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6[2026江苏无锡期末,中]如图,点A,B是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上位于第一象限内不同的两点,直线OA交函数图象的另一支于点$A'$,连接AB,$A'B$.
(1)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点A(2,6),点B的横坐标为6.求证:$∠ ABA'=90°$;
(2)若$∠ ABA'=90°$恒成立,试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系,并说明理由.
(1)若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点A(2,6),点B的横坐标为6.求证:$∠ ABA'=90°$;
(2)若$∠ ABA'=90°$恒成立,试猜想点A与点B横坐标满足的数量关系,并说明理由.
答案
6. (1)【证明】
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象经过点 $A(2,6)$,
∴ $k=2 × 6=12$,
∴ 反比例函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$.
∵ 点 B 的横坐标是 6,
∴ 把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{12}{x}$,得 $y=2$,
∴ $B(6,2)$.
∵ $A(2,6)$,
∴ $A'(-2,-6)$,
∴ $AB= \sqrt{(-4)^2+4^2} =4\sqrt{2}$ ,$A'A= \sqrt{4^2+12^2} =4\sqrt{10}$ ,$A'B= \sqrt{8^2+8^2} =8\sqrt{2}$ ,
∴ $A'A^2=AB^2+A'B^2$,
∴ $∠ABA'=90°$.
(2)【解】点 A 和点 B 的横坐标之积等于比例系数 k. 理由:连接 OB. 设 $A(m, \dfrac{k}{m})$,$B(n, \dfrac{k}{n})(m＞0,n＞0,k＞0,m≠n)$.
∵ 点 A 和点 A'关于原点 O 对称,
∴ $OA=OA'$. 又
∵ $∠ABA'=90°$,
∴ $OA=OB$,
∴ $m^2+( \dfrac{k}{m} )^2 =n^2+( \dfrac{k}{n} )^2$ ,
∴ $m^2-n^2=( \dfrac{k}{n} )^2 - ( \dfrac{k}{m} )^2 = \dfrac{k^2(m^2-n^2)}{m^2n^2}$ .
∵ $m≠n$,即 $m^2≠n^2$,
∴ $\dfrac{k^2}{m^2n^2} =1$.
∵ $m＞0$,$n＞0$,$k＞0$,
∴ $mn=k$,即点 A 和点 B 的横坐标之积等于比例系数 k.
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象经过点 $A(2,6)$,
∴ $k=2 × 6=12$,
∴ 反比例函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$.
∵ 点 B 的横坐标是 6,
∴ 把 $x=6$ 代入 $y=\dfrac{12}{x}$,得 $y=2$,
∴ $B(6,2)$.
∵ $A(2,6)$,
∴ $A'(-2,-6)$,
∴ $AB= \sqrt{(-4)^2+4^2} =4\sqrt{2}$ ,$A'A= \sqrt{4^2+12^2} =4\sqrt{10}$ ,$A'B= \sqrt{8^2+8^2} =8\sqrt{2}$ ,
∴ $A'A^2=AB^2+A'B^2$,
∴ $∠ABA'=90°$.
(2)【解】点 A 和点 B 的横坐标之积等于比例系数 k. 理由:连接 OB. 设 $A(m, \dfrac{k}{m})$,$B(n, \dfrac{k}{n})(m＞0,n＞0,k＞0,m≠n)$.
∵ 点 A 和点 A'关于原点 O 对称,
∴ $OA=OA'$. 又
∵ $∠ABA'=90°$,
∴ $OA=OB$,
∴ $m^2+( \dfrac{k}{m} )^2 =n^2+( \dfrac{k}{n} )^2$ ,
∴ $m^2-n^2=( \dfrac{k}{n} )^2 - ( \dfrac{k}{m} )^2 = \dfrac{k^2(m^2-n^2)}{m^2n^2}$ .
∵ $m≠n$,即 $m^2≠n^2$,
∴ $\dfrac{k^2}{m^2n^2} =1$.
∵ $m＞0$,$n＞0$,$k＞0$,
∴ $mn=k$,即点 A 和点 B 的横坐标之积等于比例系数 k.
