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13 如图,在△ABC中,点F在射线BA上,点D在边BC的延长线上,∠ACB=106°,连接AD,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为点H,连接CE,且∠CEH=53°。
(1) 求∠ACE的度数；
(2) 求证:AE平分∠CAF；
(3) 若AC+CD=16,AB=10,且$S_{△ ACD}=24$,直接写出△ABE的面积。
(1) 求∠ACE的度数；
(2) 求证:AE平分∠CAF；
(3) 若AC+CD=16,AB=10,且$S_{△ ACD}=24$,直接写出△ABE的面积。
答案
(1) 因为 $∠ACB=106°$,所以 $∠ACD=180°-∠ACB=74°$。因为 $EH ⊥ BD$,$∠CEH=53°$,所以 $∠DCE=90°-∠CEH=37°$,所以 $∠ACE=∠ACD-∠DCE=37°$。
(2) 证明:过点 $E$ 作 $EM ⊥ BF$ 于点 $M$,$EN ⊥ AC$ 于点 $N$。因为 $BE$ 平分 $∠ABC$,$EM ⊥ BF$,$EH ⊥ BD$,所以 $EM=EH$。由(1)可知,$∠ACE=∠DCE=37°$,所以 $CE$ 平分 $∠ACD$。因为 $EN ⊥ AC$,$EH ⊥ CD$,所以 $EN=EH$,所以 $EM=EN$。又因为点 $E$ 在$∠CAF$ 的内部,所以 $AE$ 平分$∠CAF$。
(3) 由(2)已得: $EM=EH=EN$,设 $EM=EH=EN=x$,因为 $S_{△ ACD}=24$,所以 $S_{△ ACE}+S_{△ DCE}=24$,所以 $\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=24$,即 $\frac{1}{2}x(AC+CD)=24$。因为 $AC+CD=16$,所以 $x=\frac{24×2}{16}=3$,所以 $EM=3$。因为 $AB=10$,所以 $△ ABE$ 的面积为 $\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×10×3=15$。
解析
【分析】
(1) 求∠ACE的度数时，先利用邻补角的关系由已知的∠ACB求出∠ACD，再结合EH⊥BD得到Rt△CEH，利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE，最后用∠ACD减去∠DCE即可得到结果。
(2) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边的距离相等，因此过E分别作BF、AC、BD的垂线：先利用BE是∠ABC的平分线得到E到BA和BD的距离相等，再由(1)的结论推出CE平分∠ACD，得到E到AC和BD的距离相等，等量代换后得到E到BA和AC的距离相等，即可完成证明。
(3) 由(2)可知E到三条边的距离相等，设这个距离为x，将△ACD的面积拆分为△ACE和△DCE的面积和，代入AC+CD=16和$S_{△ACD}=24$求出x的值，再利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
(1) 因为 $∠ACB=106°$,所以 $∠ACD=180°-∠ACB=74°$。因为 $EH ⊥ BD$,$∠CEH=53°$,所以 $∠DCE=90°-∠CEH=37°$,所以 $∠ACE=∠ACD-∠DCE=37°$。
(2) 证明:过点 $E$ 作 $EM ⊥ BF$ 于点 $M$,$EN ⊥ AC$ 于点 $N$。因为 $BE$ 平分 $∠ABC$,$EM ⊥ BF$,$EH ⊥ BD$,所以 $EM=EH$。由(1)可知,$∠ACE=∠DCE=37°$,所以 $CE$ 平分 $∠ACD$。因为 $EN ⊥ AC$,$EH ⊥ CD$,所以 $EN=EH$,所以 $EM=EN$。又因为点 $E$ 在$∠CAF$ 的内部,所以 $AE$ 平分$∠CAF$。
(3) 由(2)已得: $EM=EH=EN$,设 $EM=EH=EN=x$,因为 $S_{△ ACD}=24$,所以 $S_{△ ACE}+S_{△ DCE}=24$,所以 $\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=24$,即 $\frac{1}{2}x(AC+CD)=24$。因为 $AC+CD=16$,所以 $x=\frac{24×2}{16}=3$,所以 $EM=3$。因为 $AB=10$,所以 $△ ABE$ 的面积为 $\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质与判定，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造出点到角两边的距离，结合角平分线的性质和判定完成证明，再利用面积拆分的方法求解三角形面积，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠ACE的度数时，先利用邻补角的关系由已知的∠ACB求出∠ACD，再结合EH⊥BD得到Rt△CEH，利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE，最后用∠ACD减去∠DCE即可得到结果。
(2) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边的距离相等，因此过E分别作BF、AC、BD的垂线：先利用BE是∠ABC的平分线得到E到BA和BD的距离相等，再由(1)的结论推出CE平分∠ACD，得到E到AC和BD的距离相等，等量代换后得到E到BA和AC的距离相等，即可完成证明。
