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一、无配图题考虑问题不全面易出错
1.已知$∠ AOB=45°$，点$P$在$∠ AOB$内部，点$P_1$与点$P$关于$OB$对称，点$P_2$与点$P$关于$OA$对称，则$P_1$，$O$，$P_2$三点构成的三角形是（
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
1.已知$∠ AOB=45°$，点$P$在$∠ AOB$内部，点$P_1$与点$P$关于$OB$对称，点$P_2$与点$P$关于$OA$对称，则$P_1$，$O$，$P_2$三点构成的三角形是（
D
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
1.D
解析
【分析】
遇到点关于直线对称的问题，首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，与对称轴上任意一点的连线长度相等，且连线与对称轴的夹角相等。本题中O在对称轴OA、OB上，因此先连接OP，通过轴对称性质推导OP₁、OP₂的数量关系，再计算∠P₁OP₂的度数，最终判断三角形形状。
【解析】
解：连接OP，
∵ 点P₁与点P关于OB对称，
∴ OP₁=OP，∠P₁OB=∠POB，
∵ 点P₂与点P关于OA对称，
∴ OP₂=OP，∠P₂OA=∠POA，
∴ OP₁=OP₂，即△P₁OP₂是等腰三角形，
又
∵ ∠P₁OP₂=∠P₁OB+∠POB+∠POA+∠P₂OA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB，
已知∠AOB=45°，
∴ ∠P₁OP₂=2×45°=90°，
∴ 有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形，即△P₁OP₂是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；等腰直角三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是灵活运用轴对称的性质得到相等的边和角，通过辅助线OP建立已知角和待求角的联系，做题时要注意同时判断边的关系和角的度数，避免只判断单一条件选错答案。
【难度系数】
0.7
遇到点关于直线对称的问题，首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，与对称轴上任意一点的连线长度相等，且连线与对称轴的夹角相等。本题中O在对称轴OA、OB上，因此先连接OP，通过轴对称性质推导OP₁、OP₂的数量关系，再计算∠P₁OP₂的度数，最终判断三角形形状。
【解析】
解：连接OP，
∵ 点P₁与点P关于OB对称，
∴ OP₁=OP，∠P₁OB=∠POB，
∵ 点P₂与点P关于OA对称，
∴ OP₂=OP，∠P₂OA=∠POA，
∴ OP₁=OP₂，即△P₁OP₂是等腰三角形，
又
∵ ∠P₁OP₂=∠P₁OB+∠POB+∠POA+∠P₂OA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB，
已知∠AOB=45°，
∴ ∠P₁OP₂=2×45°=90°，
∴ 有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形，即△P₁OP₂是等腰直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质；等腰直角三角形的判定
【点评】
本题解题的核心是灵活运用轴对称的性质得到相等的边和角，通过辅助线OP建立已知角和待求角的联系，做题时要注意同时判断边的关系和角的度数，避免只判断单一条件选错答案。
【难度系数】
0.7
2.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是$AC$边上的高，$∠ ABD=40°$，则$∠ C=$
$65°或25°$
。答案
2.$65°或25°$
解析
【分析】
本题已知等腰三角形一腰上的高与腰的夹角求底角，解题时需注意等腰三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分锐角等腰三角形、钝角等腰三角形两种情况讨论，先求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角∠C的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABD=40°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
由三角形内角和为180°得：$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
2. 当△ABC为钝角三角形时，顶角∠BAC为钝角，高BD交CA的延长线于点D：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABD=40°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=50°
∴∠BAC=180°-∠BAD=180°-50°=130°
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
由三角形内角和为180°得：$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
综上，∠C的度数为65°或25°。
【答案】
$65°或25°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形高的位置有两种情况，只考虑锐角三角形的情形导致漏解，解题时要结合图形全面分析，合理分类讨论。
【难度系数】
0.6
本题已知等腰三角形一腰上的高与腰的夹角求底角，解题时需注意等腰三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分锐角等腰三角形、钝角等腰三角形两种情况讨论，先求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角∠C的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABD=40°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