解析
【分析】
(1)要证明$∠ABA'=90°$，可采用勾股定理逆定理推导：首先利用已知点A的坐标求出反比例函数解析式，结合点B的横坐标求出B点坐标；再根据反比例函数关于原点中心对称的性质得到$A'$的坐标，最后计算$△ ABA'$三边长度的平方，验证三边满足勾股定理逆定理即可。
(2)已知$∠ABA'=90°$，且O是$AA'$的中点（反比例函数中心对称特征），根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得$OA=OB$；设出A、B两点的坐标，根据两点间距离公式列出$OA^2=OB^2$的等式，化简后即可得到两点横坐标的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象经过点 $A(2,6)$，
∴ $k=2 × 6=12$，即反比例函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$。
∵ 点B的横坐标为6，将$x=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$y=\dfrac{12}{6}=2$，
∴ $B(6,2)$。
∵ 直线OA交反比例函数另一支于$A'$，点A与$A'$关于原点对称，
∴ $A'(-2,-6)$。
由两点间距离公式计算得：
$AB=\sqrt{(2-6)^2+(6-2)^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$A'B=\sqrt{(-2-6)^2+(-6-2)^2}=\sqrt{(-8)^2+(-8)^2}=8\sqrt{2}$，
$A'A=\sqrt{(2+2)^2+(6+6)^2}=\sqrt{4^2+12^2}=4\sqrt{10}$。
∵ $AB^2 + A'B^2=(4\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2=32+128=160$，$A'A^2=(4\sqrt{10})^2=160$，
∴ $A'A^2=AB^2+A'B^2$，
∴ $△ ABA'$是直角三角形，$∠ABA'=90°$。
(2)猜想：点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
理由如下：
连接OB，设$A(m,\dfrac{k}{m})$，$B(n,\dfrac{k}{n})$（$m＞0,n＞0,k＞0,m≠n$）。
∵ 点A与$A'$关于原点O中心对称，
∴ $OA=OA'$。
又
∵ $∠ABA'=90°$，在$Rt△ ABA'$中，O为斜边$AA'$的中点，
∴ $OB=\dfrac{1}{2}AA'=OA$，即$OA=OB$。
由两点间距离公式得：
$OA^2=m^2 + (\dfrac{k}{m})^2$，$OB^2=n^2 + (\dfrac{k}{n})^2$，
∴ $m^2 + \dfrac{k^2}{m^2}=n^2 + \dfrac{k^2}{n^2}$，
移项整理得：$m^2 - n^2 = \dfrac{k^2}{n^2} - \dfrac{k^2}{m^2} = \dfrac{k^2(m^2 - n^2)}{m^2n^2}$。
∵ $m≠n$，
∴ $m^2≠n^2$，即$m^2-n^2≠0$，
等式两边同时除以$m^2-n^2$得：$\dfrac{k^2}{m^2n^2}=1$，即$m^2n^2=k^2$。
∵ $m＞0,n＞0,k＞0$，
∴ $mn=k$，即点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
【答案】
(1)已证$∠ABA'=90°$；
(2)点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
【知识点】
反比例函数的性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质
【点评】
本题结合反比例函数的对称性与几何性质考查，既需要掌握反比例函数的图象特征，也需要熟练运用勾股定理、直角三角形斜边中线性质推导，同时涉及代数化简运算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$∠ABA'=90°$，可采用勾股定理逆定理推导：首先利用已知点A的坐标求出反比例函数解析式，结合点B的横坐标求出B点坐标；再根据反比例函数关于原点中心对称的性质得到$A'$的坐标，最后计算$△ ABA'$三边长度的平方，验证三边满足勾股定理逆定理即可。
(2)已知$∠ABA'=90°$，且O是$AA'$的中点（反比例函数中心对称特征），根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得$OA=OB$；设出A、B两点的坐标，根据两点间距离公式列出$OA^2=OB^2$的等式，化简后即可得到两点横坐标的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象经过点 $A(2,6)$，
∴ $k=2 × 6=12$，即反比例函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$。
∵ 点B的横坐标为6，将$x=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$y=\dfrac{12}{6}=2$，
∴ $B(6,2)$。
∵ 直线OA交反比例函数另一支于$A'$，点A与$A'$关于原点对称，
∴ $A'(-2,-6)$。
由两点间距离公式计算得：
$AB=\sqrt{(2-6)^2+(6-2)^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$A'B=\sqrt{(-2-6)^2+(-6-2)^2}=\sqrt{(-8)^2+(-8)^2}=8\sqrt{2}$，
