026江苏苏州期末,中]点$A(-2,y_1)$,$B(m,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数,且$k＞0$)的图象上,下列结论正确的是 (
A.当$m＜-2$时,$y_1+y_2＞0$
B.当$-2＜m＜0$时,$y_1+y_2＞0$
C.当$0＜m＜2$时,$y_1+y_2＜0$
D.当$m＞2$时,$y_1+y_2＜0$
D
)A.当$m＜-2$时,$y_1+y_2＞0$
B.当$-2＜m＜0$时,$y_1+y_2＞0$
C.当$0＜m＜2$时,$y_1+y_2＜0$
D.当$m＞2$时,$y_1+y_2＜0$
答案
2. D 【解析】点 $A(-2,y_1)$ 代入函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 得 $y_1=\dfrac{k}{-2}=-\dfrac{k}{2}$;点 $B(m,y_2)$ 代入函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 得 $y_2=\dfrac{k}{m}$. A选项,
∵ $m＜-2$,
∴ m 为负数,
∴ $y_2=\dfrac{k}{m}＜0$. 又
∵ $y_1=-\dfrac{k}{2}＜0$,
∴ $y_1+y_2＜0$,故 A 错误;B 选项,
∵ $-2＜m＜0$,
∴ m 为负数,
∴ 同理可得 $y_1+y_2＜0$,故 B 错误;C 选项,
∵ $0＜m＜2$,
∴ m 为正数,
∴ $y_2=\dfrac{k}{m}＞0$. 又
∵ $m＜2$,
∴ $\dfrac{k}{m}＞\dfrac{k}{2}$,
∴ $y_1+y_2=-\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{m}＞0$,故 C 错误;D 选项,
∵ $m＞2$,
∴ m 为正数,
∴ $y_2＞0$. 又
∵ $y_2=\dfrac{k}{m}＜\dfrac{k}{2}$,
∴ $y_1+y_2=-\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{m}＜0$,故 D 正确. 故选 D.
∵ $m＜-2$,
∴ m 为负数,
∴ $y_2=\dfrac{k}{m}＜0$. 又
∵ $y_1=-\dfrac{k}{2}＜0$,
∴ $y_1+y_2＜0$,故 A 错误;B 选项,
∵ $-2＜m＜0$,
∴ m 为负数,
∴ 同理可得 $y_1+y_2＜0$,故 B 错误;C 选项,
∵ $0＜m＜2$,
∴ m 为正数,
∴ $y_2=\dfrac{k}{m}＞0$. 又
∵ $m＜2$,
∴ $\dfrac{k}{m}＞\dfrac{k}{2}$,
∴ $y_1+y_2=-\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{m}＞0$,故 C 错误;D 选项,
∵ $m＞2$,
∴ m 为正数,
∴ $y_2＞0$. 又
∵ $y_2=\dfrac{k}{m}＜\dfrac{k}{2}$,
∴ $y_1+y_2=-\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{m}＜0$,故 D 正确. 故选 D.
解析
【分析】
解决本题的核心思路分三步：第一步，利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，分别代入A、B两点坐标，求出$y_1$、$y_2$的表达式；第二步，写出$y_1+y_2$的合并式，结合$k＞0$的已知条件，将判断$y_1+y_2$符号的问题转化为判断式子正负的问题；第三步，根据每个选项给出的$m$的取值范围，推导$\frac{k}{m}$和$\frac{k}{2}$的大小关系，逐一验证选项即可。
【解析】
将点$A(-2,y_1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），得：
$y_1=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$
将点$B(m,y_2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$y_2=\frac{k}{m}$
因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}$，结合$k＞0$的条件逐一分析选项：
A选项：当$m＜-2$时，$m$为负数，故$y_2=\frac{k}{m}＜0$，又$y_1=-\frac{k}{2}＜0$，两个负数相加仍为负，即$y_1+y_2＜0$，A错误。
B选项：当$-2＜m＜0$时，$m$为负数，故$y_2=\frac{k}{m}＜0$，同理$y_1＜0$，可得$y_1+y_2＜0$，B错误。
C选项：当$0＜m＜2$时，$m$为正数，故$y_2=\frac{k}{m}＞0$，且$m＜2、k＞0$，可得$\frac{k}{m}＞\frac{k}{2}$，因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}＞0$，C错误。
D选项：当$m＞2$时，$m$为正数，故$y_2=\frac{k}{m}＞0$，且$m＞2、k＞0$，可得$\frac{k}{m}＜\frac{k}{2}$，因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规考查题型，需要结合自变量的范围判断函数值的大小与符号，解题的关键是先求出两个点的函数值表达式，再结合$k＞0$的条件推导和的符号，能有效检验对反比例函数性质的掌握程度和分类分析的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路分三步：第一步，利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，分别代入A、B两点坐标，求出$y_1$、$y_2$的表达式；第二步，写出$y_1+y_2$的合并式，结合$k＞0$的已知条件，将判断$y_1+y_2$符号的问题转化为判断式子正负的问题；第三步，根据每个选项给出的$m$的取值范围，推导$\frac{k}{m}$和$\frac{k}{2}$的大小关系，逐一验证选项即可。