由三角形内角和为180°得：$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
2. 当△ABC为钝角三角形时，顶角∠BAC为钝角，高BD交CA的延长线于点D：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABD=40°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=50°
∴∠BAC=180°-∠BAD=180°-50°=130°
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C
由三角形内角和为180°得：$∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$
综上，∠C的度数为65°或25°。
【答案】
$65°或25°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形高的位置有两种情况，只考虑锐角三角形的情形导致漏解，解题时要结合图形全面分析，合理分类讨论。
【难度系数】
0.6
3.在$△ ABC$中，$CD$是$△ ABC$的角平分线，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，$BF$平分$∠ ABC$交直线$DE$于点$F$，若$EC = 6$，$EF = 2$，则$BD=$
$4或8$
。答案
3.$4或8$
解析
【分析】
遇到角平分线与平行线组合的几何题，首先联想“等角对等边”推导等腰三角形：首先利用CD是角平分线、DE//BC，可证得△DEC是等腰三角形，得到DE=EC；再利用BF是角平分线、DE//BC，可证得△BDF是等腰三角形，得到BD=DF。由于F在直线DE上，因此F的位置有两种：在线段DE上或在线段DE的延长线上，分两种情况计算DF的长度即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD=∠DCE，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠DCE，
∴DE=EC=6（等角对等边）。
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当点F在线段DE上时，
DF=DE-EF=6-2=4，
∴BD=4；
② 当点F在线段DE的延长线上时，
DF=DE+EF=6+2=8，
∴BD=8。
综上，BD的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，需要注意题干中“直线DE”的表述，容易忽略点F在DE延长线上的情况导致漏解，解题时要养成结合题意分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与平行线组合的几何题，首先联想“等角对等边”推导等腰三角形：首先利用CD是角平分线、DE//BC，可证得△DEC是等腰三角形，得到DE=EC；再利用BF是角平分线、DE//BC，可证得△BDF是等腰三角形，得到BD=DF。由于F在直线DE上，因此F的位置有两种：在线段DE上或在线段DE的延长线上，分两种情况计算DF的长度即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠BCD=∠DCE，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠DCE，
∴DE=EC=6（等角对等边）。
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF（等角对等边）。
分两种情况讨论：
① 当点F在线段DE上时，
DF=DE-EF=6-2=4，
∴BD=4；
② 当点F在线段DE的延长线上时，
DF=DE+EF=6+2=8，
∴BD=8。
综上，BD的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导出等腰三角形，需要注意题干中“直线DE”的表述，容易忽略点F在DE延长线上的情况导致漏解，解题时要养成结合题意分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
4.已知AD是等腰$△ ABC$的腰BC上的高，$∠ DAB=50°$，这个等腰三角形顶角的度数是
$40°或100°或140°$
。答案
4.$40°或100°或140°$
解析
【分析】
题目仅说明AD是等腰△ABC腰BC上的高，未明确等腰三角形的具体形状及高的位置，因此需要分类讨论：先根据直角三角形两锐角互余求出Rt△ABD中∠ABD的度数，再分BC为腰时对应的顶角类型、高在三角形内部还是外部三类情况，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理计算顶角度数即可。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠DAB=50°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=40°，分三种情况讨论：
情况1：若等腰△ABC中，BC=BA，且顶角为∠B，此时高AD在△ABC内部，
则顶角∠B=40°；
情况2：若等腰△ABC中，BC=AC，此时∠B为底角，
∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC=40°，
∴顶角∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-40°=100°；
情况3：若等腰△ABC中，BC=BA，且高AD在△ABC外部，此时∠ABD=40°是顶角的邻补角，
则顶角∠ABC=180°-40°=140°。
【答案】
$40°或100°或140°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况以及等腰三角形腰对应的顶角的多种可能，解题时需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
