1[中]若反比例函数的图象经过点$A(a-b,a)$，其中$a,b$为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点 （）

A.$(b,a-b)$
B.$(b-a,a)$
C.$(a,a-b)$
D.$(a-b,b)$

设该反比例函数的关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 该反比例函数的图象经过点$A(a-b,a)$，
∴ $k=a(a-b)$，只有C选项的点的横、纵坐标的积为$a(a-b)$，故选C。

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于定值$k$。因此解题分为两步：第一步，根据已知点$A$的坐标求出$k$的表达式；第二步，分别计算四个选项中点的横、纵坐标的乘积，找到乘积等于$k$的选项即可。
【解析】
设该反比例函数的关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
∵ 反比例函数图象经过点$A(a-b,a)$，
∴ 将点$A$坐标代入解析式得：$k = x· y = (a-b)· a = a(a-b)$。
接下来验证各选项：
选项A：横纵坐标乘积为$b·(a-b)=ab-b^2≠ a(a-b)$，不符合要求；
选项B：横纵坐标乘积为$(b-a)· a=ab-a^2≠ a(a-b)$，不符合要求；
选项C：横纵坐标乘积为$a·(a-b)=a(a-b)=k$，符合要求；
选项D：横纵坐标乘积为$(a-b)· b=ab-b^2≠ a(a-b)$，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题的关键是抓住反比例函数中$k=xy$为定值的核心特征，无需计算参数的具体数值，通过验证坐标乘积即可快速得到答案，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.65

2[2026江苏扬州质检,中]函数$y=-\frac{1}{|x|}$的图象的大致形状是（）

当$x＞0$时，$y=-\frac{1}{x}$；当$x＜0$时，$y=\frac{1}{x}$。故取双曲线$y=-\frac{1}{x}$位于第四象限的一支与$y=\frac{1}{x}$位于第三象限的一支，即为$y=-\frac{1}{|x|}$的图象。故选D。

【分析】
要判断带绝对值的反比例函数的图象，首先可先分析函数值的符号：|x|恒为正，因此$y=-\frac{1}{|x|}$的函数值恒为负，图象只能在x轴下方，可先排除存在y＞0部分的选项；再根据绝对值的性质对x的正负分类讨论，去掉绝对值将函数转化为分段函数，分别分析每一段对应的反比例函数的图象所在象限，最终匹配正确选项即可。
【解析】
根据绝对值的性质分情况化简函数：
1. 当$x＞0$时，$|x|=x$，此时函数为$y=-\frac{1}{x}$，$x＞0$时$y＜0$，对应反比例函数$y=-\frac{1}{x}$位于第四象限的分支；
2. 当$x＜0$时，$|x|=-x$，此时函数为$y=-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}$，$x＜0$时$y＜0$，对应反比例函数$y=\frac{1}{x}$位于第三象限的分支。
因此该函数的图象是位于第三、第四象限的两支双曲线，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的化简；反比例函数的图象性质；分段函数图象判断
【点评】
本题考查含绝对值的反比例函数图象识别，解题核心是通过分类讨论去绝对值，将陌生函数转化为熟悉的反比例函数，结合函数值符号、图象所在象限等特征可以快速排除错误选项，同时要注意反比例函数自变量x不为0，图象与坐标轴没有交点。
【难度系数】
0.7

3 新考法[2026河北唐山期末,较难]有一道题目:“如图,点$A(m,m+1)$,$B(m+3,m-1)$在同一个反比例函数的图象上,线段$AB$和线段$A'B'$关于直线$l:y=-x+t$对称,点$A'$,$B'$分别是点$A$,$B$的对应点.若线段$A'B'$与坐标轴有交点,求整数$t$的值.”甲答:$t=4$,乙答:$t=5$或$6$.关于甲、乙的回答,下列说法正确的是 ()

