7 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C=90°$, $D$是$BC$边上一点, $DE ⊥ AB$于点$E$, 点$F$在边$AC$上, 且$BE=FC=2$, $BD=FD$, 那么下列四个结论:①$AE=BC$;②$AD$是$∠ BAC$的平分线;③$2∠ B=∠ FDE$;④$AB-AF=4$, 其中正确的是________。(填序号)

②③④

【分析】
解题时首先利用已知的边相等和直角条件，证明Rt△FCD与Rt△BED全等，得到CD=DE、∠CDF=∠BDE等结论；再结合角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，逐一验证四个结论是否成立即可。
【解析】
已知∠C=90°，DE⊥AB，因此$∠ C=∠ DEB=90°$。
1. 证明$\mathrm{Rt}△ FCD ≌ \mathrm{Rt}△ BED$：
在$\mathrm{Rt}△ FCD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中：
$\begin{cases} FC=BE \\ FD=BD \end{cases}$
根据HL定理，可得$\mathrm{Rt}△ FCD ≌ \mathrm{Rt}△ BED$，因此$CD=DE$，$∠ CDF=∠ BDE$。
2. 逐个验证结论：
① 验证$AE=BC$：
后续可证$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED$，得$AC=AE$，但$AC$和$BC$不一定相等，故①错误。
② 验证$AD$是$∠ BAC$的平分线：
已知$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，且$CD=DE$，根据角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得$AD$平分$∠ BAC$，故②正确。
③ 验证$2∠ B=∠ FDE$：
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$∠ DEB=90°$，因此$∠ B + ∠ BDE=90°$，即$∠ BDE=90°-∠ B$。
由$∠ CDF=∠ BDE$，得$∠ CDF=90°-∠ B$。
因为点$C,D,B$共线，$∠ CDB=180°$，因此：
$∠ FDE=180°-∠ CDF-∠ BDE=180°-2×(90°-∠ B)=2∠ B$，故③正确。
④ 验证$AB-AF=4$：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases} ∠ C=∠ AED=90° \\ ∠ CAD=∠ EAD \\ AD=AD \end{cases}$
根据AAS定理，可得$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED$，因此$AC=AE$。
已知$AB=AE+BE$，$AF=AC-FC$，且$BE=FC=2$，代入得：
$AB-AF=(AE+BE)-(AC-FC)=AE+2-AE+2=4$，故④正确。
综上，正确结论为②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过HL证明一组直角三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合角平分线判定、全等三角形性质推导各结论，需要熟练掌握相关定理，注意推导过程中不要混淆对应边、对应角的关系。
【难度系数】
0.65

⑧ 如图，$△ ABC$ 的外角 $∠ ACD$ 的平分线 $CP$ 与内角 $∠ ABC$ 的平分线 $BP$ 交于点 $P$，若 $∠ BPC = 42°$，则 $∠ CAP = \_\_\_\_\_\_$。

48°

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，结合角平分线定义和三角形外角性质，推导内角∠BAC与已知角∠BPC的数量关系，计算出∠BAC的度数；第二步，过点P作三边的垂线，利用角平分线的性质定理得到点P到AB、AC的距离相等，再由角平分线的判定定理得出AP是∠BAC外角的平分线，最终求出∠CAP的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ $∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
∵ CP是外角∠ACD的平分线，
∴ $∠ PCD=\frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角性质：$∠ PCD=∠ PBC+∠ BPC$，$∠ ACD=∠ ABC+∠ BAC$
将$∠ ACD=2∠ PCD$代入得：
$∠ ABC+∠ BAC=2(∠ PBC+∠ BPC)$
把$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$代入上式，化简得$∠ BAC=2∠ BPC$
已知$∠ BPC=42°$，
∴ $∠ BAC=2×42°=84°$
2. 求∠CAP的度数：
过点P作$PE⊥ BA$交BA的延长线于点E，$PF⊥ AC$于点F，$PG⊥ CD$于点G。
∵ BP平分∠ABC，$PE⊥ BE$，$PG⊥ BC$，
∴ $PE=PG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ CP平分∠ACD，$PF⊥ AC$，$PG⊥ CD$，
∴ $PF=PG$（同理）
∴ $PE=PF$
又
∵ $PE⊥ AE$，$PF⊥ AC$，
∴ AP平分∠CAE（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），其中∠CAE是∠BAC的邻补角。
∴ $∠ CAE=180°-∠ BAC=180°-84°=96°$
∴ $∠ CAP=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}×96°=48°$
【答案】
$48°$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题是角平分线章节的典型综合题，需要熟练掌握角平分线的性质与判定，以及三角形外角的性质，解题的关键是通过作辅助线证明点P在∠BAC的外角平分线上，同时也可积累“内角+外角双角平分线夹角等于第三个内角一半”的模型结论提升解题效率。
【难度系数】
0.6