题目仅说明AD是等腰△ABC腰BC上的高，未明确等腰三角形的具体形状及高的位置，因此需要分类讨论：先根据直角三角形两锐角互余求出Rt△ABD中∠ABD的度数，再分BC为腰时对应的顶角类型、高在三角形内部还是外部三类情况，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理计算顶角度数即可。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∠DAB=50°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=40°，分三种情况讨论：
情况1：若等腰△ABC中，BC=BA，且顶角为∠B，此时高AD在△ABC内部，
则顶角∠B=40°；
情况2：若等腰△ABC中，BC=AC，此时∠B为底角，
∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC=40°，
∴顶角∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-40°=100°；
情况3：若等腰△ABC中，BC=BA，且高AD在△ABC外部，此时∠ABD=40°是顶角的邻补角，
则顶角∠ABC=180°-40°=140°。
【答案】
$40°或100°或140°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况以及等腰三角形腰对应的顶角的多种可能，解题时需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
5.(2025·南京期末)在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在边AC上，连接BD.若$△ ABD$和$△ BCD$都是等腰三角形，则$∠ A=$
$36或(\dfrac{180}{7})$
°.答案
5.$36或(\dfrac{180}{7})$
解析
【分析】
已知AB=AC，可先判定△ABC为等腰三角形，设∠A=x°，根据等腰三角形两底角相等可得∠ABC=∠C=(180-x)/2 °。由于△ABD和△BCD均为等腰三角形，腰的对应关系未明确，因此需要分类讨论不同的腰相等的情况，结合三角形内角和定理、三角形外角的性质建立关于x的方程求解，最后排除不符合三角形实际结构的情况即可。
【解析】
设∠A = x°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{180 - x}{2}$°，分两种情况讨论：
1. 当AD=BD，BD=BC时：
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°，
∵ BD=BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x°，
列方程：$\frac{180 - x}{2} = 2x$，
解得：$x=36$。
2. 当AD=BD，BC=CD时：
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°，
∵ BC=CD，
∴ ∠CBD = ∠BDC = 2x°，
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = x° + 2x° = 3x°，
列方程：$3x = \frac{180 - x}{2}$，
解得：$x=\frac{180}{7}$。
其余腰相等的情况经检验不符合三角形内角和定理或边的位置关系，舍去。
【答案】
36或$\dfrac{180}{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意等腰三角形腰的不确定性，合理分类后结合三角形的相关性质建立方程求解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
已知AB=AC，可先判定△ABC为等腰三角形，设∠A=x°，根据等腰三角形两底角相等可得∠ABC=∠C=(180-x)/2 °。由于△ABD和△BCD均为等腰三角形，腰的对应关系未明确，因此需要分类讨论不同的腰相等的情况，结合三角形内角和定理、三角形外角的性质建立关于x的方程求解，最后排除不符合三角形实际结构的情况即可。
【解析】
设∠A = x°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC = ∠C = $\frac{180 - x}{2}$°，分两种情况讨论：
1. 当AD=BD，BD=BC时：
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°，
∵ BD=BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x°，
列方程：$\frac{180 - x}{2} = 2x$，
解得：$x=36$。
2. 当AD=BD，BC=CD时：
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x°，
∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x°，
∵ BC=CD，
∴ ∠CBD = ∠BDC = 2x°，
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = x° + 2x° = 3x°，
列方程：$3x = \frac{180 - x}{2}$，
解得：$x=\frac{180}{7}$。
其余腰相等的情况经检验不符合三角形内角和定理或边的位置关系，舍去。
【答案】
36或$\dfrac{180}{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意等腰三角形腰的不确定性，合理分类后结合三角形的相关性质建立方程求解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
二、忽视题目条件易出错
6.如图，$∠ ABC=60°$，$AB=8$，动点$P$从点$B$出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线$BC$运动，设点$P$的运动时间为$t$秒($t＞0$)，当$△ ABP$为锐角三角形时，$t$的取值范围是 （