A.只有甲答的对
B.只有乙答的对
C.两人答案合在一起才完整
D.两人答案合在一起也不完整

如图，作线段AB关于直线l的对称线段A'B'，设直线l交y轴于点P，交x轴于点Q。
∵ 点A和点B在同一个反比例函数图象上，
∴ $x_A·y_A=x_B·y_B$，即$m(m+1)=(m+3)(m-1)$，解得$m=3$，
∴ 点A坐标为$(3,4)$，点B坐标为$(6,2)$。过点A作直线$l_1⊥l$于点C，过点B作直线$l_2⊥l$于点D。结合点A的坐标可得直线$l_1:y=x+1$，结合点B的坐标可得直线$l_2:y=x-4$。联立$\begin{cases}y=x+1,\\y=-x+t,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{t-1}{2},\\y=\frac{t+1}{2},\end{cases}$
∴ 点C的坐标为$(\frac{t-1}{2},\frac{t+1}{2})$。联立$\begin{cases}y=x-4,\\y=-x+t,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{t+4}{2},\\y=\frac{t-4}{2},\end{cases}$
∴ 点D的坐标为$(\frac{t+4}{2},\frac{t-4}{2})$。根据轴对称的性质可知点C是线段AA'的中点，
∴ $x_C=\frac{x_A+x_{A'}}{2},y_C=\frac{y_A+y_{A'}}{2}$，则$x_{A'}=t-4,y_{A'}=t-3$，同理可得$x_{B'}=t-2,y_{B'}=t-6$。当线段A'B'与y轴有交点时，$x_{A'}≤0≤x_{B'}$，即$t-4≤0≤t-2$，解得$2≤t≤4$；当线段A'B'与x轴有交点时，$y_{B'}≤0≤y_{A'}$，即$t-6≤0≤t-3$，解得$3≤t≤6$，
∴ $2≤t≤6$，整数t的值可以取2,3,4,5,6。故选D。

【分析】
解题首先利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积为定值的性质列方程，求出m的值得到A、B两点坐标；再根据轴对称的性质，即对称轴是两点连线的垂直平分线，求出A、B关于直线l对称的点A'、B'的坐标；接下来分线段A'B'与y轴相交、与x轴相交两种情况列不等式，求出t的取值范围，找出范围内的整数t，最后对比甲、乙的答案判断选项即可。
【解析】
∵ 点$A(m,m+1)$，$B(m+3,m-1)$在同一个反比例函数图象上，
∴ $x_A·y_A=x_B·y_B$，即$m(m+1)=(m+3)(m-1)$，
展开得$m^2+m=m^2+2m-3$，解得$m=3$，
∴ 点A坐标为$(3,4)$，点B坐标为$(6,2)$。
直线$l:y=-x+t$的斜率为-1，故与l垂直的直线斜率为1。
过点A作$l_1⊥l$，代入A(3,4)得$l_1:y=x+1$；过点B作$l_2⊥l$，代入B(6,2)得$l_2:y=x-4$。
联立$\begin{cases}y=x+1\\y=-x+t\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{t-1}{2}\\y=\frac{t+1}{2}\end{cases}$，即AA'的中点C为$(\frac{t-1}{2},\frac{t+1}{2})$，根据中点坐标公式得$A'(t-4,t-3)$；
联立$\begin{cases}y=x-4\\y=-x+t\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{t+4}{2}\\y=\frac{t-4}{2}\end{cases}$，即BB'的中点D为$(\frac{t+4}{2},\frac{t-4}{2})$，同理得$B'(t-2,t-6)$。
①线段A'B'与y轴有交点时：$t-4≤0≤t-2$，解得$2≤t≤4$；
②线段A'B'与x轴有交点时：$t-6≤0≤t-3$，解得$3≤t≤6$。
综上t的取值范围是$2≤t≤6$，整数t的值为2、3、4、5、6，甲、乙的答案合在一起也不完整。
【答案】D

【知识点】
反比例函数的性质，轴对称的坐标特征，不等式组的应用
【点评】
本题综合考查反比例函数、轴对称、一次函数与不等式的知识，解题核心是正确推导对称点的坐标，再结合线段与坐标轴相交的条件列不等式求解，对逻辑推导和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

4[中]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,AB//x轴,双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点B,将△AOB绕点B逆时针旋转,使点O的对应点D恰好落在x轴正半轴上,AB的对应线段CB恰好经过点O,则k的值是.

(第4题图)
(第5题图)

∵ AB//x轴，
∴ ∠ABO=∠BOD。由旋转的性质可得，∠ABO=∠CBD，OB=BD，
∴ ∠BOD=∠OBD，
∴ BD=OD，
∴ BD=OB=OD，
∴ △BOD是等边三角形，
∴ ∠OBD=60°。过点B作BE⊥OD于点E，
∴ ∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴ BE=$2\sqrt{3}$，
∴ B$(2,2\sqrt{3})$。
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点B，
∴ $k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。故答案为$4\sqrt{3}$。

