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1[2026江苏徐州调研]如图
是三个反比例函数$y_1=\frac{-3}{x}$，$y_2=\frac{2}{x}$，$y_3=\frac{4}{x}$在x轴上方的图象，下列说法正确的是（
A.①是反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象
B.②是反比例函数$y_1=\frac{-3}{x}$的图象
C.③的函数值比②的函数值大
D.随着$|k|$的增大，$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象的位置相对于坐标原点越来越远
是三个反比例函数$y_1=\frac{-3}{x}$，$y_2=\frac{2}{x}$，$y_3=\frac{4}{x}$在x轴上方的图象，下列说法正确的是（D
）A.①是反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象
B.②是反比例函数$y_1=\frac{-3}{x}$的图象
C.③的函数值比②的函数值大
D.随着$|k|$的增大，$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象的位置相对于坐标原点越来越远
答案
∵ 在三个反比例函数$y_1=\frac{-3}{x},y_2=\frac{2}{x},y_3=\frac{4}{x}$中，4＞2＞0＞-3，
∴ 它们在x轴上方的图象中，①是反比例函数$y_1=\frac{-3}{x}$的图象，②是反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$的图象，③是反比例函数$y_3=\frac{4}{x}$的图象，故选项A和B均错误；由函数图象可知，当自变量x的值相同时，③的函数值比②的函数值大，故选项C错误；对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当自变量x的值相同时，随着|k|的增大，其函数值y的绝对值也增大，图象的位置相对于坐标原点越来越远，故选项D正确。故选D。
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：①k的符号决定图象所在象限：k＞0时图象在一、三象限，x＞0时y＞0；k＜0时图象在二、四象限，x＜0时y＞0。②k的绝对值大小决定图象离原点的远近：相同x值时，|k|越大，|y|越大，图象离原点越远。首先根据k的正负判断第二象限的图象①对应k为负的函数，第一象限的两个图象对应k为正的函数，再根据|k|的大小区分第一象限的两个函数对应哪个图象，最后逐个验证选项即可得出结论。
【解析】
已知三个反比例函数：$y_1=\frac{-3}{x}$（$k_1=-3＜0$），$y_2=\frac{2}{x}$（$k_2=2＞0$），$y_3=\frac{4}{x}$（$k_3=4＞0$）。
1. 判断各图象对应的函数：
k＜0的反比例函数y＞0的部分位于第二象限，因此图象①对应$y_1=\frac{-3}{x}$；
k＞0的反比例函数y＞0的部分位于第一象限，且x取值相同时，|k|越大y值越大，图象离原点越远，因此图象②对应$y_2=\frac{2}{x}$，图象③对应$y_3=\frac{4}{x}$。
2. 逐个分析选项：
A选项：①是$y_2=\frac{2}{x}$的图象，实际①对应$y_1$，A错误；
B选项：②是$y_1=\frac{-3}{x}$的图象，实际②对应$y_2$，B错误；
C选项：③的函数值比②的函数值大，只有x取相同正值时该结论才成立，缺少前提条件，C错误；
D选项：对于$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，x取相同值时，|k|越大则|y|越大，图象相对于原点越来越远，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数值比较，k与图象的关系
【点评】
本题围绕反比例函数中k对图象的影响设题，解题关键是先根据k的符号判断图象所在象限，再结合k的绝对值大小判断同象限内图象的位置，需注意比较函数值时必须保证自变量取值相同，属于反比例函数基础性质的考查，熟练掌握k的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：①k的符号决定图象所在象限：k＞0时图象在一、三象限，x＞0时y＞0；k＜0时图象在二、四象限，x＜0时y＞0。②k的绝对值大小决定图象离原点的远近：相同x值时，|k|越大，|y|越大，图象离原点越远。首先根据k的正负判断第二象限的图象①对应k为负的函数，第一象限的两个图象对应k为正的函数，再根据|k|的大小区分第一象限的两个函数对应哪个图象，最后逐个验证选项即可得出结论。
【解析】
已知三个反比例函数：$y_1=\frac{-3}{x}$（$k_1=-3＜0$），$y_2=\frac{2}{x}$（$k_2=2＞0$），$y_3=\frac{4}{x}$（$k_3=4＞0$）。
1. 判断各图象对应的函数：
k＜0的反比例函数y＞0的部分位于第二象限，因此图象①对应$y_1=\frac{-3}{x}$；
k＞0的反比例函数y＞0的部分位于第一象限，且x取值相同时，|k|越大y值越大，图象离原点越远，因此图象②对应$y_2=\frac{2}{x}$，图象③对应$y_3=\frac{4}{x}$。
2. 逐个分析选项：
A选项：①是$y_2=\frac{2}{x}$的图象，实际①对应$y_1$，A错误；
B选项：②是$y_1=\frac{-3}{x}$的图象，实际②对应$y_2$，B错误；