A.$t＞4$
B.$t＜8$
C.$8＜t＜16$
D.$4＜t＜16$
6.如图，$∠ ABC=60°$，$AB=8$，动点$P$从点$B$出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线$BC$运动，设点$P$的运动时间为$t$秒($t＞0$)，当$△ ABP$为锐角三角形时，$t$的取值范围是 （
D
）A.$t＞4$
B.$t＜8$
C.$8＜t＜16$
D.$4＜t＜16$
答案
6.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确锐角三角形的三个内角均为锐角，因此我们只需找到△ABP为直角三角形的两个临界状态，分别计算对应的运动时间t，两个临界值之间的范围就是所求的取值范围。第一步先找∠APB=90°的临界情况，利用含30°角的直角三角形性质计算此时BP的长度，得到对应t值；第二步再找∠BAP=90°的临界情况，同样用直角三角形性质计算对应BP长度和t值，最后结合两种临界情况判断符合要求的范围即可。
【解析】
分别考虑△ABP为直角三角形的两种临界情况：
1. 当∠APB=90°时，过A作$AP_1⊥BC$于点$P_1$，
在$Rt△ABP_1$中，$∠ABC=60°$，因此$∠BAP_1=30°$，
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BP_1=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
已知点P运动速度为每秒1个单位长度，此时$t=4÷1=4$，
若$t＜4$，则$∠APB＞90°$，△ABP为钝角三角形，不符合要求。
2. 当∠BAP=90°时，过A作$AP_2⊥AB$交射线BC于点$P_2$，
在$Rt△ABP_2$中，$∠ABC=60°$，因此$∠AP_2B=30°$，
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BP_2=2AB=2×8=16$，
此时$t=16÷1=16$，
若$t＞16$，则$∠BAP＞90°$，△ABP为钝角三角形，不符合要求。
综上，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是$4＜t＜16$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，锐角三角形判定，动点范围求解
【点评】
本题是动点与三角形分类结合的典型题，解题核心是通过找直角临界状态确定取值边界，解题时要注意避免遗漏其中一种直角情况，导致范围判断错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确锐角三角形的三个内角均为锐角，因此我们只需找到△ABP为直角三角形的两个临界状态，分别计算对应的运动时间t，两个临界值之间的范围就是所求的取值范围。第一步先找∠APB=90°的临界情况，利用含30°角的直角三角形性质计算此时BP的长度，得到对应t值；第二步再找∠BAP=90°的临界情况，同样用直角三角形性质计算对应BP长度和t值，最后结合两种临界情况判断符合要求的范围即可。
【解析】
分别考虑△ABP为直角三角形的两种临界情况：
1. 当∠APB=90°时，过A作$AP_1⊥BC$于点$P_1$，
在$Rt△ABP_1$中，$∠ABC=60°$，因此$∠BAP_1=30°$，
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BP_1=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
已知点P运动速度为每秒1个单位长度，此时$t=4÷1=4$，
若$t＜4$，则$∠APB＞90°$，△ABP为钝角三角形，不符合要求。
2. 当∠BAP=90°时，过A作$AP_2⊥AB$交射线BC于点$P_2$，
在$Rt△ABP_2$中，$∠ABC=60°$，因此$∠AP_2B=30°$，
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$BP_2=2AB=2×8=16$，
此时$t=16÷1=16$，
若$t＞16$，则$∠BAP＞90°$，△ABP为钝角三角形，不符合要求。
综上，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是$4＜t＜16$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，锐角三角形判定，动点范围求解
【点评】
本题是动点与三角形分类结合的典型题，解题核心是通过找直角临界状态确定取值边界，解题时要注意避免遗漏其中一种直角情况，导致范围判断错误。
【难度系数】
0.6
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=50°$,点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作$∠ ADE=50°$,DE交线段AC于E.在点D的运动过程中,当$△ ADE$是等腰三角形时,$∠ AED=$
$80°或65°$
.答案
7.$80°或65°$
解析
【分析】
首先根据△ABC的内角度数求出∠BAC=80°，当△ADE为等腰三角形时，需分三种情况讨论腰的对应关系，再结合点D不与B、C重合的限制条件排除不符合的情况，进而计算出∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，∠B=∠C=50°，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-50°=80°$
△ADE是等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$AD=AE$，则$∠ AED=∠ ADE=50°$，此时$∠ DAE=180°-50°×2=80°=∠ BAC$，即点D与点B重合，不符合点D不与B、C重合的条件，舍去；
2. 若$AD=DE$，则$∠ DAE=∠ AED$，已知$∠ ADE=50°$，因此：
$∠ AED=(180°-∠ ADE)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，符合题意；