【解析】
将点$A(-2,y_1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），得：
$y_1=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$
将点$B(m,y_2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$y_2=\frac{k}{m}$
因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}$，结合$k＞0$的条件逐一分析选项：
A选项：当$m＜-2$时，$m$为负数，故$y_2=\frac{k}{m}＜0$，又$y_1=-\frac{k}{2}＜0$，两个负数相加仍为负，即$y_1+y_2＜0$，A错误。
B选项：当$-2＜m＜0$时，$m$为负数，故$y_2=\frac{k}{m}＜0$，同理$y_1＜0$，可得$y_1+y_2＜0$，B错误。
C选项：当$0＜m＜2$时，$m$为正数，故$y_2=\frac{k}{m}＞0$，且$m＜2、k＞0$，可得$\frac{k}{m}＞\frac{k}{2}$，因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}＞0$，C错误。
D选项：当$m＞2$时，$m$为正数，故$y_2=\frac{k}{m}＞0$，且$m＞2、k＞0$，可得$\frac{k}{m}＜\frac{k}{2}$，因此$y_1+y_2=-\frac{k}{2}+\frac{k}{m}＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规考查题型，需要结合自变量的范围判断函数值的大小与符号，解题的关键是先求出两个点的函数值表达式，再结合$k＞0$的条件推导和的符号，能有效检验对反比例函数性质的掌握程度和分类分析的能力。
【难度系数】
0.6
3[2026江苏扬州期末，中]已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$（$k$为常数）的图象上.若$x_1≠x_2$且$x_1·x_2＞0$，则$(x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)$
＜
0（填“＜”“＞”“≤”或“≥”）答案
3. ＜ 【解析】
∵ $k^2+1＞0$,
∴ 双曲线位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.
∵ 点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 在反比例函数的图象上,$x_1≠x_2$ 且 $x_1 · x_2＞0$,
∴ 点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 在同一象限.
$(x_1^2-x_2^2)(y_1^2-y_2^2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)$. 当点 A,B 在第一象限时,若 $x_1-x_2＜0$,则 $y_1-y_2＞0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$;若 $x_1-x_2＞0$,则 $y_1-y_2＜0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$. 当点 A,B 在第三象限时,若 $x_1-x_2＜0$,则 $y_1-y_2＞0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$;若 $x_1-x_2＞0$,则 $y_1-y_2＜0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$. 综上,$(x_1^2-x_2^2)(y_1^2-y_2^2)＜0$,故答案为＜.
∵ $k^2+1＞0$,
∴ 双曲线位于第一、三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.
∵ 点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 在反比例函数的图象上,$x_1≠x_2$ 且 $x_1 · x_2＞0$,
∴ 点 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 在同一象限.
$(x_1^2-x_2^2)(y_1^2-y_2^2)=(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)$. 当点 A,B 在第一象限时,若 $x_1-x_2＜0$,则 $y_1-y_2＞0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$;若 $x_1-x_2＞0$,则 $y_1-y_2＜0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$. 当点 A,B 在第三象限时,若 $x_1-x_2＜0$,则 $y_1-y_2＞0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$;若 $x_1-x_2＞0$,则 $y_1-y_2＜0$,
∴ $(x_1+x_2)(x_1-x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)＜0$. 综上,$(x_1^2-x_2^2)(y_1^2-y_2^2)＜0$,故答案为＜.