C选项：③的函数值比②的函数值大，只有x取相同正值时该结论才成立，缺少前提条件，C错误；
D选项：对于$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，x取相同值时，|k|越大则|y|越大，图象相对于原点越来越远，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数值比较，k与图象的关系
【点评】
本题围绕反比例函数中k对图象的影响设题，解题关键是先根据k的符号判断图象所在象限，再结合k的绝对值大小判断同象限内图象的位置，需注意比较函数值时必须保证自变量取值相同，属于反比例函数基础性质的考查，熟练掌握k的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
2[2026江苏连云港期末]在平面直角坐标系$xOy$中,若反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象位于第一、三象限,则$m$的取值范围是
m＞3
.答案
反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象位于第一、三象限，则比例系数$m-3＞0$，解得$m＞3$，故答案为$m＞3$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。本题已知函数图象在第一、三象限，因此只需让比例系数$m-3$大于0，解这个一元一次不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），若图象位于第一、三象限，则比例系数$k＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m-3}{x}$，对应比例系数$k=m-3$，结合题意可得：
$m-3＞0$
解不等式得：$m＞3$
【答案】
$m＞3$
【知识点】
反比例函数图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出结果，计算难度低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。本题已知函数图象在第一、三象限，因此只需让比例系数$m-3$大于0，解这个一元一次不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），若图象位于第一、三象限，则比例系数$k＞0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m-3}{x}$，对应比例系数$k=m-3$，结合题意可得：
$m-3＞0$
解不等式得：$m＞3$
【答案】
$m＞3$
【知识点】
反比例函数图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出结果，计算难度低。
【难度系数】
0.9
3[2026湖南株洲期末]已知反比例函数$y=\frac{3+a}{x}$，当$x=3$时，$y=-2$。
(1)求$a$的值；
(2)在图中画出该函数的图象。
(1)求$a$的值；
(2)在图中画出该函数的图象。
答案
(1)把$x=3,y=-2$代入$y=\frac{3+a}{x}$，得$-2=\frac{3+a}{3}$，解得$a=-9$。
(2)由(1)知反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$，
∴ 当$x=-6,-3,-2,2,3,6$时，$y=1,2,3,-3,-2,-1$，描点，连线，可得该函数图象如图所示。
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知的x=3、y=-2代入反比例函数解析式，就能得到关于a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
(2) 先把求得的a代入原解析式，得到具体的反比例函数表达式；反比例函数的图象是双曲线，绘制时先选取几组正负对称的x值，计算对应的y值，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑的曲线顺次连接各点即可，注意图象的两个分支分别在第二、四象限，且不会与坐标轴相交。
【解析】
(1) 把$x=3$，$y=-2$代入$y=\frac{3+a}{x}$，得：
$-2=\frac{3+a}{3}$
方程两边同时乘3，得$-6=3+a$，
解得$a=-9$。
(2) 将$a=-9$代入原解析式，可得该反比例函数的表达式为：
$y=\frac{3-9}{x}=-\frac{6}{x}$
选取对应值：当$x=-6$时$y=1$，$x=-3$时$y=2$，$x=-2$时$y=3$，$x=2$时$y=-3$，$x=3$时$y=-2$，$x=6$时$y=-1$；在平面直角坐标系中描出上述点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数图象。
【答案】
(1)$a=-9$；
(2)图象如图所示
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数图象；一元一次方程解法
【点评】
本题属于反比例函数基础题，考查参数求解和图象绘制的基本方法，解题时要注意描点尽量选取对称的整数值，连线需用平滑曲线，不要画为折线。
【难度系数】
0.85
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知的x=3、y=-2代入反比例函数解析式，就能得到关于a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