【分析】
解题时先梳理题干已知条件：首先由AB平行于x轴，可得到内错角∠ABO=∠BOD；再结合旋转的性质，旋转前后对应角相等、对应边相等，可推出∠BOD=∠OBD，OB=BD=OD，即△BOD为等边三角形；接下来利用等边三角形三线合一的性质，过点B作x轴的垂线，结合直角三角形的性质求出B点的横、纵坐标，最后将B点坐标代入反比例函数解析式，就能求出k的值。
【解析】
∵ AB//x轴，
∴ ∠ABO=∠BOD（两直线平行，内错角相等）。
由旋转的性质可得：∠ABO=∠CBD，OB=BD，
∴ ∠BOD=∠OBD，
∴ BD=OD，
∴ OB=BD=OD，即△BOD是等边三角形，
∴ ∠OBD=60°。
过点B作BE⊥OD于点E，根据等边三角形三线合一的性质，
得∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，
在Rt△OBE中，OB=4，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OB=2，
由勾股定理得BE=$\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ 点B的坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
∵ 双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点B，
∴ $k=xy=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是通过角的等量关系推导得出△BOD为等边三角形，进而得到点B的坐标，侧重考察学生的几何逻辑推导能力和坐标运算能力。
【难度系数】
0.6

5[中]如图,点A在双曲线$y=\frac{a}{x}(x＜0)$上,过点A作$AD ⊥ x$轴于点D,与双曲线$y=\frac{b}{x}(x＜0)$交于点B,点C是OA的中点,若$△ ABC$的面积为3,则$1-2a+2b$的值为.

连接OB。
∵ 点C是OA的中点，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}S_{△AOB}=3$，
∴ $S_{△AOB}=6$。
∵ A,B分别在双曲线$y=\frac{a}{x}(x＜0),y=\frac{b}{x}(x＜0)$上，AD⊥x轴，
∴ 设$A(m,\frac{a}{m}),B(m,\frac{b}{m})$，
∴ $OD=-m$，$AB=AD-BD=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}$。
∵ $S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB×OD=6$，
∴ $\frac{1}{2}(\frac{a}{m}-\frac{b}{m})×(-m)=6$，
∴ $-a+b=12$，
∴ $1-2a+2b=1+2(-a+b)=1+2×12=25$。故答案为25。

【分析】
解题时首先从已知条件“C是OA的中点，△ABC的面积为3”入手，连接OB，根据等底同高的三角形面积关系，可得△AOB的面积是△ABC面积的2倍，求出$S_{△AOB}=6$。接下来因为点A、B的横坐标相同，都等于D点的横坐标，可设出A、B的坐标，用坐标表示出线段AB的长度和OD的长度，再利用三角形面积公式建立关于a、b的等式，求出a、b的数量关系，最后将所求代数式变形，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
连接OB。
∵ 点C是OA的中点，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}S_{△AOB}=3$，
∴ $S_{△AOB}=6$。
∵ A,B分别在双曲线$y=\frac{a}{x}(x＜0),y=\frac{b}{x}(x＜0)$上，$AD⊥x$轴，
∴ 设$A(m,\frac{a}{m}),B(m,\frac{b}{m})$（其中$m＜0$），
∴ $OD=-m$，$AB=AD-BD=\frac{a}{m}-\frac{b}{m}$。
∵ $S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB×OD=6$，
∴ $\frac{1}{2}(\frac{a}{m}-\frac{b}{m})×(-m)=6$，
化简得$-a+b=12$，
∴ $1-2a+2b=1+2(-a+b)=1+2×12=25$。
【答案】
25
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，整体代入求值
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题核心是利用中点性质转化三角形面积，再结合反比例函数上点的坐标特征建立参数间的关系，最后通过整体代入的方法计算代数式的值，很好地考查了数形结合思想和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6

6 核心素养模型观念[2026江苏苏州质检,较难]阅读材料:双曲线$y=\frac{1}{x}$向右平移1个单位后的表达式是什么?针对这个问题,小媛同学给出了以下猜想及证明.
猜想:平移后的表达式为$y=\frac{1}{x-1}$.
证明:设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(a,\frac{1}{a})$,则平移后的坐标为$(a+1,\frac{1}{a})$.令$x=a+1$,$y=\frac{1}{a}$,则$a=x-1$,所以$y=\frac{1}{a}=\frac{1}{x-1}$.
(1)利用以上结论,写出双曲线$y=\frac{1}{x}$向左平移2个单位后的表达式:.
(2)仿照上述证明过程,请写出双曲线$y=\frac{1}{x}$向上平移3个单位后的表达式,并证明.
问题解决:
(3)请根据以上结论,直接填空.
双曲线$y=\frac{1}{x}$绕点$(0,0)$顺时针旋转$90°$后的表达式为;
双曲线$y=\frac{1}{x}$绕点$(1,0)$顺时针旋转$90°$后的表达式为.