解析
【分析】
首先判断反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，比例系数的符号决定图象所在象限和增减性，本题中$k^2+1$恒大于0，因此函数图象在第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小。其次根据条件$x_1·x_2＞0$可知$x_1$、$x_2$同号，即A、B两点在同一象限，避免跨象限误用增减性。最后将待判断的代数式用平方差公式展开，分象限结合增减性判断各因式的符号，再根据有理数乘法的符号法则即可得到最终结果的符号。
【解析】
∵ 对任意实数k，$k^2≥0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵ 点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该反比例函数图象上，$x_1≠x_2$且$x_1·x_2＞0$，
∴ $x_1$与$x_2$同号，即A、B两点在同一象限。
利用平方差公式展开得：$(x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)$。
① 当A、B在第一象限时，$x_1＞0,x_2＞0,y_1＞0,y_2＞0$，故$x_1+x_2＞0$，$y_1+y_2＞0$：
若$x_1-x_2＜0$，由增减性得$y_1-y_2＞0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0；
若$x_1-x_2＞0$，由增减性得$y_1-y_2＜0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0。
② 当A、B在第三象限时，$x_1＜0,x_2＜0,y_1＜0,y_2＜0$，故$x_1+x_2＜0$，$y_1+y_2＜0$，则$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＞0$：
若$x_1-x_2＜0$，由增减性得$y_1-y_2＞0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0；
若$x_1-x_2＞0$，由增减性得$y_1-y_2＜0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0。
综上，$(x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质，平方差公式，有理数乘法符号法则
【点评】
本题综合考查反比例函数性质、因式分解和代数式符号判断，解题核心是先确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性分析各因式的符号，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可跨象限使用。
【难度系数】
0.6
首先判断反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，比例系数的符号决定图象所在象限和增减性，本题中$k^2+1$恒大于0，因此函数图象在第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小。其次根据条件$x_1·x_2＞0$可知$x_1$、$x_2$同号，即A、B两点在同一象限，避免跨象限误用增减性。最后将待判断的代数式用平方差公式展开，分象限结合增减性判断各因式的符号，再根据有理数乘法的符号法则即可得到最终结果的符号。
【解析】
∵ 对任意实数k，$k^2≥0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小。
∵ 点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该反比例函数图象上，$x_1≠x_2$且$x_1·x_2＞0$，
∴ $x_1$与$x_2$同号，即A、B两点在同一象限。
利用平方差公式展开得：$(x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)(y_1-y_2)(y_1+y_2)$。
① 当A、B在第一象限时，$x_1＞0,x_2＞0,y_1＞0,y_2＞0$，故$x_1+x_2＞0$，$y_1+y_2＞0$：
若$x_1-x_2＜0$，由增减性得$y_1-y_2＞0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0；
若$x_1-x_2＞0$，由增减性得$y_1-y_2＜0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0。
② 当A、B在第三象限时，$x_1＜0,x_2＜0,y_1＜0,y_2＜0$，故$x_1+x_2＜0$，$y_1+y_2＜0$，则$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＞0$：
若$x_1-x_2＜0$，由增减性得$y_1-y_2＞0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0；
若$x_1-x_2＞0$，由增减性得$y_1-y_2＜0$，则$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，整体乘积小于0。
综上，$(x_1^2 - x_2^2)(y_1^2 - y_2^2)＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质，平方差公式，有理数乘法符号法则
【点评】
本题综合考查反比例函数性质、因式分解和代数式符号判断，解题核心是先确定两点在同一象限，再结合反比例函数的增减性分析各因式的符号，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可跨象限使用。
【难度系数】
0.6
4[2026 四川成都期中,中]如图,已知点 D,E 都是双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限内的点(点 E在点 D 的右侧),过点 D 作$AD ⊥ y$轴与过点 E作$EB ⊥ x$轴的直线交于点 C,连接 DO 并延长DO 交双曲线于点 F,连接$EF,△ DCE$的面积用$S_1$表示,$△ DEF$的面积用$S_2$表示.若$\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n}$,则$\frac{S_1}{S_2}=$
$\dfrac{n}{4m+2n}$
.(用含 m 和 n 的代数式表示)答案
4. $\dfrac{n}{4m+2n}$ 【解析】如图,连接 OE. 由题意设 $AD=m$,$CD=n$,则 $AC=m+n$.