(2) 先把求得的a代入原解析式，得到具体的反比例函数表达式；反比例函数的图象是双曲线，绘制时先选取几组正负对称的x值，计算对应的y值，再在坐标系中描出对应点，最后用平滑的曲线顺次连接各点即可，注意图象的两个分支分别在第二、四象限，且不会与坐标轴相交。
【解析】
(1) 把$x=3$，$y=-2$代入$y=\frac{3+a}{x}$，得：
$-2=\frac{3+a}{3}$
方程两边同时乘3，得$-6=3+a$，
解得$a=-9$。
(2) 将$a=-9$代入原解析式，可得该反比例函数的表达式为：
$y=\frac{3-9}{x}=-\frac{6}{x}$
选取对应值：当$x=-6$时$y=1$，$x=-3$时$y=2$，$x=-2$时$y=3$，$x=2$时$y=-3$，$x=3$时$y=-2$，$x=6$时$y=-1$；在平面直角坐标系中描出上述点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数图象。
【答案】
(1)$a=-9$；
(2)图象如图所示
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数图象；一元一次方程解法
【点评】
本题属于反比例函数基础题，考查参数求解和图象绘制的基本方法，解题时要注意描点尽量选取对称的整数值，连线需用平滑曲线，不要画为折线。
【难度系数】
0.85
4[2026江苏泰州调研]已知$A(3,8),B(4,6),C(5,4)$三点，函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过A,B,C三点中的两个点，则$k=$（
A.12
B.24
C.20
D.-24
B
）A.12
B.24
C.20
D.-24
答案
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其图象上任意一点$(x,y)$都满足$k=xy$。计算A,B,C三点的横、纵坐标之积，点A$(3,8)$：$3×8=24$；点B$(4,6)$：$4×6=24$；点C$(5,4)$：$5×4=20$。因为函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过A,B,C三点中的两个点，且A,B两点的横、纵坐标之积相等，所以这两个点是A和B，$k=24$。故选B。
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆反比例函数的基本性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于常数$k$。题目说明函数图象经过三个点中的两个，说明这两个点的横、纵坐标乘积相等，都等于$k$。因此我们只需要分别计算三个点的横纵坐标乘积，找到乘积相等的两个点，对应乘积就是$k$的值。
【解析】
根据反比例函数的性质，若点$(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，则$k=xy$。
分别计算A、B、C三点的横纵坐标乘积：
点$A(3,8)$：$3×8=24$；
点$B(4,6)$：$4×6=24$；
点$C(5,4)$：$5×4=20$。
因为函数图象经过三个点中的两个，只有A、B两点的横纵坐标乘积相等，所以函数经过A、B两点，因此$k=24$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解题核心是掌握“反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积为定值$k$”这一性质，通过计算比对即可快速得到答案，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆反比例函数的基本性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于常数$k$。题目说明函数图象经过三个点中的两个，说明这两个点的横、纵坐标乘积相等，都等于$k$。因此我们只需要分别计算三个点的横纵坐标乘积，找到乘积相等的两个点，对应乘积就是$k$的值。
【解析】
根据反比例函数的性质，若点$(x,y)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，则$k=xy$。
分别计算A、B、C三点的横纵坐标乘积：
点$A(3,8)$：$3×8=24$；
点$B(4,6)$：$4×6=24$；
点$C(5,4)$：$5×4=20$。
因为函数图象经过三个点中的两个，只有A、B两点的横纵坐标乘积相等，所以函数经过A、B两点，因此$k=24$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解题核心是掌握“反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积为定值$k$”这一性质，通过计算比对即可快速得到答案，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
5 已知$P,Q$两点分别在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$和$y=\frac{m-3}{x}(m≠0且m≠3)$的图象上,若点$P$与点$Q$关于$y$轴对称,则$m$的值为
1
.答案
设$P(a,b)$。
∵ 点P与点Q关于y轴对称，
∴ 点Q$(-a,b)$。