$A'A=\sqrt{(2+2)^2+(6+6)^2}=\sqrt{4^2+12^2}=4\sqrt{10}$。
∵ $AB^2 + A'B^2=(4\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2=32+128=160$，$A'A^2=(4\sqrt{10})^2=160$，
∴ $A'A^2=AB^2+A'B^2$，
∴ $△ ABA'$是直角三角形，$∠ABA'=90°$。
(2)猜想：点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
理由如下：
连接OB，设$A(m,\dfrac{k}{m})$，$B(n,\dfrac{k}{n})$（$m＞0,n＞0,k＞0,m≠n$）。
∵ 点A与$A'$关于原点O中心对称，
∴ $OA=OA'$。
又
∵ $∠ABA'=90°$，在$Rt△ ABA'$中，O为斜边$AA'$的中点，
∴ $OB=\dfrac{1}{2}AA'=OA$，即$OA=OB$。
由两点间距离公式得：
$OA^2=m^2 + (\dfrac{k}{m})^2$，$OB^2=n^2 + (\dfrac{k}{n})^2$，
∴ $m^2 + \dfrac{k^2}{m^2}=n^2 + \dfrac{k^2}{n^2}$，
移项整理得：$m^2 - n^2 = \dfrac{k^2}{n^2} - \dfrac{k^2}{m^2} = \dfrac{k^2(m^2 - n^2)}{m^2n^2}$。
∵ $m≠n$，
∴ $m^2≠n^2$，即$m^2-n^2≠0$，
等式两边同时除以$m^2-n^2$得：$\dfrac{k^2}{m^2n^2}=1$，即$m^2n^2=k^2$。
∵ $m＞0,n＞0,k＞0$，
∴ $mn=k$，即点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
【答案】
(1)已证$∠ABA'=90°$；
(2)点A与点B的横坐标之积等于比例系数k。
【知识点】
反比例函数的性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质
【点评】
本题结合反比例函数的对称性与几何性质考查，既需要掌握反比例函数的图象特征，也需要熟练运用勾股定理、直角三角形斜边中线性质推导，同时涉及代数化简运算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
7[2026江西上饶期末,较难]如图,在平面直角坐标系xOy中,A是y轴正半轴上一点,将OA绕点O顺时针旋转60°得到线段OB.
(1)若点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象上,$△ AOB$的面积为6,求k的值.
(2)若C是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限图象上的另一点,且$OC=OB$,过点C作CD垂直x轴于点D,CD交OB于点E,求$△ OCE$的面积(用含k的式子表示).
(1)若点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象上,$△ AOB$的面积为6,求k的值.
(2)若C是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限图象上的另一点,且$OC=OB$,过点C作CD垂直x轴于点D,CD交OB于点E,求$△ OCE$的面积(用含k的式子表示).
答案
7.【解】(1)如图(1),过点 B 作 $BH⊥y$ 轴于点 H.
∵ 将 OA 绕点 O 顺时针旋转 60°得到线段 OB,
∴ $∠AOB=60°$,$OA=OB$,
∴ $△AOB$ 为等边三角形,
∴ $OH=AH$,
∴ $S_{△ BOH}=\dfrac{1}{2} S_{△ AOB}=3$.
∵ 点 B 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0,k＞0)$ 的图象上,
∴ $\dfrac{1}{2} k=3$,
∴ $k=6$.
(2)如图(2),过点 B 作 $BM⊥x$ 轴于点 M.
∵ 图象的对称轴为直线 $y=x$,$OC=OB$,
∴ 点 C,B 关于直线 $y=x$ 对称,
∴ 易得 $∠BOM=∠COA=90°-60°=30°$,
∴ $∠COD=∠OBM=90°-30°=60°$. 又
∵ $∠CDO=∠BMO=90°$,
∴ $△CDO ≅ △OMB(AAS)$,
∴ $OD=BM$.
∵ C,B 都在反比例函数图象上,
∴ $S_{△ COD}=S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2} k$,
∴ $S_{△ OCE}=S_{梯形EDMB}$. 在 $Rt△OBM$ 中,由勾股定理得 $BM=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM=OD$,在 $Rt△ODE$ 中,由勾股定理得 $DE=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OD=\dfrac{1}{3} OM$,
∴ $\dfrac{1}{2} × \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM × OM=\dfrac{1}{2} k$ ,
∴ $OM^2=\sqrt{3} k$ ,
∴ $S_{△ OCE}=S_{梯形EDMB} = \dfrac{( \dfrac{1}{3} OM + \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )( OM - \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{9} OM^2=\dfrac{1}{3} k$ .