∵ 点 D,E 是双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 在第一象限内的点(点 E 在点 D 的右侧),连接 DO 并延长交双曲线于点 F,
∴ $OD=OF$,$D(m, \dfrac{k}{m})$,$E(m+n, \dfrac{k}{m+n})$,
∴ $S_2=2S_{△ ODE}$.
∵ $S_1=\dfrac{1}{2} CD · CE = \dfrac{1}{2} n · ( \dfrac{k}{m} - \dfrac{k}{m+n} ) = \dfrac{kn^2}{2m(m+n)}$ ,$\dfrac{1}{2} S_2 = S_{△ ODE} = S_{矩形OBCA} - S_{△ AOD} - S_{△ BOE} - S_1=(m+n) · \dfrac{k}{m} - \dfrac{1}{2}k - \dfrac{1}{2}k - S_1$,
∴ $\dfrac{1}{2} S_2 + S_1=(m+n) · \dfrac{k}{m} -k = \dfrac{kn}{m}$ ,
∴ $\dfrac{1}{2} S_2= \dfrac{kn}{m} - \dfrac{kn^2}{2m(m+n)} = \dfrac{nk(2m+n)}{2m(m+n)}$ ,
∴ $S_2= \dfrac{nk(2m+n)}{m(m+n)}$ ,
∴ $\dfrac{S_1}{S_2}= \dfrac{kn^2}{2m(m+n)} · \dfrac{m(m+n)}{nk(2m+n)} = \dfrac{n}{4m+2n}$. 故答案为$\dfrac{n}{4m+2n}$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的线段比例关系设参数简化运算，设$AD=m$，$CD=n$，即可得到点D、E的横坐标；再利用反比例函数的中心对称性，可知点D和点F关于原点对称，即$OD=OF$，可得$△ DEF$的面积是$△ ODE$面积的2倍；接下来分别表示出D、E两点的坐标，先计算$△ DCE$的面积$S_1$，再通过矩形面积减去周围三角形面积的割补法求出$△ ODE$的面积，进而得到$S_2$，最后计算两者的比值，约去参数$k$即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$OE$。
由$\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n}$，设$AD=m$，$CD=n$，则$AC=AD+DC=m+n$。
∵点$D$、$E$都在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$第一象限的分支上，直线$DF$过原点，
∴根据反比例函数的中心对称性可得$OD=OF$，且$D(m,\frac{k}{m})$，$E(m+n,\frac{k}{m+n})$。
∵$O$为$DF$中点，$△ ODE$和$△ OFE$等底同高，
∴$S_2=S_{△ DEF}=2S_{△ ODE}$。
先计算$S_1$：
$CE=y_D - y_E=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+n}$，
∴$S_1=\frac{1}{2}CD· CE=\frac{1}{2}n·(\frac{k}{m}-\frac{k}{m+n})=\frac{kn^2}{2m(m+n)}$。
再计算$S_{△ ODE}$：
用矩形$OBCA$的面积减去$△ AOD$、$△ BOE$和$△ DCE$的面积，
$S_{矩形OBCA}=AC· y_D=(m+n)·\frac{k}{m}$，
根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOD}=S_{△ BOE}=\frac{1}{2}k$，
∴$S_{△ ODE}=S_{矩形OBCA}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}-S_1$，
即$\frac{1}{2}S_2=\frac{k(m+n)}{m}-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-S_1$，
整理得：$\frac{1}{2}S_2 + S_1=\frac{k(m+n)}{m}-k=\frac{kn}{m}$，
将$S_1=\frac{kn^2}{2m(m+n)}$代入得：
$\frac{1}{2}S_2=\frac{kn}{m}-\frac{kn^2}{2m(m+n)}=\frac{kn(2m+n)}{2m(m+n)}$，
∴$S_2=\frac{kn(2m+n)}{m(m+n)}$。
最后求比值：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{kn^2}{2m(m+n)}}{\frac{kn(2m+n)}{m(m+n)}}=\frac{n}{4m+2n}$。
【答案】