3. 若$AE=DE$，则$∠ DAE=∠ ADE=50°$，因此：
$∠ AED=180°-∠ ADE-∠ DAE=180°-50°-50°=80°$，符合题意。
综上，$∠ AED$的度数为$80°$或$65°$。
【答案】
$80°$或$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的题型，解题的关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要注意结合动点的取值范围排除不符合题意的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先根据△ABC的内角度数求出∠BAC=80°，当△ADE为等腰三角形时，需分三种情况讨论腰的对应关系，再结合点D不与B、C重合的限制条件排除不符合的情况，进而计算出∠AED的度数。
【解析】
在△ABC中，∠B=∠C=50°，由三角形内角和定理得：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-50°=80°$
△ADE是等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$AD=AE$，则$∠ AED=∠ ADE=50°$，此时$∠ DAE=180°-50°×2=80°=∠ BAC$，即点D与点B重合，不符合点D不与B、C重合的条件，舍去；
2. 若$AD=DE$，则$∠ DAE=∠ AED$，已知$∠ ADE=50°$，因此：
$∠ AED=(180°-∠ ADE)÷2=(180°-50°)÷2=65°$，符合题意；
3. 若$AE=DE$，则$∠ DAE=∠ ADE=50°$，因此：
$∠ AED=180°-∠ ADE-∠ DAE=180°-50°-50°=80°$，符合题意。
综上，$∠ AED$的度数为$80°$或$65°$。
【答案】
$80°$或$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的题型，解题的关键是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要注意结合动点的取值范围排除不符合题意的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
8.如图，△ABC内角平分线AD交BC边于点E，交外角的平分线BD于D，连接CD，∠ADB=24°，若△CDE为等腰三角形，则∠ADC的度数为
$48°或57°$
。答案
8.$48°或57°$
解析
【分析】
解题思路：第一步，先利用角平分线定义设角，结合三角形外角性质推导∠ACB的度数：AD是△ABC内角平分线，BD是B点处外角平分线，根据“三角形外角等于不相邻两个内角和”可推出∠ADB=1/2∠ACB，从而得到∠ACB=48°。第二步，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，可证D到AC、BC距离相等，故CD平分∠ACB的外角，算出∠DCE=66°。第三步，对等腰△CDE分三种情况讨论腰的可能，舍去不符合几何意义的情况，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 设∠BAD=∠CAD=x（AD平分∠BAC），∠CBD=∠DBE=y（BD平分△ABC在B点的外角）。
2.
∵∠DBE是△ABD的外角，
∴∠DBE=∠BAD+∠ADB，即$y=x+24°$，可得$2y=2x+48°$。
3.
∵B点处的外角∠CBE=2y，且∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE=∠BAC+∠ACB=2x+∠ACB。
4. 联立得$2x+48°=2x+∠ACB$，解得$∠ ACB=48°$。
5.
∵AD平分∠BAC、BD平分B点外角，
∴D到AC、AB、BC三边的距离相等，因此CD平分∠ACB的外角。
6. ∠ACB的外角为$180°-48°=132°$，故$∠ DCE=132°÷2=66°$。
7. 对等腰△CDE分三类讨论：
情况1：$CD=CE$，则$∠ CDE=∠ CED$，由内角和得$∠ CDE=(180°-66°)÷2=57°$，即$∠ ADC=57°$，符合题意。
情况2：$CD=DE$，则$∠ DCE=∠ CED=66°$，故$∠ CDE=180°-66°×2=48°$，即$∠ ADC=48°$，符合题意。
情况3：$CE=DE$，则$∠ DCE=∠ CDE=66°$，此时$∠ CED=48°$，但$∠ CED=∠ EAC+∠ ACB=x+48°＞48°$，矛盾，舍去该情况。
综上，∠ADC的度数为$48°$或$57°$。
【答案】
$48°$或$57°$
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题需要结合角平分线、三角形外角的性质进行推导，核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意验证所得结果是否符合几何图形的实际意义，避免出现矛盾的解。
【难度系数】
0.4
解题思路：第一步，先利用角平分线定义设角，结合三角形外角性质推导∠ACB的度数：AD是△ABC内角平分线，BD是B点处外角平分线，根据“三角形外角等于不相邻两个内角和”可推出∠ADB=1/2∠ACB，从而得到∠ACB=48°。第二步，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等，可证D到AC、BC距离相等，故CD平分∠ACB的外角，算出∠DCE=66°。第三步，对等腰△CDE分三种情况讨论腰的可能，舍去不符合几何意义的情况，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 设∠BAD=∠CAD=x（AD平分∠BAC），∠CBD=∠DBE=y（BD平分△ABC在B点的外角）。
2.
∵∠DBE是△ABD的外角，
∴∠DBE=∠BAD+∠ADB，即$y=x+24°$，可得$2y=2x+48°$。
3.
∵B点处的外角∠CBE=2y，且∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE=∠BAC+∠ACB=2x+∠ACB。
4. 联立得$2x+48°=2x+∠ACB$，解得$∠ ACB=48°$。
5.