9 如图,在△ABC(AB ＞ AC)中,AD、AE分别为△ABC的角平分线和中线,若7AB =13AC, ED =kDC,则k的值为。
第8题图
第9题图

$\frac{3}{7}$ [提示:过点 D 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M$,$DN ⊥ AC$ 于点 $N$,根据角平分线的性质得出 $DM=DN$。设 $BC$ 边上的高为 $h$,因为 $S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=\frac{\frac{1}{2}BD· h}{\frac{1}{2}CD· h}=\frac{BD}{CD}$, 又因为 $S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=\frac{\frac{1}{2}AB· DM}{\frac{1}{2}AC· DN}=\frac{AB}{AC}$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。因为$7AB=13AC$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{13}{7}$,所以$\frac{BD}{DC}=\frac{13}{7}$。设$BD=13x$,$DC=7x$,因为$AE$是$△ ABC$的中线,所以$BE=CE=\frac{1}{2}BC=10x$,所以$ED=3x$。所以$\frac{ED}{DC}=\frac{3}{7}$,即$k=\frac{3}{7}$。]

【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 题目给出角平分线AD，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可通过面积法建立△ABD与△ACD的面积比和AB、AC的比例关系；2. 两个三角形以BC为底时高相等，因此面积比也等于底BD与DC的比，从而得到BD与DC的比值；3. 结合AE是中线的条件，可知CE为BC长度的一半，通过设参数表示各线段长度，即可求出ED与DC的比值得到k。
【解析】
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
∵AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，
∴$DM=DN$。
设BC边上的高为$h$，
则$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2} · AB · DM}{\frac{1}{2} · AC · DN}=\frac{AB}{AC}$，
同时$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2} · BD · h}{\frac{1}{2} · CD · h}=\frac{BD}{CD}$，
因此$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。
已知$7AB=13AC$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{13}{7}$，故$\frac{BD}{DC}=\frac{13}{7}$。
设$BD=13x$，$DC=7x$（$x＞0$），则$BC=BD+DC=20x$。
∵AE是△ABC的中线，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=10x$，
∴$ED=CE-DC=10x-7x=3x$，
∴$\frac{ED}{DC}=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}$，即$k=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线的定义；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，核心是通过面积法搭建角平分线两侧线段比例的桥梁，结合中线平分对边的性质，通过设参数的方式即可快速求出线段比值，解题关键在于灵活运用面积法建立不同线段间的比例关系。
【难度系数】
0.7

10 如图,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,且$∠ BAC=∠ EAF$,BE与CF交于点M,连接MA。若$∠ BAC=α$,则$∠ AME=$。(用含$α$的式子表示)

$90° + \frac{1}{2}α$ [提示:首先求出 $∠EAB=∠FAC$, 推出 $△ BAE ≌ △ CAF(SAS)$, 所以$∠AFC=∠AEB$,进而推出$∠CMB=∠EMF=∠EAF=α$。过点 $A$ 作 $AQ ⊥ BE$ 于点 $Q$,$AH ⊥ CF$ 于点 $H$,根据全等三角形性质和三角形面积求出$AQ=AH$,根据角平分线性质得出$AM$平分$∠BMF$,所以$∠BMA=∠AMF$,所以$∠AMF=\frac{180°-∠CMB}{2}=90°-\frac{α}{2}$,所以$∠AME=∠EMF+∠AMF=90°-\frac{α}{2}+α=90°+\frac{1}{2}α$。]

【分析】
解题时首先观察已知条件：题目给出两组边相等（AB=AC，AE=AF）且顶角∠BAC=∠EAF，首先可通过角的和差推导得到△BAE和△CAF的夹角相等，证明两个三角形全等；接着利用全等三角形的对应角相等，推导BE与CF的夹角等于已知角α；要求∠AME，需要先判断AM的性质，此时可通过作两条垂线，结合全等三角形面积相等、对应边相等，推导出两条垂线段相等，根据角平分线的判定得到AM平分∠BMF，最后通过角度的和差计算即可得到∠AME的度数。
【解析】
1. 证明$△ BAE ≌ △ CAF$：
∵$∠ BAC=∠ EAF$，
∴$∠ BAC + ∠ CAE = ∠ EAF + ∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAF$，
在$△ BAE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAE=∠ CAF \\AE=AF\end{cases}$
∴$△ BAE ≌ △ CAF$（SAS）。
2. 推导$∠ EMF$的度数：
由$△ BAE ≌ △ CAF$得$∠ AEB=∠ AFC$，
设AE交CF于点N，在$△ ENM$和$△ FNA$中，$∠ EMN=∠ FAN=∠ EAF=α$，即$∠ EMF=α$。
3. 证明AM平分$∠ BMF$：
过点A作$AQ ⊥ BE$于点Q，$AH ⊥ CF$于点H，
∵$△ BAE ≌ △ CAF$，
∴$S_{△ BAE}=S_{△ CAF}$，且$BE=CF$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2} × 底 × 高$，得$\frac{1}{2} × BE × AQ=\frac{1}{2} × CF × AH$，
∴$AQ=AH$，
又
∵$AQ ⊥ BE$，$AH ⊥ CF$，
∴点A在$∠ BMF$的角平分线上，即AM平分$∠ BMF$，
∴$∠ BMA=∠ AMF$。
4. 计算$∠ AME$：
∵$∠ BMF=180° - ∠ EMF=180° - α$，
∴$∠ AMF=\frac{1}{2}∠ BMF=\frac{1}{2}(180° - α)=90° - \frac{1}{2}α$，
∴$∠ AME=∠ EMF + ∠ AMF = α + 90° - \frac{1}{2}α = 90° + \frac{1}{2}α$。
【答案】
$90°+\frac{1}{2}α$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，角度和差计算
【点评】
本题综合考查三角形全等和角平分线的相关知识，解题的突破口是先利用边角边证明三角形全等，再通过全等三角形的面积关系推导出角平分线，结合角度转化求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