解析
【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可得OA=OB、∠AOB=60°，可判断△AOB为等边三角形。要求反比例函数的k值，结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，因此过B作y轴的垂线，将等边三角形分成面积相等的两部分，得到△BOH的面积后即可求出k值。
(2) 已知OC=OB且两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于直线$y=x$对称，因此B、C两点关于$y=x$对称，可推出对应角度相等，证明△CDO≌△OMB得到线段等量关系。再将△OCE的面积转化为梯形EDMB的面积，结合反比例函数k的几何意义和直角三角形的边角关系，即可用k表示出△OCE的面积。
【解析】
(1) 如图(1)，过点B作$BH⊥y$轴于点H。
∵ 将OA绕点O顺时针旋转60°得到线段OB，
∴ $∠AOB=60°$，$OA=OB$，
∴ $△AOB$为等边三角形，
∴ $OH=AH$，即BH是△AOB的中线，
∴ $S_{△ BOH}=\dfrac{1}{2} S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ 点B在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0,k＞0)$ 的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△BOH}=\frac{1}{2}k$，
∴ $\dfrac{1}{2} k=3$，解得$k=6$。
(2) 如图(2)，过点B作 $BM⊥x$ 轴于点M。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象关于直线$y=x$对称，且$OC=OB$，点B、C都在该反比例函数第一象限的图象上，
∴ 点C、B关于直线 $y=x$ 对称，
∴ $∠BOM=∠COA=90°-60°=30°$，
∴ $∠COD=90°-∠COA=90°-30°=60°$，$∠OBM=90°-∠BOM=90°-30°=60°$，即$∠COD=∠OBM$。
又
∵ $∠CDO=∠BMO=90°$，$OC=OB$，
∴ $△CDO ≅ △OMB(AAS)$，
∴ $OD=BM$。
∵ C、B都在反比例函数图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ COD}=S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2} k$，
∴ $S_{△ OCE}=S_{△COD}-S_{△ODE}=S_{△BOM}-S_{△ODE}=S_{梯形EDMB}$。
在$Rt△OBM$中，$∠BOM=30°$，由勾股定理得 $BM=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM$，即$OD=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM$。
在$Rt△ODE$中，$∠EOD=30°$，由勾股定理得 $DE=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OD=\dfrac{\sqrt{3}}{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM=\dfrac{1}{3} OM$。
由$S_{△BOM}=\frac{1}{2}×OM×BM=\frac{1}{2}×OM×\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM=\dfrac{1}{2}k$，
整理得 $OM^2=\sqrt{3}k$。
∴ $S_{△ OCE}=S_{梯形EDMB} = \dfrac{(DE+BM)(OM-OD)}{2} =\dfrac{( \dfrac{1}{3} OM + \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )( OM - \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )}{2}$
化简得：$S_{△OCE}=\dfrac{\sqrt{3}}{9} OM^2=\dfrac{\sqrt{3}}{9}×\sqrt{3}k=\dfrac{1}{3}k$。
【答案】
(1) $k=6$
(2) $△OCE$的面积为$\dfrac{1}{3}k$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质、旋转的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定及面积计算，解题的关键是合理利用反比例函数的对称性和k的几何意义进行面积转化，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
(1) 首先根据旋转的性质可得OA=OB、∠AOB=60°，可判断△AOB为等边三角形。要求反比例函数的k值，结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，因此过B作y轴的垂线，将等边三角形分成面积相等的两部分，得到△BOH的面积后即可求出k值。
(2) 已知OC=OB且两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象关于直线$y=x$对称，因此B、C两点关于$y=x$对称，可推出对应角度相等，证明△CDO≌△OMB得到线段等量关系。再将△OCE的面积转化为梯形EDMB的面积，结合反比例函数k的几何意义和直角三角形的边角关系，即可用k表示出△OCE的面积。
【解析】
(1) 如图(1)，过点B作$BH⊥y$轴于点H。