∵AD平分∠BAC、BD平分B点外角，
∴D到AC、AB、BC三边的距离相等，因此CD平分∠ACB的外角。
6. ∠ACB的外角为$180°-48°=132°$，故$∠ DCE=132°÷2=66°$。
7. 对等腰△CDE分三类讨论：
情况1：$CD=CE$，则$∠ CDE=∠ CED$，由内角和得$∠ CDE=(180°-66°)÷2=57°$，即$∠ ADC=57°$，符合题意。
情况2：$CD=DE$，则$∠ DCE=∠ CED=66°$，故$∠ CDE=180°-66°×2=48°$，即$∠ ADC=48°$，符合题意。
情况3：$CE=DE$，则$∠ DCE=∠ CDE=66°$，此时$∠ CED=48°$，但$∠ CED=∠ EAC+∠ ACB=x+48°＞48°$，矛盾，舍去该情况。
综上，∠ADC的度数为$48°$或$57°$。
【答案】
$48°$或$57°$
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题需要结合角平分线、三角形外角的性质进行推导，核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意验证所得结果是否符合几何图形的实际意义，避免出现矛盾的解。
【难度系数】
0.4
三、未分类讨论出现漏解错误
9.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为 （
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
9.如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为 （
B
）A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
答案
9.B
解析
【分析】
解决这类格点中等腰三角形找点问题，需依据等腰三角形的定义按顶角顶点的不同分三类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，此时腰长为AB，满足AC=AB；②以B为顶角顶点，此时腰长为AB，满足BC=AB；③以C为顶角顶点，此时AB为底边，满足AC=BC。每类分别找出符合条件的格点后，还要排除三点共线的情况（三点共线无法构成三角形），最后统计总个数即可。
【解析】
先计算AB的长度：我们可建立平面直角坐标系，设A(1,1)，B(3,2)，由勾股定理得AB=√[(3-1)²+(2-1)²]=√5。
1. 当A为顶角顶点时：以A为圆心，AB长为半径画弧，与格点的交点除B外有3个，分别为(0,3)、(2,3)、(3,0)，均不与A、B共线，符合要求；
2. 当B为顶角顶点时：以B为圆心，AB长为半径画弧，与格点的交点除A外有3个，分别为(1,3)、(4,0)、(4,4)，均不与A、B共线，符合要求；
3. 当C为顶角顶点时：作AB的垂直平分线，垂直平分线上满足AC=BC的格点有2个，分别为(0,0)、(4,1)，均不与A、B共线，符合要求。
综上，符合条件的格点C共有3+3+2=8个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、分类讨论思想、勾股定理
【点评】
本题易因未完整分类讨论导致漏解，解题时要注意分三种情况逐一排查，同时要排除三点共线的无效点，保证计数的准确性。
【难度系数】
0.6
解决这类格点中等腰三角形找点问题，需依据等腰三角形的定义按顶角顶点的不同分三类讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，此时腰长为AB，满足AC=AB；②以B为顶角顶点，此时腰长为AB，满足BC=AB；③以C为顶角顶点，此时AB为底边，满足AC=BC。每类分别找出符合条件的格点后，还要排除三点共线的情况（三点共线无法构成三角形），最后统计总个数即可。
【解析】
先计算AB的长度：我们可建立平面直角坐标系，设A(1,1)，B(3,2)，由勾股定理得AB=√[(3-1)²+(2-1)²]=√5。
1. 当A为顶角顶点时：以A为圆心，AB长为半径画弧，与格点的交点除B外有3个，分别为(0,3)、(2,3)、(3,0)，均不与A、B共线，符合要求；
2. 当B为顶角顶点时：以B为圆心，AB长为半径画弧，与格点的交点除A外有3个，分别为(1,3)、(4,0)、(4,4)，均不与A、B共线，符合要求；
3. 当C为顶角顶点时：作AB的垂直平分线，垂直平分线上满足AC=BC的格点有2个，分别为(0,0)、(4,1)，均不与A、B共线，符合要求。
综上，符合条件的格点C共有3+3+2=8个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、分类讨论思想、勾股定理
【点评】
本题易因未完整分类讨论导致漏解，解题时要注意分三种情况逐一排查，同时要排除三点共线的无效点，保证计数的准确性。
【难度系数】
0.6
10.(2025·宝应期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=20°$.若某个三角形与$△ ABC$能拼成一个等腰三角形(无重叠),则拼成的等腰三角形有 (
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
D
)A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
答案
10.D
解析
【分析】
解题时首先求出原直角三角形的三个内角度数，明确拼成等腰三角形需满足两角相等或两边相等的性质。我们按照“将两个三角形的等长边重合拼接”的思路分类讨论：分别以AB、BC、AC三条边为公共重合边，逐一列举每种情况下能构成等腰三角形的拼法，最后统计所有不重复的拼法总数即可，注意列举时避免重复和遗漏。
【解析】
先计算$Rt△ABC$的各内角度数：
∵$∠C=90°$，$∠A=20°$，
∴$∠B=180°-90°-20°=70°$。
由于拼接无重叠且拼成三角形，需重合边长度相等，因此用于拼接的三角形与$△ABC$全等，按重合的公共边分三类讨论：