$\dfrac{n}{4m+2n}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数$k$的几何意义；中心对称的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数相关性质与三角形面积的计算，通过设参数简化坐标表示，利用中心对称的性质转化$△ DEF$的面积，结合割补法计算不规则三角形面积是解题的关键，解题过程中注意参数$k$在比值中可约去，无需求出具体数值。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据已知的线段比例关系设参数简化运算，设$AD=m$，$CD=n$，即可得到点D、E的横坐标；再利用反比例函数的中心对称性，可知点D和点F关于原点对称，即$OD=OF$，可得$△ DEF$的面积是$△ ODE$面积的2倍；接下来分别表示出D、E两点的坐标，先计算$△ DCE$的面积$S_1$，再通过矩形面积减去周围三角形面积的割补法求出$△ ODE$的面积，进而得到$S_2$，最后计算两者的比值，约去参数$k$即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$OE$。
由$\frac{AD}{DC}=\frac{m}{n}$，设$AD=m$，$CD=n$，则$AC=AD+DC=m+n$。
∵点$D$、$E$都在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$第一象限的分支上，直线$DF$过原点，
∴根据反比例函数的中心对称性可得$OD=OF$，且$D(m,\frac{k}{m})$，$E(m+n,\frac{k}{m+n})$。
∵$O$为$DF$中点，$△ ODE$和$△ OFE$等底同高，
∴$S_2=S_{△ DEF}=2S_{△ ODE}$。
先计算$S_1$：
$CE=y_D - y_E=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+n}$，
∴$S_1=\frac{1}{2}CD· CE=\frac{1}{2}n·(\frac{k}{m}-\frac{k}{m+n})=\frac{kn^2}{2m(m+n)}$。
再计算$S_{△ ODE}$：
用矩形$OBCA$的面积减去$△ AOD$、$△ BOE$和$△ DCE$的面积，
$S_{矩形OBCA}=AC· y_D=(m+n)·\frac{k}{m}$，
根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ AOD}=S_{△ BOE}=\frac{1}{2}k$，
∴$S_{△ ODE}=S_{矩形OBCA}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}-S_1$，
即$\frac{1}{2}S_2=\frac{k(m+n)}{m}-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-S_1$，
整理得：$\frac{1}{2}S_2 + S_1=\frac{k(m+n)}{m}-k=\frac{kn}{m}$，
将$S_1=\frac{kn^2}{2m(m+n)}$代入得：
$\frac{1}{2}S_2=\frac{kn}{m}-\frac{kn^2}{2m(m+n)}=\frac{kn(2m+n)}{2m(m+n)}$，
∴$S_2=\frac{kn(2m+n)}{m(m+n)}$。
最后求比值：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{kn^2}{2m(m+n)}}{\frac{kn(2m+n)}{m(m+n)}}=\frac{n}{4m+2n}$。
【答案】
$\dfrac{n}{4m+2n}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数$k$的几何意义；中心对称的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数相关性质与三角形面积的计算，通过设参数简化坐标表示，利用中心对称的性质转化$△ DEF$的面积，结合割补法计算不规则三角形面积是解题的关键，解题过程中注意参数$k$在比值中可约去，无需求出具体数值。
【难度系数】
0.5
5 新考法[2026浙江金华质检,中]如图(1),点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,与点A,O,C构成矩形,点A,C在坐标轴上,在图(2)、图(3)中分别画出一个三角形或四边形,使其面积与原矩形OABC的面积相等,所画图形必须以B为顶点,且其余顶点都要落在坐标轴上或反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上.(如有必要,可以写上简要说明,全等视为同一种情况)
答案
5.【解】
∵ 点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,
∴ 题图(1)中,$S_{矩形OABC}=|k|=4$. 设 $B(x,y)$,则 $S_{矩形OABC}=|x| · |y|=4$.
如图(1),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过 B 作 $BA⊥x$ 轴于点 A,连接 B'A.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'A}=\dfrac{1}{2} |2x| · |y|=4$.
如图(2),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过点 B 作 $BC⊥y$ 轴于点 C,连接 B'C.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'C}=\dfrac{1}{2} |2y| · |x|=4$.