∵ 将OA绕点O顺时针旋转60°得到线段OB，
∴ $∠AOB=60°$，$OA=OB$，
∴ $△AOB$为等边三角形，
∴ $OH=AH$，即BH是△AOB的中线，
∴ $S_{△ BOH}=\dfrac{1}{2} S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ 点B在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0,k＞0)$ 的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△BOH}=\frac{1}{2}k$，
∴ $\dfrac{1}{2} k=3$，解得$k=6$。
(2) 如图(2)，过点B作 $BM⊥x$ 轴于点M。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象关于直线$y=x$对称，且$OC=OB$，点B、C都在该反比例函数第一象限的图象上，
∴ 点C、B关于直线 $y=x$ 对称，
∴ $∠BOM=∠COA=90°-60°=30°$，
∴ $∠COD=90°-∠COA=90°-30°=60°$，$∠OBM=90°-∠BOM=90°-30°=60°$，即$∠COD=∠OBM$。
又
∵ $∠CDO=∠BMO=90°$，$OC=OB$，
∴ $△CDO ≅ △OMB(AAS)$，
∴ $OD=BM$。
∵ C、B都在反比例函数图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ COD}=S_{△ BOM}=\dfrac{1}{2} k$，
∴ $S_{△ OCE}=S_{△COD}-S_{△ODE}=S_{△BOM}-S_{△ODE}=S_{梯形EDMB}$。
在$Rt△OBM$中，$∠BOM=30°$，由勾股定理得 $BM=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM$，即$OD=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM$。
在$Rt△ODE$中，$∠EOD=30°$，由勾股定理得 $DE=\dfrac{\sqrt{3}}{3} OD=\dfrac{\sqrt{3}}{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM=\dfrac{1}{3} OM$。
由$S_{△BOM}=\frac{1}{2}×OM×BM=\frac{1}{2}×OM×\dfrac{\sqrt{3}}{3} OM=\dfrac{1}{2}k$，
整理得 $OM^2=\sqrt{3}k$。
∴ $S_{△ OCE}=S_{梯形EDMB} = \dfrac{(DE+BM)(OM-OD)}{2} =\dfrac{( \dfrac{1}{3} OM + \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )( OM - \dfrac{\sqrt{3}}{3} OM )}{2}$
化简得：$S_{△OCE}=\dfrac{\sqrt{3}}{9} OM^2=\dfrac{\sqrt{3}}{9}×\sqrt{3}k=\dfrac{1}{3}k$。
【答案】
(1) $k=6$
(2) $△OCE$的面积为$\dfrac{1}{3}k$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质、旋转的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定及面积计算，解题的关键是合理利用反比例函数的对称性和k的几何意义进行面积转化，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.3
8[较难]已知$A(a,y_1),B(2a,y_2)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上的两点.
(1)比较$y_1$与$y_2$的大小关系；
(2)若A,B两点在一次函数$y=-\frac{4}{3}x+b$第一象限的图象上(如图所示),分别过A,B两点作x轴的垂线,垂足分别为C,D,连接OA,OB,且$S_{△ OAB}=8$,求a的值；
(3)在(2)的条件下,如果$x＞0,3m=-4x+24$,$3n=\frac{32}{x}$,求使得$m＞n$成立的x的取值范围.
(1)比较$y_1$与$y_2$的大小关系；
(2)若A,B两点在一次函数$y=-\frac{4}{3}x+b$第一象限的图象上(如图所示),分别过A,B两点作x轴的垂线,垂足分别为C,D,连接OA,OB,且$S_{△ OAB}=8$,求a的值；
(3)在(2)的条件下,如果$x＞0,3m=-4x+24$,$3n=\frac{32}{x}$,求使得$m＞n$成立的x的取值范围.
答案
8.【解】(1)
∵ A,B 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 图象上的两点,
∴ $a≠0$. 当 $a＞0$ 时,A,B 在第一象限,由 $a＜2a$ 可知,$y_1＞y_2$. 同理,当 $a＜0$ 时,$y_1＜y_2$.
(2)
∵ $A(a,y_1)$,$B(2a,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上,
∴ $AC=y_1=\dfrac{k}{a}$ ,$BD=y_2=\dfrac{k}{2a}$ ,
∴ $y_1=2y_2$.
又
∵ 点 $A(a,y_1)$,$B(2a,y_2)$ 在一次函数 $y=-\dfrac{4}{3}x+b$ 的图象上,
∴ $y_1=-\dfrac{4}{3}a +b$,$y_2=-\dfrac{8}{3}a +b$,
∴ $-\dfrac{4}{3}a +b=2( -\dfrac{8}{3}a +b )$,
∴ $b=4a$.