1. 以斜边AB为公共边拼接：
可拼出2种等腰三角形：① 两个20°角拼成顶角40°，底角为70°的等腰三角形；② 两个70°角拼成顶角140°，底角为20°的等腰三角形。
2. 以短直角边BC为公共边拼接：
可拼出3种等腰三角形，分别对应顶角为40°、100°、140°的等腰三角形，均满足等腰三角形两底角相等的性质。
3. 以长直角边AC为公共边拼接：
可拼出2种等腰三角形，分别对应顶角为40°、140°的等腰三角形，均符合要求。
综上，符合条件的拼法共有$2+3+2=7$种。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，图形的拼接
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何拼接问题中的应用，解题的关键是按照公共边的不同类型有序列举，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.4
解题时首先求出原直角三角形的三个内角度数，明确拼成等腰三角形需满足两角相等或两边相等的性质。我们按照“将两个三角形的等长边重合拼接”的思路分类讨论：分别以AB、BC、AC三条边为公共重合边，逐一列举每种情况下能构成等腰三角形的拼法，最后统计所有不重复的拼法总数即可，注意列举时避免重复和遗漏。
【解析】
先计算$Rt△ABC$的各内角度数：
∵$∠C=90°$，$∠A=20°$，
∴$∠B=180°-90°-20°=70°$。
由于拼接无重叠且拼成三角形，需重合边长度相等，因此用于拼接的三角形与$△ABC$全等，按重合的公共边分三类讨论：
1. 以斜边AB为公共边拼接：
可拼出2种等腰三角形：① 两个20°角拼成顶角40°，底角为70°的等腰三角形；② 两个70°角拼成顶角140°，底角为20°的等腰三角形。
2. 以短直角边BC为公共边拼接：
可拼出3种等腰三角形，分别对应顶角为40°、100°、140°的等腰三角形，均满足等腰三角形两底角相等的性质。
3. 以长直角边AC为公共边拼接：
可拼出2种等腰三角形，分别对应顶角为40°、140°的等腰三角形，均符合要求。
综上，符合条件的拼法共有$2+3+2=7$种。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，图形的拼接
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何拼接问题中的应用，解题的关键是按照公共边的不同类型有序列举，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.4
11.如图，以线段OP为一边作等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能作
$4$
个.答案
11.$4$
解析
【分析】
要确定符合条件的等腰三角形个数，需结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：首先分OP为底边、OP为腰两大类，其中OP为腰时再按顶角顶点是O还是P进一步分类，通过尺规作图找与直线a的交点，排除重复交点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类情况逐一分析：
1. OP为等腰三角形的底边：此时第三个顶点到O、P两点的距离相等，因此该点在OP的垂直平分线上。作OP的垂直平分线，与直线a交于1个点，可得到1个符合条件的等腰三角形。
2. OP为腰，O为顶角顶点：此时第三个顶点到O的距离等于OP的长度，以O为圆心、OP长为半径画弧，弧线与直线a共有2个不同的交点，可得到2个符合条件的等腰三角形。
3. OP为腰，P为顶角顶点：此时第三个顶点到P的距离等于OP的长度，以P为圆心、OP长为半径画弧，弧线与直线a交于2个点，其中1个点与情况2中的交点重复，因此新增1个符合条件的等腰三角形。
将三类情况的个数相加：$1+2+1=4$，即符合条件的等腰三角形共4个。
【答案】
$4$
【知识点】
等腰三角形判定；线段垂直平分线性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的常考题型，核心考查分类讨论的数学思维，解题时要注意按等腰三角形的底边、腰以及顶角顶点的不同合理分类，避免出现漏解或重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
要确定符合条件的等腰三角形个数，需结合等腰三角形“两边相等”的性质分类讨论：首先分OP为底边、OP为腰两大类，其中OP为腰时再按顶角顶点是O还是P进一步分类，通过尺规作图找与直线a的交点，排除重复交点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类情况逐一分析：
1. OP为等腰三角形的底边：此时第三个顶点到O、P两点的距离相等，因此该点在OP的垂直平分线上。作OP的垂直平分线，与直线a交于1个点，可得到1个符合条件的等腰三角形。
2. OP为腰，O为顶角顶点：此时第三个顶点到O的距离等于OP的长度，以O为圆心、OP长为半径画弧，弧线与直线a共有2个不同的交点，可得到2个符合条件的等腰三角形。
3. OP为腰，P为顶角顶点：此时第三个顶点到P的距离等于OP的长度，以P为圆心、OP长为半径画弧，弧线与直线a交于2个点，其中1个点与情况2中的交点重复，因此新增1个符合条件的等腰三角形。
将三类情况的个数相加：$1+2+1=4$，即符合条件的等腰三角形共4个。
【答案】
$4$
【知识点】
等腰三角形判定；线段垂直平分线性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的常考题型，核心考查分类讨论的数学思维，解题时要注意按等腰三角形的底边、腰以及顶角顶点的不同合理分类，避免出现漏解或重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
四、没理解“造桥选址问题”易出错
12.如图,直线$l_1,l_2$表示一条河的两岸,且$l_1 // l_2$.