解析
【分析】
解题首先要明确原矩形的面积，根据反比例函数的几何意义，过双曲线上一点作两坐标轴的垂线，所得矩形面积等于|k|，可先算出矩形OABC的面积为4。接下来要构造以B为顶点、其余顶点在坐标轴或双曲线上且面积为4的图形，可利用反比例函数图象关于原点中心对称的性质，取点B关于原点的对称点B'（B'也在双曲线上），再结合坐标轴上的点构造三角形，通过面积计算验证是否符合要求即可。
【解析】
1. 计算原矩形面积
∵点B在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，
∴$S_{矩形OABC}=|k|=4$，设$B(x,y)$，则$xy=4$。
2. 构造第一个符合要求的三角形
连接BO并延长，交反比例函数图象于点$B'$，过B作$BA⊥x$轴于点A，连接$B'A$。
∵反比例函数图象关于原点中心对称，
∴点B与$B'$关于原点O对称，$B'$坐标为$(-x,-y)$。
$△ BB'A$的底为$|x-(-x)|=|2x|$，高为$|y|$，则$S_{△ BB'A}=\dfrac{1}{2}×|2x|×|y|=|xy|=4$，符合要求。
3. 构造第二个符合要求的三角形
连接BO并延长，交反比例函数图象于点$B'$，过B作$BC⊥y$轴于点C，连接$B'C$。
同理，点B与$B'$关于原点O对称，$△ BB'C$的底为$|y-(-y)|=|2y|$，高为$|x|$，则$S_{△ BB'C}=\dfrac{1}{2}×|2y|×|x|=|xy|=4$，符合要求。
【答案】
∵ 点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,
∴ 题图(1)中,$S_{矩形OABC}=|k|=4$. 设 $B(x,y)$,则 $S_{矩形OABC}=|x| · |y|=4$.
如图(1),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过 B 作 $BA⊥x$ 轴于点 A,连接 B'A.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'A}=\dfrac{1}{2} |2x| · |y|=4$.
如图(2),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过点 B 作 $BC⊥y$ 轴于点 C,连接 B'C.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'C}=\dfrac{1}{2} |2y| · |x|=4$.
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是开放性作图题，结合反比例函数性质考查几何图形的面积构造，解题的关键是熟练掌握反比例函数的相关性质，能灵活运用对称性和面积公式构造符合要求的图形，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确原矩形的面积，根据反比例函数的几何意义，过双曲线上一点作两坐标轴的垂线，所得矩形面积等于|k|，可先算出矩形OABC的面积为4。接下来要构造以B为顶点、其余顶点在坐标轴或双曲线上且面积为4的图形，可利用反比例函数图象关于原点中心对称的性质，取点B关于原点的对称点B'（B'也在双曲线上），再结合坐标轴上的点构造三角形，通过面积计算验证是否符合要求即可。
【解析】
1. 计算原矩形面积
∵点B在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，
∴$S_{矩形OABC}=|k|=4$，设$B(x,y)$，则$xy=4$。
2. 构造第一个符合要求的三角形
连接BO并延长，交反比例函数图象于点$B'$，过B作$BA⊥x$轴于点A，连接$B'A$。
∵反比例函数图象关于原点中心对称，
∴点B与$B'$关于原点O对称，$B'$坐标为$(-x,-y)$。
$△ BB'A$的底为$|x-(-x)|=|2x|$，高为$|y|$，则$S_{△ BB'A}=\dfrac{1}{2}×|2x|×|y|=|xy|=4$，符合要求。
3. 构造第二个符合要求的三角形
连接BO并延长，交反比例函数图象于点$B'$，过B作$BC⊥y$轴于点C，连接$B'C$。
同理，点B与$B'$关于原点O对称，$△ BB'C$的底为$|y-(-y)|=|2y|$，高为$|x|$，则$S_{△ BB'C}=\dfrac{1}{2}×|2y|×|x|=|xy|=4$，符合要求。
【答案】
∵ 点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,
∴ 题图(1)中,$S_{矩形OABC}=|k|=4$. 设 $B(x,y)$,则 $S_{矩形OABC}=|x| · |y|=4$.
如图(1),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过 B 作 $BA⊥x$ 轴于点 A,连接 B'A.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'A}=\dfrac{1}{2} |2x| · |y|=4$.
如图(2),连接 BO 并延长,交双曲线于点 B',过点 B 作 $BC⊥y$ 轴于点 C,连接 B'C.
∵ 点 B,点 B'关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ BB'C}=\dfrac{1}{2} |2y| · |x|=4$.
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是开放性作图题，结合反比例函数性质考查几何图形的面积构造，解题的关键是熟练掌握反比例函数的相关性质，能灵活运用对称性和面积公式构造符合要求的图形，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