(3) 由(2)可知E到三条边的距离相等，设这个距离为x，将△ACD的面积拆分为△ACE和△DCE的面积和，代入AC+CD=16和$S_{△ACD}=24$求出x的值，再利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
(1) 因为 $∠ACB=106°$,所以 $∠ACD=180°-∠ACB=74°$。因为 $EH ⊥ BD$,$∠CEH=53°$,所以 $∠DCE=90°-∠CEH=37°$,所以 $∠ACE=∠ACD-∠DCE=37°$。
(2) 证明:过点 $E$ 作 $EM ⊥ BF$ 于点 $M$,$EN ⊥ AC$ 于点 $N$。因为 $BE$ 平分 $∠ABC$,$EM ⊥ BF$,$EH ⊥ BD$,所以 $EM=EH$。由(1)可知,$∠ACE=∠DCE=37°$,所以 $CE$ 平分 $∠ACD$。因为 $EN ⊥ AC$,$EH ⊥ CD$,所以 $EN=EH$,所以 $EM=EN$。又因为点 $E$ 在$∠CAF$ 的内部,所以 $AE$ 平分$∠CAF$。
(3) 由(2)已得: $EM=EH=EN$,设 $EM=EH=EN=x$,因为 $S_{△ ACD}=24$,所以 $S_{△ ACE}+S_{△ DCE}=24$,所以 $\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=24$,即 $\frac{1}{2}x(AC+CD)=24$。因为 $AC+CD=16$,所以 $x=\frac{24×2}{16}=3$,所以 $EM=3$。因为 $AB=10$,所以 $△ ABE$ 的面积为 $\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质与判定，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造出点到角两边的距离，结合角平分线的性质和判定完成证明，再利用面积拆分的方法求解三角形面积，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 60°$，$△ ABC$的两条角平分线$BE$和$CD$相交于点$P$，连接$AP$。
（1）求$∠ BPC$的度数；
（2）求证：$S_{△ PBD} + S_{△ PCE} = S_{△ PBC}$。
（1）求$∠ BPC$的度数；
（2）求证：$S_{△ PBD} + S_{△ PCE} = S_{△ PBC}$。
答案
(1) 因为 $∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$,$∠BAC=60°$,所以 $∠ABC+∠ACB=120°$。因为 $BE$ 平分 $∠ABC$,$CD$ 平分 $∠ACB$,所以 $∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$,所以 $∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60°$。又因为 $∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°$,所以 $∠BPC=180°-60°=120°$。
(2) 如图,过点 $P$ 作 $PH ⊥ AB$ 于点 $H$,$PM ⊥ AC$ 于点 $M$,$PN ⊥ BC$ 于点 $N$。因为 $CD$、$BE$ 是 $△ ABC$ 的角平分线,所以点 $P$ 是 $△ ABC$ 的内心,所以 $AP$ 平分 $∠BAC$,所以 $PH=PM=PN$。因为 $∠BAC+∠PHA+∠PMA+∠MPH=360°$,所以 $∠MPH=360°-90°-90°-60°=120°$。由(1) 可知,$∠DPE=∠BPC=120°$,所以 $∠DPE=∠MPH$,所以 $∠DPE-∠HPE=∠MPH-∠HPE$,即 $∠DPH=∠EPM$。在 $△ PHD$ 和 $△ PME$ 中,因为$\begin{cases}∠DPH=∠EPM,\\PH=PM,\\∠PHD=∠PME,\end{cases}$所以 $△ PHD ≌ △ PME(ASA)$,所以 $DH=EM$。在 $△ BPH$ 和 $△ BPN$ 中,因为$\begin{cases}∠HBP=∠NBP,\\∠BHP=∠BNP,\\BP=BP,\end{cases}$所以 $△ BPH ≌ △ BPN(AAS)$,所以 $BN=BH$,同理可得 $CN=CM$。因为 $BD+CE=(BH-DH)+(CM+EM)=BH+CM=BN+CN=BC$,所以 $S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=\frac{1}{2}BD· PH+\frac{1}{2}CE· PM=\frac{1}{2}PN·(BD+CE)=\frac{1}{2}PN· BC=S_{△ BPC}$。
解析
【分析】
（1）求解∠BPC的度数时，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再结合角平分线的定义得到∠PBC与∠PCB的度数和，最后再次用三角形内角和定理即可算出∠BPC的度数。
（2）要证明两个三角形的面积和等于△PBC的面积，首先根据角平分线的性质，过点P作三角形三边的垂线，可得三条垂线段长度相等；再通过角度推导证明相关三角形全等，将BD+CE转化为BC的长度，最后结合三角形面积公式即可完成证明。
【解析】