∵ P,Q两点分别在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$和$y=\frac{m-3}{x}(m≠0且m≠3)$的图象上，
∴ $\begin{cases}2m=ab,\\m-3=-ab,\end{cases}$
∴ $2m=3-m$，解得$m=1$。故答案为1。
∵ 点P与点Q关于y轴对称，
∴ 点Q$(-a,b)$。
∵ P,Q两点分别在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$和$y=\frac{m-3}{x}(m≠0且m≠3)$的图象上，
∴ $\begin{cases}2m=ab,\\m-3=-ab,\end{cases}$
∴ $2m=3-m$，解得$m=1$。故答案为1。
解析
【分析】
解题时先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相等。我们可以先设出点P的坐标，根据对称关系得到点Q的坐标，再将两点坐标分别代入对应的反比例函数解析式，得到两个含有参数a、b和m的等式，观察两个等式中ab的关系，消去参数a、b即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，
∵ 点P与点Q关于y轴对称，
∴ 点Q的坐标为$(-a,b)$，
∵ P在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$的图象上，Q在反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象上，
∴ 将两点坐标分别代入对应解析式可得：
$\begin{cases} b=\dfrac{2m}{a} \\ b=\dfrac{m-3}{-a} \end{cases}$，
整理得$\begin{cases} ab=2m \\ -ab=m-3 \end{cases}$，
将$ab=2m$代入第二个式子，可得：$-2m = m - 3$，
移项合并同类项得：$3m=3$，
解得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将轴对称的坐标性质和反比例函数的性质相结合，解题的核心是利用点在函数图象上则坐标满足函数解析式的规律建立等式，通过整体消元的方法求解参数，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相等。我们可以先设出点P的坐标，根据对称关系得到点Q的坐标，再将两点坐标分别代入对应的反比例函数解析式，得到两个含有参数a、b和m的等式，观察两个等式中ab的关系，消去参数a、b即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
设点P的坐标为$(a,b)$，
∵ 点P与点Q关于y轴对称，
∴ 点Q的坐标为$(-a,b)$，
∵ P在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$的图象上，Q在反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象上，
∴ 将两点坐标分别代入对应解析式可得：
$\begin{cases} b=\dfrac{2m}{a} \\ b=\dfrac{m-3}{-a} \end{cases}$，
整理得$\begin{cases} ab=2m \\ -ab=m-3 \end{cases}$，
将$ab=2m$代入第二个式子，可得：$-2m = m - 3$，
移项合并同类项得：$3m=3$，
解得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础综合题，将轴对称的坐标性质和反比例函数的性质相结合，解题的核心是利用点在函数图象上则坐标满足函数解析式的规律建立等式，通过整体消元的方法求解参数，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
6 对于反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象的对称性叙述错误的是 (
A.关于原点中心对称
B.关于直线 $y=x$ 对称
C.关于直线 $y=-x$ 对称
D.关于 $x$ 轴对称
D
)A.关于原点中心对称
B.关于直线 $y=x$ 对称
C.关于直线 $y=-x$ 对称
D.关于 $x$ 轴对称
答案
反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称、关于直线$y=x$对称、关于直线$y=-x$对称。
∵ $k=6＞0$，
∴ 它的图象在第一、三象限，
∴ 不关于x轴对称，故A、B、C选项说法正确，D选项说法错误，故选D。
∵ $k=6＞0$，
∴ 它的图象在第一、三象限，
∴ 不关于x轴对称，故A、B、C选项说法正确，D选项说法错误，故选D。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数图象的对称性相关性质，可通过两个思路判断选项：一是直接用反比例函数的固有对称性质逐一核对；二是利用对称点的坐标特征验证：若函数图象关于某点或某直线对称，则图象上任意一点的对称点也在该函数图象上，代入解析式即可验证。也可结合函数图象所在的象限辅助判断对称性是否成立，最终选出叙述错误的选项。
【解析】
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象是双曲线，固有性质为：关于原点成中心对称，关于直线$y=x$、直线$y=-x$成轴对称，因此A、B、C选项的叙述均正确。
