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1 △ABC 的三边 AB、BC、CA 的长分别是 10、15、20。其三条角平分线交于点 O，将△ABC 分为三个三角形，$S_{△ ABO}: S_{△ BCO}: S_{△ CAO}$等于(
A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
C
)。A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
答案
1.C
解析
【分析】
首先，题目给出三角形三条角平分线的交点O，要计算三个小三角形的面积比。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离相等，即三个小三角形分别以AB、BC、CA为底时，高是相等的。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需要计算三边长度的比再化简即可得到结果。
【解析】
过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得：OD=OE=OF。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，因此：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×OD$，$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×OE$，$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×OF$
∵OD=OE=OF，
∴$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=AB:BC:CA=10:15:20=2:3:4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、比的化简
【点评】
本题考查角平分线性质的实际应用，解题核心是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底边的长度比，属于几何基础应用题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出三角形三条角平分线的交点O，要计算三个小三角形的面积比。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离相等，即三个小三角形分别以AB、BC、CA为底时，高是相等的。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需要计算三边长度的比再化简即可得到结果。
【解析】
过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得：OD=OE=OF。
三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，因此：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×OD$，$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×OE$，$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×OF$
∵OD=OE=OF，
∴$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=AB:BC:CA=10:15:20=2:3:4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、比的化简
【点评】
本题考查角平分线性质的实际应用，解题核心是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底边的长度比，属于几何基础应用题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③AD＝AB＋CD；④DE＝BE。其中成立的是（
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③
B
）。A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找突破口：出现角平分线和垂直，可利用角平分线的性质作辅助线，过E作EF⊥AD于F，再结合E是BC中点的条件，通过证明三角形全等，逐一验证4个结论是否成立：
1. 先由角平分线性质得BE=EF，结合E是中点推出EF=CE，进而得到DE平分∠CDE，可判断②；
2. 由AB、CD均垂直BC得AB//CD，结合两个角平分线推导∠AED的度数，可判断①；
3. 通过证明两组直角三角形全等，得到AB=AF、CD=DF，可判断③；
4. 结合直角三角形斜边大于直角边的性质可判断④。
【解析】
解：过点E作EF⊥AD于F。
1. 验证①②：
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得$BE=EF$。
∵E是BC中点，
∴$BE=CE$，即$EF=CE$。
又
∵DC⊥BC，EF⊥AD，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，得DE平分∠CDE，即$∠ADE=∠CDE$，故②正确。
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴$AB// CD$，则$∠BAD+∠ADC=180°$。
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ EDA=\frac{1}{2}∠ ADC$，
∴$∠ EAD+∠ EDA=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ADC)=90°$，
∴$∠ AED=180°-(∠ EAD+∠ EDA)=90°$，故①正确。
2. 验证③：
在$Rt△ ABE$和$Rt△ AFE$中：
$\begin{cases}AE=AE \\ BE=EF \end{cases}$
∴$Rt△ ABE≌ Rt△ AFE(HL)$，得$AB=AF$。
同理可证$Rt△ DCE≌ Rt△ DFE(HL)$，得$CD=DF$。
∴$AD=AF+DF=AB+CD$，故③正确。
3. 验证④：
在$Rt△ DCE$中，DE是斜边，CE是直角边，故$DE＞CE$。
∵$BE=CE$，
∴$DE＞BE$，故④错误。