(1) 因为$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，$∠BAC=60°$，所以$∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°$。因为$BE$平分$∠ABC$，$CD$平分$∠ACB$，所以$∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$，所以$∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60°$。又因为$∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°$，所以$∠BPC=180°-60°=120°$。
(2) 如图，过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$，$PM ⊥ AC$于点$M$，$PN ⊥ BC$于点$N$。因为$CD$、$BE$是$△ ABC$的角平分线，所以点$P$是$△ ABC$的内心，所以$AP$平分$∠BAC$，根据角平分线的性质可得$PH=PM=PN$。因为四边形内角和为360°，所以$∠MPH=360°-90°-90°-60°=120°$。由(1)可知，$∠DPE=∠BPC=120°$，所以$∠DPE=∠MPH$，等式两边同时减去$∠HPE$可得$∠DPH=∠EPM$。在$△ PHD$ 和 $△ PME$ 中，$\begin{cases}∠DPH=∠EPM,\\PH=PM,\\∠PHD=∠PME,\end{cases}$所以$△ PHD ≌ △ PME(ASA)$，所以$DH=EM$。在$△ BPH$ 和 $△ BPN$ 中，$\begin{cases}∠HBP=∠NBP,\\∠BHP=∠BNP,\\BP=BP,\end{cases}$所以$△ BPH ≌ △ BPN(AAS)$，所以$BN=BH$，同理可得$CN=CM$。因此$BD+CE=(BH-DH)+(CM+EM)=BH+CM=BN+CN=BC$，所以$S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=\frac{1}{2}BD· PH+\frac{1}{2}CE· PM=\frac{1}{2}PN·(BD+CE)=\frac{1}{2}PN· BC=S_{△ BPC}$。
【答案】
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问较为基础，熟练掌握三角形内角和与角平分线的定义即可求解；第二问的核心是通过作垂线构造全等三角形，将线段和进行转化，结合面积公式完成证明，对辅助线构造能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）求解∠BPC的度数时，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再结合角平分线的定义得到∠PBC与∠PCB的度数和，最后再次用三角形内角和定理即可算出∠BPC的度数。
（2）要证明两个三角形的面积和等于△PBC的面积，首先根据角平分线的性质，过点P作三角形三边的垂线，可得三条垂线段长度相等；再通过角度推导证明相关三角形全等，将BD+CE转化为BC的长度，最后结合三角形面积公式即可完成证明。
【解析】
(1) 因为$∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°$，$∠BAC=60°$，所以$∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°$。因为$BE$平分$∠ABC$，$CD$平分$∠ACB$，所以$∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB$，所以$∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60°$。又因为$∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°$，所以$∠BPC=180°-60°=120°$。
(2) 如图，过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$，$PM ⊥ AC$于点$M$，$PN ⊥ BC$于点$N$。因为$CD$、$BE$是$△ ABC$的角平分线，所以点$P$是$△ ABC$的内心，所以$AP$平分$∠BAC$，根据角平分线的性质可得$PH=PM=PN$。因为四边形内角和为360°，所以$∠MPH=360°-90°-90°-60°=120°$。由(1)可知，$∠DPE=∠BPC=120°$，所以$∠DPE=∠MPH$，等式两边同时减去$∠HPE$可得$∠DPH=∠EPM$。在$△ PHD$ 和 $△ PME$ 中，$\begin{cases}∠DPH=∠EPM,\\PH=PM,\\∠PHD=∠PME,\end{cases}$所以$△ PHD ≌ △ PME(ASA)$，所以$DH=EM$。在$△ BPH$ 和 $△ BPN$ 中，$\begin{cases}∠HBP=∠NBP,\\∠BHP=∠BNP,\\BP=BP,\end{cases}$所以$△ BPH ≌ △ BPN(AAS)$，所以$BN=BH$，同理可得$CN=CM$。因此$BD+CE=(BH-DH)+(CM+EM)=BH+CM=BN+CN=BC$，所以$S_{△ PBD}+S_{△ PCE}=\frac{1}{2}BD· PH+\frac{1}{2}CE· PM=\frac{1}{2}PN·(BD+CE)=\frac{1}{2}PN· BC=S_{△ BPC}$。
【答案】
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题第一问较为基础，熟练掌握三角形内角和与角平分线的定义即可求解；第二问的核心是通过作垂线构造全等三角形，将线段和进行转化，结合面积公式完成证明，对辅助线构造能力和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