对于D选项：$\because$ 该反比例函数$k=6＞0$，$\therefore$ 它的图象位于第一、三象限。若图象关于$x$轴对称，则图象上任意一点$(x,y)$的对称点$(x,-y)$也应在图象上，代入得$x· (-y)=-xy=-6≠ 6$，不满足函数解析式，且第一象限的点关于$x$轴对称的点在第四象限，该函数图象不在第四象限，因此图象不关于$x$轴对称，D选项叙述错误。
本题要求选择叙述错误的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；中心对称；轴对称
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考查反比例函数的基本对称性，牢记反比例函数的对称中心和两条对称轴的特征，结合图象所在象限即可快速判断，解题时需注意审题，明确题目要求选出错误的选项，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数图象的对称性相关性质，可通过两个思路判断选项：一是直接用反比例函数的固有对称性质逐一核对；二是利用对称点的坐标特征验证：若函数图象关于某点或某直线对称，则图象上任意一点的对称点也在该函数图象上，代入解析式即可验证。也可结合函数图象所在的象限辅助判断对称性是否成立，最终选出叙述错误的选项。
【解析】
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象是双曲线，固有性质为：关于原点成中心对称，关于直线$y=x$、直线$y=-x$成轴对称，因此A、B、C选项的叙述均正确。
对于D选项：$\because$ 该反比例函数$k=6＞0$，$\therefore$ 它的图象位于第一、三象限。若图象关于$x$轴对称，则图象上任意一点$(x,y)$的对称点$(x,-y)$也应在图象上，代入得$x· (-y)=-xy=-6≠ 6$，不满足函数解析式，且第一象限的点关于$x$轴对称的点在第四象限，该函数图象不在第四象限，因此图象不关于$x$轴对称，D选项叙述错误。
本题要求选择叙述错误的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；中心对称；轴对称
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考查反比例函数的基本对称性，牢记反比例函数的对称中心和两条对称轴的特征，结合图象所在象限即可快速判断，解题时需注意审题，明确题目要求选出错误的选项，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.8
7 如图，圆O的半径为3，双曲线的表达式分别为$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$，则阴影部分的面积为
$\frac{9}{2}π$
。答案
双曲线$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于x轴对称，圆O关于x轴对称，根据对称性，把第三象限和第四象限的阴影部分与第一象限和第二象限的阴影部分拼合，可以得到阴影部分就是一个半圆，并且半径为3，所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9}{2}π$。故答案为$\frac{9}{2}π$。
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积时，首先观察图形的对称性特征：两个反比例函数图象和圆都具备对称性，可通过割补法将分散的阴影拼接为规则图形简化计算。先回忆反比例函数的性质，$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$关于x轴、y轴对称，圆也关于x轴、y轴对称，因此可以将第三、四象限的阴影部分平移到第一、二象限的对应空白处，最终阴影可拼接为规则的半圆，直接计算半圆面积即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$的图象关于x轴对称，圆O也关于x轴对称，
∴根据图形的对称性，可将第三、四象限的阴影部分割补到第一、二象限的对应空白区域，最终阴影部分可拼接为一个半径为3的半圆。
根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$，将$r=3$代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9}{2}π$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
反比例函数的对称性，圆的对称性，割补法求面积
【点评】
本题结合反比例函数和圆的对称性考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用对称性将分散的阴影拼接为规则图形，避免复杂的面积运算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分的面积时，首先观察图形的对称性特征：两个反比例函数图象和圆都具备对称性，可通过割补法将分散的阴影拼接为规则图形简化计算。先回忆反比例函数的性质，$y=\frac{1}{x}$和$y=-\frac{1}{x}$关于x轴、y轴对称，圆也关于x轴、y轴对称，因此可以将第三、四象限的阴影部分平移到第一、二象限的对应空白处，最终阴影可拼接为规则的半圆，直接计算半圆面积即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$的图象关于x轴对称，圆O也关于x轴对称，
∴根据图形的对称性，可将第三、四象限的阴影部分割补到第一、二象限的对应空白区域，最终阴影部分可拼接为一个半径为3的半圆。