(1)设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(a,\frac{1}{a})$。将点$(a,\frac{1}{a})$向左平移2个单位得到的点的坐标为$(a-2,\frac{1}{a})$。令$x=a-2,y=\frac{1}{a}$，则$a=x+2$，
∴ $y=\frac{1}{a}=\frac{1}{x+2}$，故答案为$y=\frac{1}{x+2}$。
(2)$y=\frac{1}{x}+3$。证明如下：
设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(b,\frac{1}{b})$。将点$(b,\frac{1}{b})$向上平移3个单位得到的点的坐标为$(b,\frac{1}{b}+3)$。令$x=b,y=\frac{1}{b}+3$，则$y=\frac{1}{x}+3$，
∴ 双曲线$y=\frac{1}{x}$向上平移3个单位后的表达式为$y=\frac{1}{x}+3$。
(3)设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(c,\frac{1}{c})$。将$(c,\frac{1}{c})$绕点$(0,0)$顺时针旋转90°得到点$(\frac{1}{c},-c)$。令$x=\frac{1}{c},y=-c$，则$y=-\frac{1}{x}$，
∴ 双曲线$y=\frac{1}{x}$绕点$(0,0)$顺时针旋转90°后的表达式为$y=-\frac{1}{x}$。将$(c,\frac{1}{c})$绕点$(1,0)$顺时针旋转90°得到点$(1+\frac{1}{c},-c+1)$。令$x=1+\frac{1}{c},y=-c+1$，则$c=\frac{1}{x-1}$，
∴ $y=-\frac{1}{x-1}+1=\frac{x-2}{x-1}$，
∴ 双曲线$y=\frac{1}{x}$绕点$(1,0)$顺时针旋转90°后的表达式为$y=\frac{x-2}{x-1}$。故答案为$y=-\frac{1}{x}$；$y=\frac{x-2}{x-1}$。

【分析】
本题考查反比例函数的平移、旋转变换，解题核心是抓住“函数图象的变换本质是图象上所有点的坐标变换”，通用解题步骤为：①设原函数图象上任意一点的坐标；②根据变换规则求出该点变换后的坐标；③令变换后的坐标为(x,y)，消去参数，推导得到y与x的函数关系，即为变换后的函数解析式。
(1) 向左平移时，点的横坐标减少平移距离，纵坐标不变，仿照材料给出的平移推导方法即可求解；
(2) 向上平移时，点的纵坐标增加平移距离，横坐标不变，仿照平移证明步骤推导即可；
(3) 点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律为：原坐标(a,b)变为(b,-a)；绕非原点的点旋转时，先将点转换为以旋转中心为原点的相对坐标，旋转后再转换为原坐标系的坐标，最后消参得到解析式。
【解析】
(1) 设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，将该点向左平移2个单位后得到的点坐标为$(a-2,\frac{1}{a})$。令$x=a-2$，$y=\frac{1}{a}$，则$a=x+2$，代入得$y=\frac{1}{a}=\frac{1}{x+2}$。
(2) 平移后的表达式为$y=\frac{1}{x}+3$，证明如下：
设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(b,\frac{1}{b})$，将该点向上平移3个单位后得到的点坐标为$(b,\frac{1}{b}+3)$。令$x=b$，$y=\frac{1}{b}+3$，代入得$y=\frac{1}{x}+3$，即双曲线向上平移3个单位后的表达式为$y=\frac{1}{x}+3$。
(3) ①设双曲线$y=\frac{1}{x}$上任意一点的坐标为$(c,\frac{1}{c})$，将该点绕$(0,0)$顺时针旋转90°后得到的点坐标为$(\frac{1}{c},-c)$。令$x=\frac{1}{c}$，$y=-c$，则$y=-\frac{1}{x}$，即旋转后的表达式为$y=-\frac{1}{x}$。
②将点$(c,\frac{1}{c})$绕点$(1,0)$顺时针旋转90°：先将点转换为以$(1,0)$为原点的相对坐标为$(c-1,\frac{1}{c})$，旋转90°后相对坐标为$(\frac{1}{c},-(c-1))$，再转换为原坐标系坐标为$(1+\frac{1}{c},-c+1)$。令$x=1+\frac{1}{c}$，$y=-c+1$，则$c=\frac{1}{x-1}$，代入得$y=-\frac{1}{x-1}+1=\frac{x-2}{x-1}$，即旋转后的表达式为$y=\frac{x-2}{x-1}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=\frac{1}{x+2}}$；(2)$\boldsymbol{y=\frac{1}{x}+3}$，证明见解析；(3)$\boldsymbol{y=-\frac{1}{x}}$；$\boldsymbol{y=\frac{x-2}{x-1}}$
【知识点】
反比例函数图象变换，点的坐标变换，函数解析式推导
【点评】
本题跳出了死记硬背函数变换口诀的固化思维，引导学生从“点变换”的本质理解函数变换规律，方法具有通用性，可迁移到所有函数的平移、旋转类问题，能有效锻炼逻辑推导能力和模型观念。
【难度系数】
0.4