11 如图，已知$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别为点E、F，BE、CF相交于点D。若$BD = CD$，求证：AD平分$∠ BAC$。

因为 $BE ⊥ AC, CF ⊥ AB$,所以 $∠BFD=∠CED=90°$。在 $△ BDF$ 和 $△ CDE$ 中,因为
$\begin{cases}∠BFD=∠CED,\\∠BDF=∠CDE,\\BD=CD,\end{cases}$
所以 $△ BDF ≌ △ CDE(AAS)$。所以 $DF=DE$,所以 $AD$ 平分$∠BAC$。

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DF=DE。已知BD=CD，结合BE⊥AC、CF⊥AB可得两个直角相等，再加上对顶角∠BDF和∠CDE相等，可通过AAS证明△BDF≌△CDE，利用全等三角形对应边相等即可得到DF=DE，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
$\because BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，
$\therefore ∠ BFD = ∠ CED = 90°$。
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ BFD = ∠ CED \\∠ BDF = ∠ CDE \\BD = CD\end{cases}$
$\therefore △ BDF ≌ △ CDE \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF = DE$。
$\because DF ⊥ AB$，$DE ⊥ AC$，
$\therefore$ 点D在$∠ BAC$的平分线上，即AD平分$∠ BAC$。
【答案】
AD平分$∠ BAC$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考察全等三角形与角平分线判定的结合应用，解题关键是通过全等证明得到点到角两边的距离相等，解题思路清晰，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7

12 如图，已知$△ ABC$是等边三角形，$∠ BDC = 120°$，求证：DA平分$∠ BDC$。

过点 $A$ 作 $AM ⊥ BD$ 于点 $M$,$AN ⊥ DC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $N$。因为 $AM ⊥ BD$,$AN ⊥ DC$,所以 $∠AMD=∠AND=90°$,$∠AMB=∠ANC=90°$。又因为 $∠AMD+∠AND+∠BDC+∠MAN=360°$,$∠BDC=120°$,所以 $∠MAN=60°$。因为 $△ ABC$ 是等边三角形,所以 $∠BAC=60°$,$AB=AC$,所以 $∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC$,即 $∠BAM=∠CAN$。在 $△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中,因为$\begin{cases}∠AMB=∠ANC,\\∠BAM=∠CAN,\\AB=AC,\end{cases}$所以 $△ ABM ≌ △ ACN$,所以$AM=AN$。因为 $AM ⊥ DB$,$AN ⊥ DC$,所以 $DA$ 平分$∠BDC$。

【分析】
要证明DA平分∠BDC，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此我们可以过点A分别作BD、DC的垂线，只需证明两条垂线段长度相等即可。结合已知等边△ABC的性质可得AB=AC、∠BAC=60°，再根据四边形内角和求出两条垂线与BD、DC围成的四边形中∠MAN=60°，进而推出∠BAM=∠CAN，即可证明两个直角三角形全等，得到垂线段相等，最终得出结论。
【解析】
过点 $A$ 作 $AM ⊥ BD$ 于点 $M$,$AN ⊥ DC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $N$。
∵ $AM ⊥ BD$,$AN ⊥ DC$,
∴ $∠AMD=∠AND=90°$,$∠AMB=∠ANC=90°$。
∵ 四边形AMDN的内角和为$360°$，即$∠AMD+∠AND+∠BDC+∠MAN=360°$，且$∠BDC=120°$,
∴ $∠MAN=360°-90°-90°-120°=60°$。
∵ $△ ABC$ 是等边三角形,
∴ $∠BAC=60°$,$AB=AC$,
∴ $∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC$,即 $∠BAM=∠CAN$。
在 $△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中:
$\begin{cases}∠AMB=∠ANC,\\∠BAM=∠CAN,\\AB=AC,\end{cases}$
∴ $△ ABM ≌ △ ACN$（AAS）,
∴ $AM=AN$。
又
∵ $AM ⊥ DB$,$AN ⊥ DC$,
∴ 点A在∠BDC的角平分线上，即$DA$平分$∠BDC$。
【答案】
DA平分$\boldsymbol{∠BDC}$
【知识点】
角平分线的判定；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题的突破口是通过作两条垂线构造全等三角形，将证明角平分线的问题转化为证明垂线段相等的问题，考察了学生对基础几何定理的综合应用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6