综上，①②③成立，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查角平分线相关性质与全等三角形的应用，作辅助线构造垂直是解决角平分线类问题的常用技巧，需要熟练掌握相关定理逐一推导结论，注意区分直角三角形全等的特殊判定方法HL的适用场景。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找突破口：出现角平分线和垂直，可利用角平分线的性质作辅助线，过E作EF⊥AD于F，再结合E是BC中点的条件，通过证明三角形全等，逐一验证4个结论是否成立：
1. 先由角平分线性质得BE=EF，结合E是中点推出EF=CE，进而得到DE平分∠CDE，可判断②；
2. 由AB、CD均垂直BC得AB//CD，结合两个角平分线推导∠AED的度数，可判断①；
3. 通过证明两组直角三角形全等，得到AB=AF、CD=DF，可判断③；
4. 结合直角三角形斜边大于直角边的性质可判断④。
【解析】
解：过点E作EF⊥AD于F。
1. 验证①②：
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得$BE=EF$。
∵E是BC中点，
∴$BE=CE$，即$EF=CE$。
又
∵DC⊥BC，EF⊥AD，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，得DE平分∠CDE，即$∠ADE=∠CDE$，故②正确。
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴$AB// CD$，则$∠BAD+∠ADC=180°$。
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ EDA=\frac{1}{2}∠ ADC$，
∴$∠ EAD+∠ EDA=\frac{1}{2}(∠ BAD+∠ ADC)=90°$，
∴$∠ AED=180°-(∠ EAD+∠ EDA)=90°$，故①正确。
2. 验证③：
在$Rt△ ABE$和$Rt△ AFE$中：
$\begin{cases}AE=AE \\ BE=EF \end{cases}$
∴$Rt△ ABE≌ Rt△ AFE(HL)$，得$AB=AF$。
同理可证$Rt△ DCE≌ Rt△ DFE(HL)$，得$CD=DF$。
∴$AD=AF+DF=AB+CD$，故③正确。
3. 验证④：
在$Rt△ DCE$中，DE是斜边，CE是直角边，故$DE＞CE$。
∵$BE=CE$，
∴$DE＞BE$，故④错误。
综上，①②③成立，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查角平分线相关性质与全等三角形的应用，作辅助线构造垂直是解决角平分线类问题的常用技巧，需要熟练掌握相关定理逐一推导结论，注意区分直角三角形全等的特殊判定方法HL的适用场景。
【难度系数】
0.7
3 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD是$∠ BAC$的平分线。若$AC=4$,$AB=6$,则$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\ )$。
A.$3:2$
B.$2:3$
C.$1:1$
D.$4:3$
A.$3:2$
B.$2:3$
C.$1:1$
D.$4:3$
答案
3.A
解析
【分析】
要计算两个三角形的面积比，我们可以结合角平分线的性质和三角形面积公式来推导：首先回忆角平分线的性质——角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离和点D到AC的距离相等。再看两个三角形的面积表达式，当高相等时，面积比就等于对应底边长的比，代入已知边长即可求出比值。
【解析】
解：过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC ⊥ AC$），
∴根据角平分线的性质可得：$DE=DC$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DC$，
∵$DE=DC$，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC$。
代入$AB=6$，$AC=4$，可得比值为$6:4=3:2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应边长的比，无需计算多余线段长度，简化了解题过程，解题时注意不要混淆两个三角形对应的底边长。
【难度系数】
0.7
要计算两个三角形的面积比，我们可以结合角平分线的性质和三角形面积公式来推导：首先回忆角平分线的性质——角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离和点D到AC的距离相等。再看两个三角形的面积表达式，当高相等时，面积比就等于对应底边长的比，代入已知边长即可求出比值。
【解析】
解：过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC ⊥ AC$），
∴根据角平分线的性质可得：$DE=DC$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DC$，
∵$DE=DC$，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC$。
代入$AB=6$，$AC=4$，可得比值为$6:4=3:2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应边长的比，无需计算多余线段长度，简化了解题过程，解题时注意不要混淆两个三角形对应的底边长。
【难度系数】
0.7
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线$AE$、$BF$相交于点$O$,过点$O$作$OD ⊥ BC$于点$D$。若$OD=a$,$AB+BC+CA=2b$,则$S_{△ ABC}=$
$ab$
。答案
4.$ab$
解析
【分析】
首先，题中给出O是∠BAC和∠ABC的角平分线交点，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出O到△ABC三边的距离均等于OD=a。接下来求△ABC的面积时，可采用分割法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，分别计算三个小三角形的面积后求和即可得到结果。
【解析】
过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H。
∵ AE是∠BAC的平分线，O在AE上，
∴ OH=OG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BF是∠ABC的平分线，O在BF上，
∴ OG=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ OG=OH=OD=a。