现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短,应该选择路线 (
A
B
C
D
12.如图,直线$l_1,l_2$表示一条河的两岸,且$l_1 // l_2$.
现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直),使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短,应该选择路线 (
C
)A
B
C
D
答案
12.C
解析
【分析】
本题属于造桥选址类的最短路径问题，解题核心是桥的长度固定（等于两平行线$l_1$、$l_2$之间的距离），因此只需保证A到桥的下端点、B到桥的上端点的距离之和最短即可。我们可以利用平移的性质，把其中一个点沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，将两段路径转化到同一条折线上，再结合“两点之间线段最短”找到最优的建桥位置。
【解析】
1. 由于桥与河岸垂直，且$l_1 // l_2$，因此桥的长度是固定值，等于$l_1$与$l_2$之间的距离，总路程的长短由A到桥下端、B到桥上端的两段路径长度之和决定。
2. 根据平移的性质，将点A沿垂直于$l_2$的方向向上平移，平移距离等于河宽，得到点$A'$，此时A到桥下端点C的距离等于$A'$到桥上端点D的距离，即$AC=A'D$。
3. 连接$A'B$，线段$A'B$与$l_1$的交点就是桥的上端点D，过D作$DC ⊥ l_2$于点C，CD即为所求的桥。此时总路程$AC+CD+DB = A'D + CD + DB$，由“两点之间线段最短”可知$A'D+DB=A'B$是最短的，因此总路程最短。
对照四个选项，只有选项C的作图符合上述推导。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；平移的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是最短路径问题的经典考法，解题的关键是明确桥长固定，通过平移将分散的两段路径拼接为一条折线，再利用线段最短的性质求解，避免出现直接连接A、B找交点的错误。
【难度系数】
0.6
本题属于造桥选址类的最短路径问题，解题核心是桥的长度固定（等于两平行线$l_1$、$l_2$之间的距离），因此只需保证A到桥的下端点、B到桥的上端点的距离之和最短即可。我们可以利用平移的性质，把其中一个点沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，将两段路径转化到同一条折线上，再结合“两点之间线段最短”找到最优的建桥位置。
【解析】
1. 由于桥与河岸垂直，且$l_1 // l_2$，因此桥的长度是固定值，等于$l_1$与$l_2$之间的距离，总路程的长短由A到桥下端、B到桥上端的两段路径长度之和决定。
2. 根据平移的性质，将点A沿垂直于$l_2$的方向向上平移，平移距离等于河宽，得到点$A'$，此时A到桥下端点C的距离等于$A'$到桥上端点D的距离，即$AC=A'D$。
3. 连接$A'B$，线段$A'B$与$l_1$的交点就是桥的上端点D，过D作$DC ⊥ l_2$于点C，CD即为所求的桥。此时总路程$AC+CD+DB = A'D + CD + DB$，由“两点之间线段最短”可知$A'D+DB=A'B$是最短的，因此总路程最短。
对照四个选项，只有选项C的作图符合上述推导。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；平移的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是最短路径问题的经典考法，解题的关键是明确桥长固定，通过平移将分散的两段路径拼接为一条折线，再利用线段最短的性质求解，避免出现直接连接A、B找交点的错误。
【难度系数】
0.6