∵ $S_{△ AOC} + S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB} + S_{△ BOD}$ ,$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$ ,
∴ $S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB}$ ,
∴ $\dfrac{1}{2} [ ( -\dfrac{4}{3} a +b ) + ( -\dfrac{8}{3} a +b ) ] · a=8$,
∴ $a^2=4$.
∵ $a＞0$,
∴ $a=2$.
(3)由(2)得,一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$,反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{32}{3x}$ ,A,B 两点的横坐标分别为 2,4,由题意得 $m=-\dfrac{4}{3}x+8$,$n=\dfrac{32}{3x}$ ,因此使得 $m＞n$ 成立的 x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标的取值范围,从图象可以看出 x 的取值范围为 $2＜x＜4$.
∵ A,B 是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 图象上的两点,
∴ $a≠0$. 当 $a＞0$ 时,A,B 在第一象限,由 $a＜2a$ 可知,$y_1＞y_2$. 同理,当 $a＜0$ 时,$y_1＜y_2$.
(2)
∵ $A(a,y_1)$,$B(2a,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上,
∴ $AC=y_1=\dfrac{k}{a}$ ,$BD=y_2=\dfrac{k}{2a}$ ,
∴ $y_1=2y_2$.
又
∵ 点 $A(a,y_1)$,$B(2a,y_2)$ 在一次函数 $y=-\dfrac{4}{3}x+b$ 的图象上,
∴ $y_1=-\dfrac{4}{3}a +b$,$y_2=-\dfrac{8}{3}a +b$,
∴ $-\dfrac{4}{3}a +b=2( -\dfrac{8}{3}a +b )$,
∴ $b=4a$.
∵ $S_{△ AOC} + S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB} + S_{△ BOD}$ ,$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$ ,
∴ $S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB}$ ,
∴ $\dfrac{1}{2} [ ( -\dfrac{4}{3} a +b ) + ( -\dfrac{8}{3} a +b ) ] · a=8$,
∴ $a^2=4$.
∵ $a＞0$,
∴ $a=2$.
(3)由(2)得,一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$,反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{32}{3x}$ ,A,B 两点的横坐标分别为 2,4,由题意得 $m=-\dfrac{4}{3}x+8$,$n=\dfrac{32}{3x}$ ,因此使得 $m＞n$ 成立的 x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标的取值范围,从图象可以看出 x 的取值范围为 $2＜x＜4$.
解析
【分析】
(1) 要比较反比例函数上两点的函数值大小，先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的增减性：在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此需要分$a＞0$（两点在第一象限）和$a＜0$（两点在第三象限）两种情况讨论。
(2) 首先利用A、B在反比例函数上的坐标关系，得到$y_1$和$y_2$的数量关系，再代入一次函数表达式求出$b$和$a$的关系；然后根据反比例函数的几何意义，可知$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，由此可推出$S_{梯形ACDB}=S_{△ OAB}$，代入梯形面积公式列方程即可求解，结合第一象限的限制确定$a$的符号。
(3) 先将$m＞n$的不等式转化为对应一次函数值大于反比例函数值的问题，结合(2)中得到的两个函数交点的横坐标，观察图像即可直接得到$x$的取值范围，利用数形结合思想简化计算。
【解析】
(1) $\because$ A、B是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上的两点，$\therefore a≠0$。
当$a＞0$时，A、B在第一象限，由$a＜2a$，结合反比例函数在第一象限$y$随$x$增大而减小，可得$y_1＞y_2$；
当$a＜0$时，A、B在第三象限，由$a＜2a＜0$，同理可得$y_1＜y_2$。
(2) $\because A(a,y_1)$，$B(2a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
$\therefore y_1=\frac{k}{a}$，$y_2=\frac{k}{2a}$，即$y_1=2y_2$。
又$\because$点$A(a,y_1)$，$B(2a,y_2)$在一次函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象上，
$\therefore y_1=-\frac{4}{3}a +b$，$y_2=-\frac{8}{3}a +b$，
代入$y_1=2y_2$得：$-\frac{4}{3}a +b=2( -\frac{8}{3}a +b )$，
解得$b=4a$。
根据反比例函数的几何意义，$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}k$，