则△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}× AB× OG+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OH\\&=\frac{1}{2}× a×(AB+BC+AC)\end{aligned}$
已知AB+BC+CA=2b，代入上式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× a×2b=ab$
【答案】
ab
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，分割法求面积
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到三角形角平分线交点到三边的距离相等，再通过分割法转化面积求解，整体解题思路清晰，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
首先，题中给出O是∠BAC和∠ABC的角平分线交点，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出O到△ABC三边的距离均等于OD=a。接下来求△ABC的面积时，可采用分割法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，分别计算三个小三角形的面积后求和即可得到结果。
【解析】
过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H。
∵ AE是∠BAC的平分线，O在AE上，
∴ OH=OG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BF是∠ABC的平分线，O在BF上，
∴ OG=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ OG=OH=OD=a。
则△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}× AB× OG+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OH\\&=\frac{1}{2}× a×(AB+BC+AC)\end{aligned}$
已知AB+BC+CA=2b，代入上式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× a×2b=ab$
【答案】
ab
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，分割法求面积
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到三角形角平分线交点到三边的距离相等，再通过分割法转化面积求解，整体解题思路清晰，侧重对基础性质的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
5 如图，D是∠MAN的平分线上一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，连接AD。若AB=7，BE=2，则
（1）线段AF的长为
（2）在射线AN上取一点C，使得DC=DB，则AC的长为
（1）线段AF的长为
9
；（2）在射线AN上取一点C，使得DC=DB，则AC的长为
7或11
。答案
5.(1) 9 (2) 7或11
解析
【分析】
（1）已知AD是∠MAN的角平分线，DE⊥AM、DF⊥AN，根据角平分线的性质可得DE=DF，结合公共边AD可证Rt△ADF和Rt△ADE全等，得到AF=AE，先计算AE的长度即可求出AF；
（2）已知DC=DB，结合DE=DF可证Rt△DFC和Rt△DEB全等，得到CF=BE=2，需分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AF上，②点C在AF的延长线上，分别计算AC的长度即可。
【解析】
（1）
∵AD平分∠MAN，DE⊥AM，DF⊥AN，
∴DE=DF，∠DFA=∠DEA=90°，
在Rt△ADF和Rt△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
又
∵AE=AB+BE=7+2=9，
∴AF=9。
（2）在Rt△DFC和Rt△DEB中：
$\{\begin{array}{l}DC=DB\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴CF=BE=2，
分两种情况讨论：
①当点C在线段AF上时，$AC=AF-CF=9-2=7$；
②当点C在AF的延长线（靠近N一侧）上时，$AC=AF+CF=9+2=11$。
综上，AC的长为7或11。
【答案】
（1）$\boxed{9}$；（2）$\boxed{7}$或$\boxed{11}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论
【点评】
本题重点考查角平分线性质和直角三角形全等的判定，解题时要注意第二问中点C的位置不唯一，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）已知AD是∠MAN的角平分线，DE⊥AM、DF⊥AN，根据角平分线的性质可得DE=DF，结合公共边AD可证Rt△ADF和Rt△ADE全等，得到AF=AE，先计算AE的长度即可求出AF；
（2）已知DC=DB，结合DE=DF可证Rt△DFC和Rt△DEB全等，得到CF=BE=2，需分两种情况讨论点C的位置：①点C在线段AF上，②点C在AF的延长线上，分别计算AC的长度即可。
【解析】
（1）
∵AD平分∠MAN，DE⊥AM，DF⊥AN，
∴DE=DF，∠DFA=∠DEA=90°，
在Rt△ADF和Rt△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
又
∵AE=AB+BE=7+2=9，
∴AF=9。
（2）在Rt△DFC和Rt△DEB中：
$\{\begin{array}{l}DC=DB\\ DF=DE\end{array} $
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴CF=BE=2，
分两种情况讨论：
①当点C在线段AF上时，$AC=AF-CF=9-2=7$；
②当点C在AF的延长线（靠近N一侧）上时，$AC=AF+CF=9+2=11$。
综上，AC的长为7或11。
【答案】
（1）$\boxed{9}$；（2）$\boxed{7}$或$\boxed{11}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论
【点评】
本题重点考查角平分线性质和直角三角形全等的判定，解题时要注意第二问中点C的位置不唯一，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