根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$，将$r=3$代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9}{2}π$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
反比例函数的对称性，圆的对称性，割补法求面积
【点评】
本题结合反比例函数和圆的对称性考查不规则图形面积的计算，解题核心是利用对称性将分散的阴影拼接为规则图形，避免复杂的面积运算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
8 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,双曲线$y=\frac{k}{x}$($k≠0$)经过点$A(1,2)$,$B(2,m)$.直线$AO$,$BO$分别交该双曲线的另一支于点$C$,$D$,顺次连接$AB$,$BC$,$CD$,$DA$.求证:四边形$ABCD$是矩形.
答案
将$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，得$k=2$，
∴ $y=\frac{2}{x}$。将$B(2,m)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
∵ $OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴ $OA=OB$。由双曲线的对称性可得，$OA=OC$，$OB=OD$，则$OA=OB=OC=OD$，
∴ 四边形ABCD是矩形。
∴ $y=\frac{2}{x}$。将$B(2,m)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
∵ $OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴ $OA=OB$。由双曲线的对称性可得，$OA=OC$，$OB=OD$，则$OA=OB=OC=OD$，
∴ 四边形ABCD是矩形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是矩形，可依据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的判定思路推导：首先利用点A在双曲线上求出反比例函数解析式，进而得到点B的坐标；再通过勾股定理计算OA、OB的长度，证明OA=OB；最后结合反比例函数关于原点中心对称的性质，得到对角线AC、BD互相平分且相等，即可完成证明。
【解析】
将$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，得$k=1×2=2$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。将$B(2,m)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴ $OA=OB$。
由双曲线关于原点中心对称的性质可得，点C与点A关于原点对称，点D与点B关于原点对称，因此$OA=OC$，$OB=OD$，则$OA=OB=OC=OD$，即四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分且相等，
∴ 四边形ABCD是矩形。
【答案】
四边形ABCD是矩形
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将反比例函数的图象性质与几何图形判定结合，解题核心是熟练运用反比例函数的中心对称性，结合矩形的判定定理快速推导，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ABCD是矩形，可依据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的判定思路推导：首先利用点A在双曲线上求出反比例函数解析式，进而得到点B的坐标；再通过勾股定理计算OA、OB的长度，证明OA=OB；最后结合反比例函数关于原点中心对称的性质，得到对角线AC、BD互相平分且相等，即可完成证明。
【解析】
将$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，得$k=1×2=2$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。将$B(2,m)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$m=\frac{2}{2}=1$，即$B(2,1)$。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴ $OA=OB$。
由双曲线关于原点中心对称的性质可得，点C与点A关于原点对称，点D与点B关于原点对称，因此$OA=OC$，$OB=OD$，则$OA=OB=OC=OD$，即四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分且相等，
∴ 四边形ABCD是矩形。
【答案】
四边形ABCD是矩形
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将反比例函数的图象性质与几何图形判定结合，解题核心是熟练运用反比例函数的中心对称性，结合矩形的判定定理快速推导，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
