1.「2026湖南益阳期中」生物学中,描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代,我们就用数学模型$2^n$来表示,即:$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,······$,请你推算$2^1+2^2+2^3+2^4+···+2^{2026}$的个位数字是 ()

A.8
B.6
C.4
D.2

因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,……$,
所以$2^n$的个位数字按2,4,8,6每4个循环一次,且每组个位数字和为2+4+8+6=20,20的个位数字为0,
因为2 026÷4=506……2,
所以$2^1+2^2+2^3+2^4+…+2^{2 026}$的个位数字是2+4=6.
故选B.

2. 学科特色 教材变式 「2026山西太原期中」请用“归纳”策略解答问题：
如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开.剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……，依此规律剪10刀，绳子变为段.

答案 41
解析 由题意得,每多剪一次,绳子的段数增加4,所以当剪开次数为n时,绳子段数为5+4(n-1)=4n+1,当n=10时,4n+1=4×10+1=41,故答案为41.

3.「2026河南郑州中牟期中」如图，我们把火柴棒按从上到下增加三角形的方式，拼成具有不同层数的三角形图，则第10个图形中所含的火柴棒根数是。

答案 165
解析 第1个图形中所含火柴棒的根数为3=3×1;
第2个图形中所含火柴棒的根数为9=3×(1+2);
第3个图形中所含火柴棒的根数为18=3×(1+2+3);
……
所以第n个图形中所含火柴棒的根数为3×(1+2+3+…+n)=$\frac{3n(n+1)}{2}$.
当n=10时,$\frac{3n(n+1)}{2}=\frac{3×10×11}{2}=165$,
故答案为165.

4. 学科特色 教材变式「2026山东济南历下期中」在三角形的内部取n个点,连同三角形的3个顶点,逐步连接这些点,保证所有的连线不再产生新的点,直到三角形内部所有区域都变成三角形.那么最多可以得到多少个三角形(不计被分割的三角形)?
如图,为了解决这个问题,我们可以从$n=1,n=2,n=3$等具体简单的情形入手,探索最多可得到三角形个数的变化规律:

统计几种简单的情况如表:

(1)$m=$,当在三角形的内部取4个点时,最多可以得到个三角形.
(2)观察和比较下面的式子:
$3=1×2+1,5=2×2+1,7=3×2+1,$
则下一个式子为.
分析可知:三角形内的点每增加1个,最多可得到的三角形增加个.
归纳可知:当三角形内点的个数为$n$时,最多可以得到个三角形.
(3)请你尝试用上面的方法探索:在十边形的内部取$n$个点,连同十边形的10个顶点,逐步连接这些点,保证所有的连线不再产生新的点,直到十边形内部所有区域都变成三角形.那么最多可以得到多少个三角形(不计被分割的三角形)?

(1)7;9.
(2)9=4×2+1;2;(2n+1).
(3)当n=1时,如图所示:
此时最多三角形的个数为10=1×2+8;
当n=2时,如图所示:
此时最多三角形的个数为12=2×2+8;
当n=3时,如图所示:
此时最多三角形的个数为14=3×2+8;
……
依次类推,十边形内点的个数为n时,最多三角形的个数为2n+8,即最多可以得到(2n+8)个三角形.