又$\because S_{△ AOC} + S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB} + S_{△ BOD}$，
$\therefore S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB}=8$，
代入梯形面积公式：$\frac{1}{2} [ ( -\frac{4}{3} a +b ) + ( -\frac{8}{3} a +b ) ] · a=8$，
将$b=4a$代入化简得$a^2=4$，
$\because$A、B在第一象限，$\therefore a＞0$，故$a=2$。
(3) 由(2)得$b=4a=8$，$\therefore$一次函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x+8$，代入$x=a=2$得$y_1=\frac{16}{3}$，则$k=xy=2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$，即反比例函数表达式为$y=\frac{32}{3x}$。
由题意得$m=-\frac{4}{3}x+8$，$n=\frac{32}{3x}$，$m＞n$即一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点横坐标为2、4，且$x＞0$，可得x的取值范围为$2＜x＜4$。
【答案】
(1) 当$a＞0$时，$y_1＞y_2$；当$a＜0$时，$y_1＜y_2$
(2) $a=2$
(3) $2＜x＜4$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题综合考查函数的图象与性质，解题时要注意分类讨论思想的应用，第二问的面积转化是解题的关键，第三问借助函数图象解不等式能有效降低解题难度，需要熟练掌握数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.5
(1) 要比较反比例函数上两点的函数值大小，先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的增减性：在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此需要分$a＞0$（两点在第一象限）和$a＜0$（两点在第三象限）两种情况讨论。
(2) 首先利用A、B在反比例函数上的坐标关系，得到$y_1$和$y_2$的数量关系，再代入一次函数表达式求出$b$和$a$的关系；然后根据反比例函数的几何意义，可知$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，由此可推出$S_{梯形ACDB}=S_{△ OAB}$，代入梯形面积公式列方程即可求解，结合第一象限的限制确定$a$的符号。
(3) 先将$m＞n$的不等式转化为对应一次函数值大于反比例函数值的问题，结合(2)中得到的两个函数交点的横坐标，观察图像即可直接得到$x$的取值范围，利用数形结合思想简化计算。
【解析】
(1) $\because$ A、B是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上的两点，$\therefore a≠0$。
当$a＞0$时，A、B在第一象限，由$a＜2a$，结合反比例函数在第一象限$y$随$x$增大而减小，可得$y_1＞y_2$；
当$a＜0$时，A、B在第三象限，由$a＜2a＜0$，同理可得$y_1＜y_2$。
(2) $\because A(a,y_1)$，$B(2a,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
$\therefore y_1=\frac{k}{a}$，$y_2=\frac{k}{2a}$，即$y_1=2y_2$。
又$\because$点$A(a,y_1)$，$B(2a,y_2)$在一次函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象上，
$\therefore y_1=-\frac{4}{3}a +b$，$y_2=-\frac{8}{3}a +b$，
代入$y_1=2y_2$得：$-\frac{4}{3}a +b=2( -\frac{8}{3}a +b )$，
解得$b=4a$。
根据反比例函数的几何意义，$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}k$，
又$\because S_{△ AOC} + S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB} + S_{△ BOD}$，
$\therefore S_{梯形ACDB} = S_{△ AOB}=8$，
代入梯形面积公式：$\frac{1}{2} [ ( -\frac{4}{3} a +b ) + ( -\frac{8}{3} a +b ) ] · a=8$，
将$b=4a$代入化简得$a^2=4$，
$\because$A、B在第一象限，$\therefore a＞0$，故$a=2$。
(3) 由(2)得$b=4a=8$，$\therefore$一次函数表达式为$y=-\frac{4}{3}x+8$，代入$x=a=2$得$y_1=\frac{16}{3}$，则$k=xy=2×\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$，即反比例函数表达式为$y=\frac{32}{3x}$。
由题意得$m=-\frac{4}{3}x+8$，$n=\frac{32}{3x}$，$m＞n$即一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点横坐标为2、4，且$x＞0$，可得x的取值范围为$2＜x＜4$。
【答案】
(1) 当$a＞0$时，$y_1＞y_2$；当$a＜0$时，$y_1＜y_2$
(2) $a=2$
(3) $2＜x＜4$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式
【点评】
本题综合考查函数的图象与性质，解题时要注意分类讨论思想的应用，第二问的面积转化是解题的关键，第三问借助函数图象解不等式能有效降低解题难度，需要熟练掌握数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.5
